人教A版選修23 第二章隨機(jī)變量及其分布 正態(tài)分布 學(xué)案.doc

2.4正態(tài)分布學(xué)習(xí)目標(biāo)1.利用實(shí)際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.2.了解變量落在區(qū)間(，(2，2，(3，3的概率大小.3.會(huì)用正態(tài)分布去解決實(shí)際問題知識(shí)點(diǎn)一正態(tài)曲線思考函數(shù)f(x)，xr的圖象如圖所示試確定函數(shù)f(x)的解析式答案由圖可知，該曲線關(guān)于直線x72對稱，最大值為，由函數(shù)表達(dá)式可知，函數(shù)圖象的對稱軸為x，72，且，10.f(x)(xr)梳理(1)正態(tài)曲線函數(shù)，(x)，x(，)，其中實(shí)數(shù)，(0)為參數(shù)，我們稱，(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線x對稱；曲線在x處達(dá)到峰值；曲線與x軸之間的面積為1；當(dāng)一定時(shí)，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”，總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，總體的分布越集中，如圖乙所示：知識(shí)點(diǎn)二正態(tài)分布一般地，如果對于任何實(shí)數(shù)a，b(ab)，隨機(jī)變量x滿足p(axb)，(x)dx，則稱隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定，因此正態(tài)分布常記作n(，2)，如果隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布，則記為xn(，2)知識(shí)點(diǎn)三3原則1正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值(1)p(x)0.682 6；(2)p(2x2)0.954 4；(3)p(3x3)0.997 4.2通常服從正態(tài)分布n(，2)的隨機(jī)變量x只取(3，3)之間的值1函數(shù)，(x)中參數(shù)，的意義分別是樣本的均值與方差()2正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)，的變化而變化的()3正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對稱()類型一正態(tài)曲線的圖象的應(yīng)用例1如圖所示是一個(gè)正態(tài)分布的圖象，試根據(jù)該圖象寫出正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式，求出隨機(jī)變量總體的均值和方差考點(diǎn)正態(tài)分布的概念及性質(zhì)題點(diǎn)求正態(tài)分布的均值或方差解從給出的正態(tài)曲線可知該正態(tài)曲線關(guān)于直線x20對稱，最大值是，所以20.由，解得.于是該正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式是f(x)，x(，)，隨機(jī)變量總體的均值是20，方差是2()22.反思與感悟利用圖象求正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖象的兩個(gè)實(shí)質(zhì)性特點(diǎn)：一是對稱軸為x，二是最大值為.這兩點(diǎn)確定以后，相應(yīng)參數(shù)，便確定了，代入f(x)中便可求出相應(yīng)的解析式跟蹤訓(xùn)練1某次我市高三教學(xué)質(zhì)量檢測中，甲、乙、丙三科考試成績的直方圖如圖所示(由于人數(shù)眾多，成績分布的直方圖可視為正態(tài)分布)，則由如圖曲線可得下列說法中正確的一項(xiàng)是()a甲科總體的標(biāo)準(zhǔn)差最小b丙科總體的平均數(shù)最小c乙科總體的標(biāo)準(zhǔn)差及平均數(shù)都居中d甲、乙、丙的總體的平均數(shù)不相同考點(diǎn)正態(tài)分布密度函數(shù)的概念題點(diǎn)正態(tài)曲線答案a解析由題中圖象可知三科總體的平均數(shù)(均值)相等，由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)，可知越大，正態(tài)曲線越扁平；越小，正態(tài)曲線越尖陡，故三科總體的標(biāo)準(zhǔn)差從小到大依次為甲、乙、丙故選a.類型二利用正態(tài)分布的對稱性求概率例2設(shè)xn(1,22)，試求：(1)p(1x3)；(2)p(35)考點(diǎn)正態(tài)分布的概念及性質(zhì)題點(diǎn)正態(tài)分布下的概率計(jì)算解因?yàn)閤n(1,22)，所以1，2.(1)p(1x3)p(12x12)p(x)0.682 6.(2)因?yàn)閜(3x5)p(3x1)，所以p(3x5)p(3x5)p(1x3)p(14x14)p(12x12)p(2x2)p(5)p(x3)1p(3x5)1p(14c1)p(xc1)p(xc1)，因此1，即c1.