北師大版選修22第一章 §4 數(shù)學(xué)歸納法.docx

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解數(shù)學(xué)歸納法原理.2.掌握數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.知識(shí)點(diǎn)一歸納法及分類(lèi)由一系列有限的特殊事例得出一般性結(jié)論的推理方法，通常叫歸納法，歸納法可以分為完全歸納法和不完全歸納法，完全歸納法所得出的結(jié)論是完全可靠的，因?yàn)樗疾炝藛?wèn)題涉及的所有對(duì)象；不完全歸納法得出的結(jié)論不一定可靠，因?yàn)樗豢疾炝四臣虑榈牟糠謱?duì)象，但它是一種重要的思考問(wèn)題的方法，是研究數(shù)學(xué)的一把鑰匙，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種重要手段.用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再用完全歸納法證明，是解決問(wèn)題的一種重要途徑.完全歸納法是一種在研究了解事物的所有(有限種)特殊情況后，得出一般結(jié)論的推理方法，又叫枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的.通常在事物包括的特殊情況不多時(shí)，采用完全歸納法.思考下面的各列數(shù)都依照一定規(guī)律排列，請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù).(1)1,5,9,13,17，()；(2)，1,1 ，2 ，3 ，()；(3)，()；(4)32,31,16,26，()，()，4,16,2,11.答案(1)21；(2)；(3)；(4)821.知識(shí)點(diǎn)二數(shù)學(xué)歸納法1.數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法.基本步驟是(1)驗(yàn)證：n1時(shí)，命題成立；(2)在假設(shè)當(dāng)nk (k1)時(shí)，命題成立的前提下，推出nk1時(shí)命題成立.根據(jù)(1)(2)可以斷定命題對(duì)一切正整數(shù)都成立.2.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)注意幾點(diǎn)：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明的對(duì)象是與正整數(shù)n有關(guān)的命題.(2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明中，兩個(gè)基本步驟缺一不可.(3)步驟的證明必須以“假設(shè)nk(kn0，kn)時(shí)命題成立”為條件.思考(1)對(duì)于數(shù)列an，已知a11，an1(nn)，求出數(shù)列前4項(xiàng)，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正確的嗎？(2)多米諾骨牌都一一倒下只需滿(mǎn)足哪幾個(gè)條件？答案(1)a11，a2，a3，a4.猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為an.不能保證猜想一定正確，需要嚴(yán)密的證明.(2)第一塊骨牌倒下；任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.條件事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系，換言之就是假設(shè)第k塊倒下，則相鄰的第k1塊也倒下.題型一用數(shù)學(xué)歸納法證明恒成立例1求證：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nn).證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊112，右邊2112，左邊右邊，等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn)時(shí)等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)，那么，當(dāng)nk1時(shí)，左邊(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2)(k1)(k2)(k3)(kk)2k13(2k1)(2k1)22k113(2k1)2(k1)1右邊.當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立.由(1)(2)可知，對(duì)一切nn，原等式均成立.反思與感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的等式問(wèn)題，關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)，由nk到nk1時(shí)，等式兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng).跟蹤訓(xùn)練1用數(shù)學(xué)歸納法證明123252(2n1)2n(4n21)(nn).