人教A版選修11 3.3.2函數的極值與導數 課件（32張）.pptVIP

3 3 2函數的極值與導數 1 函數極值的概念 名師點撥1 函數在一個區(qū)間的端點處一定不可能取得極值 即端點一定不是函數的極值點 2 在一個給定的區(qū)間上 函數可能有若干個極值點 也可能不存在極值點 函數可以只有極大值 沒有極小值 或者只有極小值沒有極大值 也可能既有極大值 又有極小值 極大值不一定比極小值大 極小值不一定比極大值小 做一做1 下列說法不正確的是 a 函數y x2有極小值b 函數y sinx有無數個極值c 函數y 2x沒有極值d x 0是函數y x3的極值點答案 d 2 函數極值的求法 做一做2 函數f x 2x3 3x2 1的極小值與極大值分別等于 a 0 1b 1 0c 2 1d 1 2解析 f x 6x2 6x 6x x 1 令f x 0得x 0或x 1 當x 0 時 f x 0 當x 1 時 f x 0 所以當x 0時函數取極小值f 0 1 當x 1時函數取極大值f 1 2 答案 d 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內打 錯誤的打 1 導數為0的點一定是極值點 2 函數的極大值一定大于極小值 3 在定義域上的單調函數一定沒有極值 4 對于任意函數 極值點處的導數值一定等于0 5 三次函數f x x3 ax2 bx c最多有兩個極值 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 思維辨析 利用導數求函數的極值 例1 求下列函數的極值 思路點撥 按照求函數極值的步驟 借助表格進行求解 探究一 探究二 探究三 思維辨析 自主解答 1 函數的定義域為r f x x2 2x 3 令f x 0 得x 3或x 1 當x變化時 f x f x 的變化情況如下表 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟利用導數研究函數的極值時 一般應首先確定函數的定義域 然后求出函數的導數 得到使導數為零的點 這些點將整個定義域分為若干個區(qū)間 然后將x f x f x 在每個區(qū)間內的變化情況列在一個表格中 考查導數為零的點的左 右兩側導數值是否異號 若異號 則是極值 否則就不是極值 這樣通過表格可以清楚地判斷在哪個點處取得極值 是極大值還是極小值 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓練1求下列函數的極值 1 f x x3 3x 解 1 函數f x 的定義域為r f x 3x2 3 令f x 0得x 1 當x變化時 f x f x 的變化情況如下表 所以函數在x 1處取得極大值f 1 2 在x 1處取得極小值f 1 2 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 與函數極值有關的參數問題 例2 已知函數f x x3 ax2 ax b 1 若函數在x 2取得極值5 求實數a b的值 2 若函數在r上不存在極值 求實數a的取值范圍 思路點撥 1 可利用f 2 0 f 2 5建立a b的方程組求解 2 根據方程f x 0不存在兩個不同的實數根求解 自主解答 1 因為函數f x x3 ax2 ax b 所以f x 3x2 2ax a 依題意可得f 2 0 f 2 5 探究一 探究二 探究三 思維辨析 2 f x 3x2 2ax a 若方程f x 0沒有實數根 則函數在r上不存在極值 這時 2a 2 12a0 所以f x 在r上不存在極值 當a 0時 f x 3x2 雖有f 0 0 但當x 0時總有f x 0 所以f x 在r上不存在極值 若方程f x 0有兩個不相等的實數根x1 x2 x10 解得a0 可以驗證函數f x 在x1 x2處分別取得極大值和極小值 綜上 若函數在r上不存在極值 必有 3 a 0 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟1 根據函數極值的定義可知 如果一個函數是可導函數 那么在極值點處的導數必然為零 即對于可導函數y f x f x0 0是x0為極值點的必要條件 當已知可導函數在某一點處取得極值時 該點處的導數值一定為零 據此可建立關于參數的方程進行求解 2 對于三次函數f x ax3 bx2 cx d a 0 其導數f x 3ax2 2bx c 方程3ax2 2bx c 0的判別式 4b2 12ac 則有以下結論 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 根據圖象判斷函數的極值 例3 已知函數y xf x 的圖象如右圖所示 其中f x 是函數f x 的導函數 給出以下說法 函數f x 在區(qū)間 1 上是增函數 函數f x 在x 1處取得極大值 函數f x 在處取得極大值 函數f x 在x 1處取得極小值 其中正確的說法有 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解析 從圖象上可以發(fā)現 當x 1 時 xf x 0 于是f x 0 故f x 在區(qū)間 1 上是增函數 正確 當x0 當 10 所以f x 0 故函數f x 在x 1處取得極大值 正確 當x 1 1 時 f x 0 所以函數f x 在區(qū)間 1 1 上是單調遞減函數 錯 當0 x 1時 xf x 0 于是f x 0 故f x 在區(qū)間 0 1 上是減函數 而在區(qū)間 1 上是增函數 所以函數f x 在x 1處取得極小值 故 正確 答案 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟這類函數圖象問題是利用導數研究函數極值問題中較為常見的一種題型 解答這類問題的關鍵是選準出發(fā)點 對于導函數的圖象 我們重點考查其在哪個區(qū)間上為正 哪個區(qū)間上為負 在哪個點處與x軸相交 在該點附近導函數的值是怎樣變化的 若是由正值變?yōu)樨撝?則該點處取得極大值 若由負值變?yōu)檎?則該點處取得極小值 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓練3已知函數f x ax3 bx2 c 其導函數f x 的圖象如圖所示 則函數f x 的極大值是 a 2a cb 4a cc 3ad c解析 由導函數f x 的圖象 知當00 當x 2時 f x 0 當x 2時 f x 0 又f x 3ax2 2bx 所以b 3a f x ax3 3ax2 c 所以函數f x 的極大值為f 2 4a c 故選b 答案 b 探究一 探究二 探究三 思維辨析 忽視極值存在的條件致誤 典例 已知函數f x x3 6mx2 4nx 8m2在x 2處取得極值 且極值為0 求m 4n的值 易錯分析 本題常見錯誤是根據f 2 0 f 2 0求得m n的兩組值后 不根據極值存在的條件進行驗證取舍 導致增解 自主解答 f x 3x2 12mx 4n 當m 1 n 3時 f x 3x2 12x 12 3 x 2 2 0 所以f x 在r上單調遞增無極值 不合題意 當m 2 n 9時 f x 3x2 24x 36 3 x 2 x 6 當 6 2時 f x 0 故f x 在x 2處取得極值 符合題意 綜上 m 2 n 9 所以m 4n 38 探究一 探究二 探究三 思維辨析 糾錯心得 f x0 0 是 f x0 為極值的必要不充分條件 因此由f x0 0求得m n的值以后要驗證在x x0左右兩側導數值的符號是否相反 才能確定是否真正在x0點處取得極值 在已知函數的極值點與極值的條件下 求參數值時 務必注意這一點 探究一 探究二 探究三 思維辨析 1 函數y 2x3 3x2 a 在x 0取極大值 無極小值b 在x 1取極小值 無極大值c 在x 0取極大值 在x 1取極小值d 以上都不對解析 y 6x x 1 令y 0得x 0 1 當x變化時 f x f x 的變化情況如下 所以當x 0時極大值f 0 0 當x 1時極小值f 1 1 答案 c 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 已知定義在 a b 上的可導函數f x 的導函數f x 的圖象如圖所示 則f x 的極值點的個數