人教A版選修22 1．3.3　函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(一) 課件（44張）.pptx

1 3 3函數(shù)的最大 小 值與導(dǎo)數(shù) 一 第一章 1 3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1 理解函數(shù)最值的概念 了解其與函數(shù)極值的區(qū)別與聯(lián)系 2 會(huì)求某閉區(qū)間上函數(shù)的最值 問題導(dǎo)學(xué) 達(dá)標(biāo)檢測(cè) 題型探究 內(nèi)容索引 問題導(dǎo)學(xué) 如圖為函數(shù)y f x x a b 的圖象 知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的最大 小 值與導(dǎo)數(shù) 答案極大值為f x1 f x3 極小值為f x2 f x4 思考1觀察區(qū)間 a b 上函數(shù)y f x 的圖象 試找出它的極大值 極小值 答案存在 f x min f a f x max f x3 思考2結(jié)合圖象判斷 函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上是否存在最大值 最小值 若存在 分別為多少 梳理 1 函數(shù)的最大 小 值的存在性一般地 如果在區(qū)間 a b 上函數(shù)y f x 的圖象是一條的曲線 那么它必有最大值和最小值 2 一般地 求函數(shù)y f x 在 a b 上的最大值與最小值的步驟如下 求函數(shù)y f x 在 a b 內(nèi)的 將函數(shù)y f x 的與處的函數(shù)值f a f b 比較 其中最大的一個(gè)是 最小的一個(gè)是 連續(xù)不斷 極值 各極值端點(diǎn) 最大值 最小值 1 函數(shù)的最大值不一定是函數(shù)的極大值 2 函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上的最大值與最小值一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得 3 有極值的函數(shù)一定有最值 有最值的函數(shù)不一定有極值 思考辨析判斷正誤 題型探究 類型一求函數(shù)的最值 命題角度1利用導(dǎo)數(shù)直接求最值例1求下列各函數(shù)的最值 1 f x x4 2x2 3 x 3 2 解答 解f x 4x3 4x 令f x 4x x 1 x 1 0 得x 1 x 0 x 1 當(dāng)x變化時(shí) f x 及f x 的變化情況如下表 當(dāng)x 3時(shí) f x 取最小值 60 當(dāng)x 1或x 1時(shí) f x 取最大值4 解答 2 f x x3 3x2 6x 2 x 1 1 解f x 3x2 6x 6 3 x2 2x 2 3 x 1 2 3 f x 在 1 1 內(nèi)恒大于0 f x 在 1 1 上為增函數(shù) 故當(dāng)x 1時(shí) f x min 12 當(dāng)x 1時(shí) f x max 2 即f x 的最小值為 12 最大值為2 反思與感悟求解函數(shù)在固定區(qū)間上的最值 需注意以下幾點(diǎn) 1 對(duì)函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo) 并檢驗(yàn)f x 0的根是否在給定區(qū)間內(nèi) 2 研究函數(shù)的單調(diào)性 正確確定極值和端點(diǎn)函數(shù)值 3 比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小 確定最值 跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的最值 解答 f x 0時(shí) x 2 當(dāng)f x 0時(shí) x2 所以f x 在 2 上單調(diào)遞增 在 2 上單調(diào)遞減 解答 所以當(dāng)x 0時(shí) f x 有最小值f 0 0 當(dāng)x 2 時(shí) f x 有最大值f 2 解答 命題角度2對(duì)參數(shù)討論求最值例2已知函數(shù)f x ex ax2 bx 1 其中a b r e 2 71828 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù) 設(shè)g x 是函數(shù)f x 的導(dǎo)函數(shù) 求函數(shù)g x 在區(qū)間 0 1 上的最小值 解因?yàn)閒 x ex ax2 bx 1 所以g x f x ex 2ax b 又g x ex 2a 因?yàn)閤 0 1 1 ex e 所以 所以函數(shù)g x 在區(qū)間 0 1 上單調(diào)遞增 g x min g 0 1 b 于是當(dāng)00 所以函數(shù)g x 在區(qū)間 0 ln 2a 上單調(diào)遞減 在區(qū)間 ln 2a 1 上單調(diào)遞增 g x min g ln 2a 2a 2aln 2a b 所以函數(shù)g x 在區(qū)間 0 1 上單調(diào)遞減 g x min g 1 e 2a b 解答 引申探究1 若a 1 b 2 求函數(shù)g x 在區(qū)間 0 1 上的最小值 解因?yàn)閍 1 b 2 g x f x ex 2x 2 又g x ex 2 令g x 0 因?yàn)閤 0 1 解得x ln2 已知當(dāng)x ln2時(shí) 函數(shù)取極小值 也是最小值 故g x min g ln2 2 2ln2 2 4 2ln2 解答 2 