2017_18學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章直線多邊形圓2.1圓周角定理學(xué)案北師大版選修.docx

21圓周角定理對應(yīng)學(xué)生用書P121圓周角定理(1)文字語言：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半(2)符號語言：在O中，所對的圓周角和圓心角分別是BAC，BOC，則有BACBOC.(3)圖形語言：如圖所示2圓周角定理的推論(1)推論1同弧或等弧所對的圓周角相等； 同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等(2)推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弧是半圓1圓周角定理中圓周角與圓心角所對的弧是同一段弧嗎？提示：一定對著同一條弧才能有定理中的數(shù)量關(guān)系2推論1中若把“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”結(jié)論還成立嗎？提示：不成立因為一條弦所對的圓周角有兩種可能，在一般情況下是不相等的對應(yīng)學(xué)生用書P13利用圓周角定理解決計算問題例1已知ABC內(nèi)接于圓O，OBC35，求A.思路點(diǎn)撥本題主要考查圓周角定理頂點(diǎn)A的位置不確定，所以點(diǎn)A和圓心O可能在BC的同側(cè)，也可能在BC的異側(cè)精解詳析(1)當(dāng)點(diǎn)A和圓心O在BC的同側(cè)時，如圖所示OBOC，OBCOCB.OBC35，BOC1802OBC110.BACBOC55.(2)當(dāng)點(diǎn)A和圓心O在BC的異側(cè)時，如圖所示設(shè)P為圓上與圓心O在BC的同側(cè)一點(diǎn)，連接PB，PC.OBOC，OBCOCB.OBC35，BOC1802OBC110.BPCBOC55.BAC180BPC18055125.綜上所得，A的度數(shù)是55或125.使用圓周角定理時，一定要注意“同一條弧”所對的圓周角與圓心角這一條件1如圖，ABC內(nèi)接于O，ODBC于D，A50，則OCD的度數(shù)是()A40B25C50 D60解析：選A連接OB.因為A50，所以BC弦所對的圓心角BOC100，CODBOC50，OCD90COD905040.所以O(shè)CD40.例2如圖，已知AB為O的直徑，AC為弦，ODBC，交AC于D，BC4 cm.(1)試判斷OD與AC的關(guān)系；(2)求OD的長；(3)若2sinA10，求O的直徑思路點(diǎn)撥本題主要考查圓周角定理推論2的應(yīng)用解題時，可判斷ACB90.利用ODBC可得ODAC.用相似可得OD的長，由邊角關(guān)系可求O的直徑精解詳析(1)AB為O的直徑，ACB90.ODBC，ADOACB90，ODAC.(2)AODABC，ODBC42(cm)(3)2sin A10，sin A.sin A，AB2BC248(cm)“半圓(直徑)所對的圓周角是直角，和直徑能構(gòu)成直角三角形”這一性質(zhì)應(yīng)用廣泛，解題時注意直角三角形中有關(guān)定理的應(yīng)用本例的條件變?yōu)椋骸跋褹C4，BC3，CDAB于D”，求CD.解：由勾股定理知AB5，SACBACBCABCD，345CD，CD.利用圓周角定理解決證明問題例3如圖，BC為圓O的直徑，ADBC，BF和AD相交于E，求證：AEBE.思路點(diǎn)撥本題主要考查利用圓周角定理證明問題解題時只需在ABE中證明ABEEAB.而要證這兩個角相等，只需借助ACB即可精解詳析BC是O的直徑，BAC為直角，又ADBC，RtBDARtBAC.BADBCA.，F(xiàn)BAACB.BADFBA.ABE為等腰三角形AEBE.有關(guān)圓的題目中，圓周角與它所對的弧及弦可以相互轉(zhuǎn)化即欲證圓周角相等，可轉(zhuǎn)化為證明它們所對的弧相等要證線段相等可以轉(zhuǎn)化為證明它們所對的弧相等這是證明圓中線段相等的常用方法2如圖，AB是O的直徑，C為圓周上一點(diǎn)，ABC30，O過點(diǎn)B的切線與CO的延長線交于點(diǎn)D.求證：(1)CABBOD.(2)ABCODB.證明：(1)因為AB是O的直徑，所以ACB90，由ABC30，所以CAB60.