北師大版選修21 2.5.3直線與平面的夾角 課件（14張）.ppt

5 3直線與平面的夾角 第二章 5夾角的計(jì)算 知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí) 知識(shí)點(diǎn)一直線與平面的夾角 1 平面外一條直線與它在該平面內(nèi)的的夾角叫作該直線與此平面的夾角 2 如果一條直線與一個(gè)平面平行或在平面內(nèi) 我們規(guī)定這條直線與平面的夾角為 3 如果一條直線與一個(gè)平面垂直 我們規(guī)定這條直線與平面的夾角是 4 直線與平面夾角的范圍 5 斜線與平面夾角的范圍 0 投影 知識(shí)點(diǎn)二直線與平面夾角的向量求法設(shè)平面 的斜線l的方向向量為a 平面的法向量為n 1 當(dāng)a n與 l的關(guān)系如圖所示時(shí) 則l與 所成角 與角 a n 互余 即sin cos a n 2 當(dāng)a n與 l的關(guān)系如圖所示時(shí) 則 a n 即sin cos a n l l 題型探究重點(diǎn)突破 題型一求直線與平面的夾角的基本方法例1如圖所示 在正方體abcd a1b1c1d1中 求a1b與平面a1b1cd的夾角 解方法一連接bc1 b1c交于點(diǎn)o 連接a1o 在正方體abcd a1b1c1d1中 b1c bc1 bc1 a1b1 b1c a1b1 b1 bc1 平面a1b1cd 故a1o為a1b在平面a1b1cd內(nèi)的投影 即 ba1o為a1b與平面a1b1c的夾角 ba1o 30 a1b與平面a1b1cd的夾角是30 方法二如圖所示 建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1 則有a1 1 0 1 b 1 1 0 b1 1 1 1 設(shè)平面a1b1cd的一個(gè)法向量為n x y z 令x 1 則有y 0 z 1 可取n 1 0 1 則a1b與平面a1b1cd的夾角是30 反思與感悟 求直線與平面的夾角的方法與步驟思路一 找直線在平面內(nèi)的投影 充分利用面與面垂直的性質(zhì)及解三角形知識(shí)可求得夾角 或夾角的某一三角函數(shù)值 思路二 用向量法求直線與平面的夾角可利用向量夾角公式或法向量 利用法向量求直線與平面的夾角的基本步驟 1 建立空間直角坐標(biāo)系 3 求平面的法向量n 跟蹤訓(xùn)練1如圖所示 在四棱錐p abcd中 底面abcd是正方形 pd 平面abcd pd dc e是pc的中點(diǎn) 求eb與平面abcd夾角的余弦值 解析答案 解如圖建立空間直角坐標(biāo)系 設(shè)pd dc 1 取cd的中點(diǎn)m 則em pd 又 pd 平面abcd em 平面abcd be在平面abcd上的投影為bm mbe為be與平面abcd的夾角 則p 0 0 1 c 0 1 0 b 1 1 0 跟蹤訓(xùn)練2在如圖所示的幾何體中 ea 平面abc db 平面abc ac bc ac bc bd 2ae m是ab的中點(diǎn) 1 求證 cm em 證明如圖 以點(diǎn)c為坐標(biāo)原點(diǎn) 以ca cb所在直線分別為x軸和y軸 過點(diǎn)c作與平面abc垂直的直線為z軸 建立如圖空間直角坐標(biāo)系 設(shè)ea a 則a 2a 0 0 b 0 2a 0 e 2a 0 a d 0 2a 2a m a a 0 2 求cm與平面cde的夾角 解設(shè)向量n 1 y0 z0 與平面cde垂直 所以y0 2 z0 2 即n 1 2 2 因此直線cm與平面cde的夾角是45 課堂小結(jié) 利用空間向量求角的基本思路 把空間角轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量之間的