高考數(shù)學(xué)翻折問題.doc

高考中的翻折問題 （19）（本小題滿分14分，第一小問滿分4分，第二小問滿分5分，第三小問滿分5分）在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE:EBCF:FACP:PB1:2（如圖1）。將AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，連結(jié)A1B、A1P（如圖2）（）求證：A1E平面BEP；（）求直線A1E與平面A1BP所成角的大??；（）求二面角BA1PF的大小（用反三角函數(shù)表示）圖1圖219本小題主要考查線面垂直、直線和平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，以及空間線面位置關(guān)系的證明、角和距離的計(jì)算等，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力。解法一：不妨設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3在圖1中，取BE中點(diǎn)D，連結(jié)DF. AE：EB=CF：FA=1：2AF=AD=2而A=600 , ADF是正三角形，又AE=DE=1, EFAD在圖2中，A1EEF, BEEF, A1EB為二面角A1EFB的平面角。由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，A1EBE,又A1E平面BEF,即 A1E平面BEP在圖2中，A1E不垂直A1B, A1E是平面A1BP的垂線，又A1E平面BEP，A1EBE.從而BP垂直于A1E在平面A1BP內(nèi)的射影（三垂線定理的逆定理）設(shè)A1E在平面A1BP內(nèi)的射影為A1Q,且A1Q交BP于點(diǎn)Q,則E1AQ就是A1E與平面A1BP所成的角,且BPA1Q.在EBP中, BE=EP=2而EBP=600 , EBP是等邊三角形.又 A1E平面BEP , A1B=A1P, Q為BP的中點(diǎn),且,又 A1E=1,在RtA1EQ中，,EA1Q=60o, 直線A1E與平面A1BP所成的角為600在圖3中，過F作FM A1P與M，連結(jié)QM,QF,CP=CF=1, C=600,FCP是正三角形，PF=1.有PF=PQ,A1E平面BEP, A1E=A1Q, A1FPA1QP從而A1PF=A1PQ, 由及MP為公共邊知FMPQMP, QMP=FMP=90o,且MF=MQ,從而FMQ為二面角BA1PF的平面角. 在RtA1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又. MQA1P在FCQ中,FC=1,QC=2, C=600,由余弦定理得在FMQ中，二面角BA1PF的大小為10把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，折成直二面角后，在四點(diǎn)所在的球面上，與兩點(diǎn)之間的球面距離為（）圖6PEDFBCA19（本小題滿分14分）如圖6所示，等腰的底邊，高，點(diǎn)是線段上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，現(xiàn)沿將折起到的位置，使，記，表示四棱錐的體積（1）求的表達(dá)式；（2）當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值？（3）當(dāng)取得最大值時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值（1）由折起的過程可知，PE平面ABC，V(x)=（）（2），所以時(shí)， ，V(x)單調(diào)遞增；時(shí) ，V(x)單調(diào)遞減；因此x=6時(shí)，V(x)取得最大值；（3）過F作MF/AC交AD與M,則，PM=，在PFM中， ，異面直線AC與PF所成角的余弦值為；18（2007）如圖2，分別是矩形的邊的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，將，分別沿翻折成，并連結(jié)，使得平面平面，且連結(jié)，如圖3AEBCFDG18解：解法一：（）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（II）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)由（I）的結(jié)論可知，平面，所以是和平面所成的角因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，故因?yàn)椋钥稍谏先∫稽c(diǎn)，使，又因?yàn)?，所以四邊形是矩形由題設(shè)，則所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，從而故，又，由得故即直線與平面所成的角是解法二：（I）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，從而又，所以平面因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫↖I）由（I）可知，平面故可以為原點(diǎn)，分別以直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題設(shè)，則，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)