反思與感悟利用正態(tài)分布求概率的兩個(gè)方法(1)對稱法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x對稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線x對稱的區(qū)間上概率相等如：p(xa)1p(xa)p(xa)(2)“3”法：利用x落在區(qū)間(，(2，2，(3，3內(nèi)的概率分別是0.682 6,0.954 4,0.997 4求解跟蹤訓(xùn)練2已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布n(2，2)，且p(4)0.8，則p(02)等于()a0.6 b0.4 c0.3 d0.2考點(diǎn)正態(tài)分布的概念及性質(zhì)題點(diǎn)正態(tài)分布下的概率計(jì)算答案c解析隨機(jī)變量服從正態(tài)分布n(2，2)，2，對稱軸是x2.p(4)0.8，p(4)p(0)0.2，p(04)0.6，p(00)和n(2，)(20)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有()a12，12 b12c12，12，12考點(diǎn)正態(tài)分布密度函數(shù)的概念題點(diǎn)正態(tài)曲線答案a解析根據(jù)正態(tài)曲線的特點(diǎn)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x對稱，在x處取得最大值的連續(xù)曲線：當(dāng)一定時(shí)，越大，曲線的最高點(diǎn)越低且較平穩(wěn)，反過來，越小，曲線的最高點(diǎn)越高且較陡峭故選a.2正態(tài)分布n(0,1)在區(qū)間(2，1)和(1,2)上取值的概率為p1，p2，則二者大小關(guān)系為()ap1p2 bp1p2cp1p2 d不確定考點(diǎn)正態(tài)分布密度函數(shù)的概念題點(diǎn)正態(tài)曲線性質(zhì)的應(yīng)用答案a解析根據(jù)正態(tài)曲線的特點(diǎn)，圖象關(guān)于x0對稱，可得在區(qū)間(2，1)和(1,2)上取值的概率p1，p2相等3設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布n(，2)，且二次方程x24x0無實(shí)數(shù)根的概率為，則等于()a1 b2c4 d不能確定考點(diǎn)正態(tài)分布的概念及性質(zhì)題點(diǎn)求正態(tài)分布的均值或方差答案c解析因?yàn)榉匠蘹24x0無實(shí)數(shù)根的概率為，由1644，即p(4)1p(4)，故p(4)，所以4.4已知服從正態(tài)分布n(，2)的隨機(jī)變量在區(qū)間(，(2，2和(3，3內(nèi)取值的概率分別為68.26%,95.44%和99.74%.若某校高一年級1 000名學(xué)生的某次考試成績x服從正態(tài)分布n(90,152)，則此次考試成績在區(qū)間(60,120內(nèi)的學(xué)生大約有()a997人 b972人 c954人 d683人考點(diǎn)正態(tài)分布的應(yīng)用題點(diǎn)正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用答案c解析依題意可知90，15，故p(60x120)p(90215c1)p(xc1)(1)求c的值；(2)求p(4xc1)p(xc1)，故有2(c1)(c1)2，c2.(2)p(4x8)p(223x223)0.954 4.1理解正態(tài)分布的概念和正態(tài)曲線的性質(zhì)2正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法(1)熟記p(x)，p(2x2)，p(3x3)的值(2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1這兩個(gè)特點(diǎn)正態(tài)曲線關(guān)于直線x對稱，從而在關(guān)于x對稱的區(qū)間上概率相等p(xa)1p(xa)，p(xa)，若b，則p(x0)，p(4)0.84，則p(0)等于()a0.16 b0.32c0.68 d0.84考點(diǎn)正態(tài)分布的概念及性質(zhì)題點(diǎn)正態(tài)分布下的概率計(jì)算答案a解析隨機(jī)變量服從正態(tài)分布n(2，2)，2，p(4)0.84，p(4)10.840.16，p(0)p(4)0.16.3已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布n(0,32)，從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3,6內(nèi)的概率為()(附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布n(，2)，則p()68.26%，p(22)95.44%)a4.56% b13.59%c27.18% d31.74%考點(diǎn)正態(tài)分布的概念及性質(zhì)題點(diǎn)正態(tài)分布下的概率計(jì)算答案b解析由正態(tài)分布的概率公式，知p(33)0.682 