證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊12，右邊1(4121)1，左邊右邊，等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn，k1)時(shí)，等式成立，即123252(2k1)2k(4k21)，則當(dāng)nk1時(shí)，123252(2k1)2(2k1)2k(4k21)(2k1)2k(2k1)(2k1)(2k1)2(2k1)k(2k1)3(2k1)(2k1)(2k25k3)(2k1)(k1)(2k3)(k1)(4k28k3)(k1)4(k1)21，即當(dāng)nk1時(shí)，等式成立.由(1)(2)知，對(duì)一切xn等式成立.題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問(wèn)題例2已知an為等比數(shù)列且an2n1，記bn2(log2an1)(nn)，用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)任意的nn，不等式成立.證明由已知條件可得bn2n(nn)，所證不等式為.(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn)時(shí)，不等式成立.即，則當(dāng)nk1時(shí)，.要證當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立，只需證，即證，由基本不等式，得成立，成立，當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立.由(1)(2)可知，對(duì)一切nn，原不等式均成立.反思與感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問(wèn)題時(shí)要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)；二湊證明目標(biāo)，在湊證明目標(biāo)時(shí)，比較法、綜合法、分析法都適用.跟蹤訓(xùn)練2用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)一切nn，1.證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊1，不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，不等式成立，即1，則當(dāng)nk1時(shí)，要證1，只需證.因?yàn)?，所以，即1，所以當(dāng)nk1時(shí)不等式成立.由(1)(2)知，不等式對(duì)一切nn都成立.題型三用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題例3求證nn時(shí)，an1(a1)2n1能被a2a1整除.證明(1)當(dāng)n1時(shí)，a11(a1)211a2a1，命題顯然成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn，k1)時(shí)，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，則當(dāng)nk1時(shí)，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由歸納假設(shè)，上式中的兩項(xiàng)均能被a2a1整除，故當(dāng)nk1時(shí)命題成立.由(1)(2)知，對(duì)任意nn，命題成立.反思與感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)的整除性問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是從當(dāng)nk1時(shí)的式子中拼湊出當(dāng)nk時(shí)能被某數(shù)整除的式子，并將剩余式子轉(zhuǎn)化為能被該數(shù)整除的式子.跟蹤訓(xùn)練3用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)n，an11n2122n1能被133整除.證明(1)當(dāng)n0時(shí)，a011212133，能被133整除.(2)假設(shè)當(dāng)nk(k0)時(shí)，ak11k2122k1能被133整除，那么當(dāng)nk1時(shí)，ak111k3122k31111k2122122k11111k211122k1(12211)122k111(11k2122k1)133122k1，能被133整除.由(1)(2)可知，對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)n，an都能被133整除.題型四用數(shù)學(xué)歸納法解決平面幾何問(wèn)題例4已知n個(gè)平面都過(guò)同一點(diǎn)，但其中任何三個(gè)平面都不經(jīng)過(guò)同一直線(xiàn)，求證：這n個(gè)平面把空間分成f(n)n(n1)2部分.證明(1)當(dāng)n1時(shí)，1個(gè)平面把空間分成2部分，而f(1)1(11)22(部分)，所以命題正確.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn)時(shí)，命題成立，即k個(gè)符合條件的平面把空間分為f(k)k(k1)2(部分)，當(dāng)nk1時(shí)，第k1個(gè)平面和其他每一個(gè)平面相交，使其所分成的空間都增加2部分，所以共增加2k部分，故f(k1)f(k)2kk(k1)22kk(k12)2(k1)(k1)12(部分)，即當(dāng)nk1時(shí)，命題也成立.根據(jù)(1)(2)，知n個(gè)符合條件的平面把空間分成f(n)n(n1)2部分.