又OBOC，所以O(shè)CBOBC30，所以BOD60，所以CABBOD.(2)在RtABC中，ABC30，得ACAB，又OBAB，所以ACOB.由BD切O于點(diǎn)B，得OBD90.在ABC和ODB中，所以ABCODB.本課時主要考查圓周角定理及推論的計算與證明問題，難度中檔考題印證如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD并延長至點(diǎn)C，使BDDC，連接AC，AE，DE.求證：EC.命題立意本題主要考查圓周角定理的推論及平行線的性質(zhì)自主嘗試連接OD，因為BDDC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)DAC，于是ODBC.因為OBOD，所以O(shè)DBB.于是BC.因為點(diǎn)A，E，B，D都在圓O上，且D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，所以E和B為同弧所對的圓周角，故EB.所以EC.對應(yīng)學(xué)生用書P14一、選擇題1.如圖，CD是O的直徑，弦ABCD于E，BCD25，則下列結(jié)論錯誤的是()AAEBE BOEDECAOD50DD是的中點(diǎn)解析：選B因為CD是O的直徑，弦ABCD，所以，AEBE，因為BCD25，所以AOD2BCD50，故A，C，D正確，B不能得證2如圖所示，AB是O的直徑，C是上的一點(diǎn)，且AC8，BC6，則O的半徑r等于()AB5C10 D不確定解析：選B由已知得ACB90，AB10，即2r10，r5.3.如圖，直徑為10的C經(jīng)過點(diǎn)A(0,5)和點(diǎn)O(0,0)，B是y軸右側(cè)C弧上一點(diǎn)，則cosABO的值為()ABCD解析：選B法一：設(shè)C與x軸另一個交點(diǎn)為D，連接AD，如圖所示：因為AOD90，所以AD為C的直徑，又因為ABO與ADO為圓弧AO所對的圓周角，所以ABOADO，又因為A(0,5)，所以O(shè)A5，在RtADO中，AD10，AO5，根據(jù)勾股定理得：OD5.所以cosABOcosADO，故選B.法二：連接CO，因為OA5，ACCO5，所以ACO為等邊三角形，ACO60，ABOACO30，所以cosABOcos 30.4已知P，Q，R都在弦AB的同側(cè)，且點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在所在的圓內(nèi)，點(diǎn)R在所在的圓外(如圖)，則()AAQBAPBARBBAQBARBAPBCAPBAQBARBDARBAPBACB，ADBARB.因為ACBAPBADB，所以AQBAPBARB.二、填空題5.如圖，點(diǎn)A，B，C在O上，AOC60，則ABC的度數(shù)是 解析：因為AOC60，所以弧ABC的度數(shù)為60，AC對的優(yōu)弧的度數(shù)為36060300，所以ABC150.答案：1506.如圖，在ABC中，AB為O的直徑，B60，BOD100，則C的度數(shù)為 解析：因為BOD100，所以ABOD50.因為B60，所以C180AB70.答案：707.如圖，ABC為O的內(nèi)接三角形，AB為O的直徑，點(diǎn)D在O上，ADC68，則BAC .解析：因為AB是圓O的直徑，所以弧ACB的度數(shù)為180，它所對的圓周角為90，所以BAC90ABC90ADC906822.答案：228.如圖，在半徑為2 cm的O內(nèi)有長為2 cm的弦AB，則此弦所對的圓心角AOB為 解析：作OCAB于C，則BC，在RtBOC中，OC1(cm)，sinB，B30，BOC60，AOB120.答案：120三、解答題9.如圖，在O中，弦AB16，點(diǎn)C在O上，且sin C.求O的半徑長解：作直徑AD，連接BD，則ABD90，DC.因為sin C，所以sin D.在RtABD中，sin D，又因為AB16，所以AD1620，所以O(shè)AAD10，即O的半徑長為10.10如圖，已知在O中，直徑AB為10 cm，弦AC為6 cm，ACB的平分線交O于D，求BC，AD和BD的長解：因為AB為直徑，所以ACBADB90.在RtABC中，BC8(cm)因為CD平分ACB，所以，所以ADB為等腰三角形所以ADBDAB105(cm)11.如圖，AB是O