當(dāng)b 0時(shí) 若函數(shù)g x 在區(qū)間 0 1 上的最小值為0 求a的值 解當(dāng)b 0時(shí) 因?yàn)閒 x ex ax2 1 所以g x f x ex 2ax 又g x ex 2a 因?yàn)閤 0 1 1 ex e 所以 所以函數(shù)g x 在區(qū)間 0 1 上單調(diào)遞增 g x min g 0 1 不符合題意 于是當(dāng)00 所以函數(shù)g x 在區(qū)間 0 ln 2a 上單調(diào)遞減 在區(qū)間 ln 2a 1 上單調(diào)遞增 g x min g ln 2a 2a 2aln 2a 0 所以函數(shù)g x 在區(qū)間 0 1 上單調(diào)遞減 反思與感悟?qū)?shù)進(jìn)行討論 其實(shí)質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)大于0 等于0 小于0三種情況 若導(dǎo)函數(shù)恒不等于0 則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù) 最值在端點(diǎn)處取得 若導(dǎo)函數(shù)可能等于0 則求出極值點(diǎn)后求極值 再與端點(diǎn)值比較后確定最值 解答 跟蹤訓(xùn)練2已知a是實(shí)數(shù) 函數(shù)f x x2 x a 求f x 在區(qū)間 0 2 上的最大值 解f x 3x2 2ax 從而f x max f 2 8 4a 從而f x max f 0 0 例3已知函數(shù)f x ax3 6ax2 b x 1 2 的最大值為3 最小值為 29 求a b的值 類型二由函數(shù)的最值求參數(shù) 解答 解由題設(shè)知a 0 否則f x b為常函數(shù) 與題設(shè)矛盾 求導(dǎo)得f x 3ax2 12ax 3ax x 4 令f x 0 得x1 0 x2 4 舍去 當(dāng)a 0 且當(dāng)x變化時(shí) f x f x 的變化情況如下表 由表可知 當(dāng)x 0時(shí) f x 取得極大值b 也就是函數(shù)在 1 2 上的最大值 f 0 b 3 又f 1 7a 3 f 2 16a 3f 1 f 2 16a 29 3 解得a 2 綜上可得 a 2 b 3或a 2 b 29 反思與感悟已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值 或范圍 是求函數(shù)最值的逆向思維 一般先求導(dǎo)數(shù) 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn) 探索最值點(diǎn) 根據(jù)已知最值列方程 不等式 解決問題 其中注意分類討論思想的應(yīng)用 解答 跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)h x x3 3x2 9x 1在區(qū)間 k 2 上的最大值是28 求k的取值范圍 解 h x x3 3x2 9x 1 h x 3x2 6x 9 令h x 0 得x1 3 x2 1 當(dāng)x變化時(shí) h x h x 的變化情況如下表 當(dāng)x 3時(shí) 取極大值28 當(dāng)x 1時(shí) 取極小值 4 而h 2 3 h 3 28 如果h x 在區(qū)間 k 2 上的最大值為28 則k 3 達(dá)標(biāo)檢測(cè) 1 2 3 4 5 1 如圖所示 函數(shù)f x 導(dǎo)函數(shù)的圖象是一條直線 則a 函數(shù)f x 沒有最大值也沒有最小值b 函數(shù)f x 有最大值 沒有最小值c 函數(shù)f x 沒有最大值 有最小值d 函數(shù)f x 有最大值 也有最小值 解析 答案 解析由導(dǎo)函數(shù)圖象可知 函數(shù)f x 只有一個(gè)極小值點(diǎn)1 即f x 在x 1處取得最小值 沒有最大值 1 2 3 4 5 解析 答案 2 函數(shù)f x x3 3x 1在閉區(qū)間 3 0 上的最大值和最小值分別是a 1 1b 1 17c 3 17d 9 19 解析f x 3x2 3 3 x 1 x 1 令f x 0 得x 1 又f 3 27 9 1 17 f 0 1 f 1 1 3 1 3 1 3 0 所以最大值為3 最小值為 17 解得x e 當(dāng)x e時(shí) f x 0 1 2 3 4 5 解析 答案 4 函數(shù)f x 2x3 6x2 m m是常數(shù) 在區(qū)間 2 2 上有最大值3 則在區(qū)間 2 2 上的最小值為 37 解析f x 6x2 12x 6x x 2 由題意知 在區(qū)間 2 2 上 x 0是f x 的最大值點(diǎn) f x max f 0 m 3 f 2 16 24 3 37 f 2 16 24 3 5 f x min 37 答案 解析 1 2 3 4 5 5 已知函數(shù)f x ax3 bx c在點(diǎn)x 2處取得極值c 16 1 求a b的值 解因?yàn)閒 x ax3 bx c 故f x 3ax2 b 由于f x 在點(diǎn)x 2處取得極值c 16 解答 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 2 若f x 有極大值28 求f x 在 3 3 上的最小值 解令f x 0 得x1 2 x2 2 當(dāng)x 2 時(shí) f x 0 故f x 在 2 上為增函數(shù) 當(dāng)x 2 2 時(shí) f x 0 故f x 在 2 上為增函數(shù) 由此可知f x 在x1 2處取得極大值 f 2 16 c f x 在x2 2處取得極小值 f 2 c 16 由題設(shè)條件知