反思與感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”，即幾何元素從k增加到k1時(shí)，所證的幾何量增加多少，同時(shí)要善于利用幾何圖形的直觀(guān)性，建立k與k1之間的遞推關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練4平面內(nèi)有n(nn，n2)條直線(xiàn)，其中任何兩條不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，求證交點(diǎn)的個(gè)數(shù)f(n).證明(1)當(dāng)n2時(shí)，兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)只有一個(gè)，又f(2)2(21)1，當(dāng)n2時(shí)，命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn，k2)時(shí)命題成立，即平面內(nèi)滿(mǎn)足題設(shè)的任何k條直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)f(k)k(k1)，那么，當(dāng)nk1時(shí)，任取一條直線(xiàn)l，除l以外其他k條直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(k)k(k1)，l與其他k條直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為k，從而k1條直線(xiàn)共有f(k)k個(gè)交點(diǎn)，即f(k1)f(k)kk(k1)kk(k12)k(k1)(k1)(k1)1，當(dāng)nk1時(shí)，命題成立.由(1)(2)可知，對(duì)任意nn(n2)命題都成立.因弄錯(cuò)從nk到nk1的增加項(xiàng)致誤例5用數(shù)學(xué)歸納法證明1(nn).錯(cuò)解(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊1，顯然左邊右邊，即n1時(shí)不等式成立.(2)假設(shè)nk(k1，且kn)時(shí)不等式成立，即1.那么，當(dāng)nk1時(shí)，1，即nk1時(shí)，不等式成立.由(1)(2)得1(nn)成立.錯(cuò)因分析以上用數(shù)學(xué)歸納法證明的過(guò)程是錯(cuò)誤的，因?yàn)樵趶膎k到nk1時(shí)增加的不止一項(xiàng)，應(yīng)是，共有2k項(xiàng)，并且也是錯(cuò)誤的.正解(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊1，所以左邊右邊，即n1時(shí)不等式成立.(2)假設(shè)nk(k1，kn)時(shí)不等式成立，即1，那么，當(dāng)nk1時(shí)，有1.所以nk1時(shí)，不等式成立.由(1)(2)可知，nn時(shí)1.防范措施當(dāng)nk1時(shí)，可以寫(xiě)出相應(yīng)增加的項(xiàng)，然后再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法證明1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an(a1，nn)，在驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)，左邊計(jì)算所得的式子是()a.1 b.1ac.1aa2 d.1aa2a4答案b解析當(dāng)n1時(shí)，左邊的最高次數(shù)為1，即最后一項(xiàng)為a，左邊是1a，故選b.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(n2)的過(guò)程中，由nk遞推到nk1時(shí)，不等式的左邊()a.增加了一項(xiàng)b.增加了兩項(xiàng)，c.增加了兩項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)d.增加了一項(xiàng)，又減少了一項(xiàng)答案c解析nk時(shí)，左邊為，nk1時(shí)，左邊為，比較可知c正確.3.已知f(n)1(nn)，證明不等式f(2n)時(shí)，f(2k1)比f(wàn)(2k)多的項(xiàng)數(shù)是_.答案2k解析觀(guān)察f(n)的表達(dá)式可知，右端分母是連續(xù)的正整數(shù)，f(2k)1，而f(2k1)1.因此f(2k1)比f(wàn)(2k)多了2k項(xiàng).4.用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3(n3，nn)第一步應(yīng)驗(yàn)證_.答案n3時(shí)是否成立解析n的最小值為3，所以第一步驗(yàn)證n3時(shí)是否成立.5.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且a11，snn2an(nn).依次計(jì)算出s1，s2，s3，s4后，可猜想sn的表達(dá)式為_(kāi).答案sn解析s11，s2，s3，s4，猜想sn.1.數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟相互依存，缺一不可.有一無(wú)二，是不完全歸納法，結(jié)論不一定可靠；有二無(wú)一，第二步就失去了遞推的基礎(chǔ).2.歸納假設(shè)的作用.在用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，對(duì)于歸納假設(shè)要注意以下兩點(diǎn)：(1)歸納假設(shè)就是已知條件；(2)在推證nk1時(shí)，必須用上歸納假設(shè).3.利用歸納假設(shè)的技巧.在推證nk1時(shí)，可以通過(guò)湊、拆、配項(xiàng)等方法用上歸納假設(shè).