北師大版選修11 第四章 §1　函數(shù)的單調(diào)性與極值 學案.docx

1函數(shù)的單調(diào)性與極值11導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性學習目標1.了解導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系.2.掌握利用導數(shù)判斷(證明)函數(shù)單調(diào)性的方法.3.能利用導數(shù)求不超過三次多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知識點一導函數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性的關系思考1f(x)x2在(，0)上是減少的，在(0，)上是增加的，那么f(x)在(，0)，(0，)上的函數(shù)值的大小如何？答案當x(，0)時，f(x)0.思考2yf(x)在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性與yf(x)在區(qū)間(a，b)上的函數(shù)值的正、負有何關系？答案在區(qū)間(a，b)上，f(x)0，則f(x)在(a，b)上是增加的；在區(qū)間(a，b)上，f(x)0增加的f(x)0，則f(x)仍是增加的(減少的情形完全類似)(2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f(x)不恒為0.知識點二函數(shù)的變化快慢與導函數(shù)的關系一般地，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化得快，這時，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些1函數(shù)的導數(shù)越小，函數(shù)值的變化越慢，函數(shù)的圖像就越“平緩”()2函數(shù)在某一點處的導數(shù)越大，函數(shù)在該點處的切線越“陡峭”()3函數(shù)在某個區(qū)間上變化的越快，函數(shù)在這個區(qū)間上導數(shù)的絕對值越大()4若f(x)在區(qū)間(a，b)上可導，則“f(x)0”是“f(x)在(a，b)上是增加的”的充要條件()5若f(x)的圖像在a，b上是一條連續(xù)曲線，且f(x)在(a，b)上f(x)0，解得x2；由f(x)0，解得3x0，即20，解得x.令f(x)0，即20，解得0x0和f(x)0的區(qū)間為遞增區(qū)間，定義域內(nèi)滿足f(x)0，(x2)20.由f(x)0，得x3，所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(3，)；由f(x)0，得x3.又函數(shù)f(x)的定義域為(，2)(2，)，所以函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為(，2)和(2,3)類型三含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性例3若函數(shù)f(x)kxln x在區(qū)間(1，)上是增加的，則k的取值范圍是_考點利用函數(shù)單調(diào)性求變量題點已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)答案1，)解析由于f(x)k，f(x)kxln x在區(qū)間(1，)上是增加的，得f(x)k0在(1，)上恒成立因為k，而00時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.2若f(x)kxln x在區(qū)間(1，)上不單調(diào)，則k的取值范圍是_答案(0,1)解析由引申探究1知k0，且1，則0k0(或f(x)0，f(x)的遞增區(qū)間為(0，)；當a0時，f(x)，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)由上表可知，函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是(0，)；遞增區(qū)間是(，)(2)由g(x)x22aln x，得g(x)2x，由已知函數(shù)g(x)為1,2上為減函數(shù)，則g(x)0在1,2上恒成立，即2x0在1,2上恒成立，即ax2在1,2上恒成立令h(x)x2，則h(x)2x0，解得x2，所以f(x)的遞增區(qū)間是(2，)2若f(x)x22x4ln x，則函數(shù)的遞增區(qū)間為()a(0，) b(1,0)(2，)c(2，) d(1,0)答案c解析由已知得函數(shù)的定義域為(0，)，f(x)2x2，由f(x)0，可得x2x20，得x2.3若函數(shù)f(x)x32x2mx1在(，)上是增加的，則m的取值范圍是()am bmcm dm考點利用函數(shù)的單調(diào)性求變量題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)答案a解析函數(shù)f(x)x32x2mx1在(，)上是增加的，f(x)3x24xm0在r上恒成立，判別式1612m0，即m.4若函數(shù)yf(x)a(x3x)的遞減區(qū)間為，則a的取值范圍是_考點利用函數(shù)的單調(diào)性求變量題點已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)答案(0，)解析f(x)a(3x21)3a，令f(x)0，由已知得x0.5已知a0且a1，證明：函數(shù)yaxxln a在(，0)上是減少的考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點根據(jù)導數(shù)判定(證明)函數(shù)的單調(diào)性證明yaxln aln aln a(ax1)，當a1時，因為ln a0，ax1，所以y0，即y在(，0)上是減少的；當0a1時，因為ln a1，所以y0和f(x)0)故函數(shù)在(1，)上是減少的，在(0,1)上是增加的故選b.2函數(shù)yf(x)xcos xsin x的遞增區(qū)間為()a. b.c. d.考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點根據(jù)導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性答案b解析ycos xxsin xcos xxsin x，若yf(x)在某區(qū)間內(nèi)是增加的，只需在此區(qū)間內(nèi)y0恒成立即可，只有選項b符合題意，當x(，2)時，y0恒成立3函數(shù)f(x)xln x的遞減區(qū)間為()a(，1 b1，)c(0,1 d(0，)考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點不含參數(shù)求單調(diào)區(qū)間答案c解析f(x)1(x0)，令f(x)0，解得00，所以在(4,5)上f(x)是增函數(shù)5函數(shù)f(x)ax3x在r上是減少的，則()aa0 ba1ca0時，顯然不符合題意，當a0時，成立故a0.6已知函數(shù)yxf(x)的圖像如圖所示，選項中的四個圖像能大致表示yf(x)的圖像的是()答案c解析由題圖可知，當x1時，xf(x)0，所以f(x)0，此時原函數(shù)是增加的，圖像應是上升的；當1x0時，xf(x)0，所以f(x)0，此時原函數(shù)為是減少的，圖像應是下降的；當0x1時，xf(x)0，所以f(x)0，此時原函數(shù)是減少的，圖像應是下降的；當x1時，xf(x)0，所以f(x)0，此時原函數(shù)是增加的，圖像應是上升的由上述分析可知選c.7已知函數(shù)f(x)在定義域r上為增函數(shù)，且f(x)0，則g(x)x2f(x)在(，0)內(nèi)的單調(diào)情況一定是()a減少的 b增加的c先增加后減少 d先減少后增加考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點根據(jù)導數(shù)判定(證明)函數(shù)的單調(diào)性答案b解析因為函數(shù)f(x)在定義域r上是增加的，所以f(x)0在r上恒成立又因為g(x)2xf(x)x2f(x)，所以當x(，0)時，g(x)0恒成立，所以g(x)x2f(x)在(，0)內(nèi)是增加的8若f(x)，eaf(b)bf(a)f(b)cf(a)1考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點比較函數(shù)值的大小答案a解析因為f(x)，當x(e，)時，1ln x0，所以f(x)f(b)，故選a.二、填空題9已知函數(shù)f(x)kex1xx2(k為常數(shù))，曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線與x軸平行，則f(x)的遞減區(qū)間為_考點利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性題點含參數(shù)的函數(shù)求單調(diào)區(qū)間答案(，0)解析f(x)kex11x，曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線與x軸平行，f(0)ke110，解得ke，故f(x)exx1.令f(x)0，解得x2時，g(x)0，即g(x)在(2，)上是增加的，m2.11函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，f(x)為函數(shù)f(x)的導函數(shù)，則不等式0的解集為_考點函數(shù)變化快慢與導數(shù)的關系題點求解不等式答案(3，1)(0,1)解析由題圖知，當x(，3)(1,1)時，f(x)0，故不等式0)當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)f(x)的遞增區(qū)間為(0,1)和(3，)，f(x)的遞減區(qū)間為(1,3)要使函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則解得m.即實數(shù)m的取值范圍為.四、探究與拓展14定義在r上的函數(shù)f(x)，g(x)的導函數(shù)分別為f(x)，g(x)且f(x)g(x)則下列結論一定成立的是()af(1)g(0)g(1)f(0)cf(1)g(0)g(1)f(0)df(1)g(0)g(1)f(0)答案a解析令h(x)f(x)g(x)(xr)，因為f(x)g(x)(xr)，所以h(x)f(x)g(