此時(shí)既要看準(zhǔn)目標(biāo)，又要掌握nk與nk1之間的關(guān)系.在推證時(shí)，分析法、綜合法、反證法等方法都可以應(yīng)用.4.數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍.數(shù)學(xué)歸納法是直接證明的一種重要方法，應(yīng)用十分廣泛，主要體現(xiàn)在與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、數(shù)的整除性、幾何問(wèn)題、探求數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和等問(wèn)題中.一、選擇題1.某個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題：如果當(dāng)nk(kn)時(shí)命題成立，則可以推出當(dāng)nk1時(shí)該命題也成立.現(xiàn)已知n5時(shí)命題不成立，那么可以推得()a.當(dāng)n4時(shí)命題不成立b.當(dāng)n6時(shí)命題不成立c.當(dāng)n4時(shí)命題成立d.當(dāng)n6時(shí)命題成立答案a解析因?yàn)楫?dāng)nk(kn)時(shí)命題成立，則可以推出當(dāng)nk1時(shí)該命題也成立，所以假設(shè)當(dāng)n4時(shí)命題成立，那么n5時(shí)命題也成立，這與已知矛盾，所以當(dāng)n4時(shí)命題不成立.2.滿(mǎn)足122334n(n1)3n23n2的自然數(shù)n等于()a.1 b.1或2 c.1,2,3 d.1,2,3,4答案c解析當(dāng)n1,2,3時(shí)滿(mǎn)足，當(dāng)n4時(shí)，左邊1223344540，右邊34234238.所以左邊右邊，即n4不滿(mǎn)足.3.記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和f(k1)f(k)()a. b.c. d.2答案b解析由凸k邊形變?yōu)橥筴1邊形時(shí)，增加了一個(gè)三角形，故f(k1)f(k).4.k(k3，kn)棱柱有f(k)個(gè)對(duì)角面，則(k1)棱柱的對(duì)角面?zhèn)€數(shù)f(k1)為()a.f(k)k1 b.f(k)k1c.f(k)k d.f(k)k2答案a解析三棱柱有0個(gè)對(duì)角面，四棱柱有2個(gè)對(duì)角面(020(31)；五棱柱有5個(gè)對(duì)角面(232(41)；六棱柱有9個(gè)對(duì)角面(545(51)；.猜想：若k棱柱有f(k)個(gè)對(duì)角面，則(k1)棱柱有f(k)k1個(gè)對(duì)角面.5.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1(nn)成立，其初始值至少應(yīng)取()a.7 b.8c.9 d.10答案b解析左邊12，代入驗(yàn)證可知n的最小值是8.6.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nn)，從k到k1左端需要增乘的代數(shù)式為()a.2k1 b.2(2k1)c. d.答案b解析nk1時(shí)，左端為(k2)(k3)(k1)(k1)(k1)k(2k2)(k1)(k2)(kk)(2k1)2，應(yīng)增乘2(2k1).二、填空題7.用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的恒等式，當(dāng)nk時(shí)，表達(dá)式為1427k(3k1)k(k1)2，則當(dāng)nk1時(shí)，表達(dá)式為_(kāi).答案1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)28.用數(shù)學(xué)歸納法證明n35n能被6整除的過(guò)程中，當(dāng)nk1時(shí)，式子(k1)35(k1)應(yīng)變形為_(kāi).答案(k35k)3k(k1)6解析(k1)35(k1)k313k23k5k5(k35k)3k23k6(k35k)3k(k1)6.k(k1)為偶數(shù)，3k(k1)能被6整除，(k1)35(k1)應(yīng)變形為(k35k)3k(k1)6.9.用數(shù)學(xué)歸納法證明12222n12n1(nn)的過(guò)程中，第二步假設(shè)當(dāng)nk(kn)時(shí)等式成立，則當(dāng)nk1時(shí)應(yīng)得到的式子為_(kāi).答案12222k12k2k12k解析由nk到nk1等式的左邊增加了一項(xiàng).10.用數(shù)學(xué)歸納法證明12222n12n1(nn)的過(guò)程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊2111，等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kn)時(shí)等式成立，即12222k12k1，則當(dāng)nk1時(shí)，12222k12k2k11.所以當(dāng)nk1時(shí)等式也成立.由此可知對(duì)于任何nn，等式都成立.上述證明的錯(cuò)誤是_.答案未用歸納假設(shè)解析本題在由nk成立，證nk1成立時(shí)，應(yīng)用了等比數(shù)列的求和公式，而未用上假設(shè)條件，這與數(shù)學(xué)歸納法的要求不符.三、解答題11.已知f(n)(2n7)3n9，存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意正整數(shù)n，f(n)被m整除，猜測(cè)出最大的m的