6，p(66)0.954 4，故p(3p(yt)d對任意正數(shù)t，p(xt)p(yt)考點(diǎn)正態(tài)分布密度函數(shù)的概念題點(diǎn)正態(tài)曲線答案c解析由題圖可知102，12，p(y2)p(x1)，故b錯(cuò)；當(dāng)t為任意正數(shù)時(shí)，由題圖可知p(xt)p(yt)，而p(xt)1p(xt)，p(yt)1p(yt)，p(xt)p(yt)，故c正確，d錯(cuò)6如果正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在(3，1)內(nèi)的概率和落在(3,5)內(nèi)的概率相等，那么這個(gè)正態(tài)總體的均值是()a0 b1 c2 d3考點(diǎn)正態(tài)分布的概念及性質(zhì)題點(diǎn)求正態(tài)分布的均值或方差答案b解析正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在這兩個(gè)區(qū)間里的概率相等，說明在這兩個(gè)區(qū)間上位于正態(tài)曲線下方的面積相等，區(qū)間(3，1)和(3,5)的長度相等，說明正態(tài)曲線在這兩個(gè)區(qū)間上是對稱的因?yàn)檎龖B(tài)曲線關(guān)于直線x對稱，的概率意義就是均值，而區(qū)間(3，1)和(3,5)關(guān)于x1對稱，所以正態(tài)總體的均值是1.7已知一次考試共有60名學(xué)生參加，考生的成績xn(110,52)，據(jù)此估計(jì)，大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在區(qū)間()a(90,110 b(95,125c(100,120 d(105,115考點(diǎn)正態(tài)分布的應(yīng)用題點(diǎn)正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用答案c解析xn(110,52)，110，5.因此考試成績在區(qū)間(105,115，(100,120，(95,125上的概率分別是0.682 6,0.954 4,0.997 4.由于一共有60人參加考試，故可估計(jì)成績位于上述三個(gè)區(qū)間的人數(shù)分別是600.682 641,600.954 457,600.997 460.8在某市2018年1月份的高三質(zhì)量檢測考試中，理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布n(98,100)已知參加本次考試的全市理科學(xué)生約有9 450人，如果某學(xué)生在這次考試中的數(shù)學(xué)成績是108分，那么他的數(shù)學(xué)成績大約排在全市第()a1 500名 b1 700名c4 500名 d8 000名考點(diǎn)正態(tài)分布的應(yīng)用題點(diǎn)正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用答案a解析因?yàn)槔砜粕臄?shù)學(xué)成績x服從正態(tài)分布n(98,100)，所以p(x108)1p(88x108)1p(x)(10.682 6)0.158 7，所以0.158 79 4501 500，故該學(xué)生的數(shù)學(xué)成績大約排在全市第1 500名二、填空題9已知隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布n(a,4)，且p(x1)0.5，則實(shí)數(shù)a的值為 考點(diǎn)正態(tài)分布的概念及性質(zhì)題點(diǎn)求正態(tài)分布的均值或方差答案1解析x服從正態(tài)分布n(a,4)，正態(tài)曲線關(guān)于直線xa對稱，又p(x1)0.5，故a1.10設(shè)隨機(jī)變量xn(4，2)，且p(4x8)0.3，則p(x0) .考點(diǎn)正態(tài)分布的概念及性質(zhì)題點(diǎn)正態(tài)分布下的概率計(jì)算答案0.2解析概率密度曲線關(guān)于直線x4對稱，在4右邊的概率為0.5，在0左邊的概率等于8右邊的概率，即0.50.30.2.11某正態(tài)分布密度函數(shù)是偶函數(shù)，而且該函數(shù)的最大值為，則總體落入?yún)^(qū)間(0,2內(nèi)的概率為 考點(diǎn)正態(tài)分布的概念及性質(zhì)題點(diǎn)正態(tài)分布下的概率計(jì)算答案0.477 2解析正態(tài)分布密度函數(shù)是f(x)，x(，)，若它是偶函數(shù)，則0，f(x)的最大值為f()，1，p(0x2)p(2x2)p(2x2)0.954 40.477 2.三、解答題12已知隨機(jī)變量xn(，2)，且其正態(tài)曲線在(，80)上是增函數(shù)，在(80，)上為減函數(shù)，且p(72x88)0.682 6.(1)求參數(shù)，的值；(2)求p(64x72)考點(diǎn)正態(tài)分布的概念及性質(zhì)題點(diǎn)求正態(tài)分布的均值或方差解(1)由于正態(tài)曲線在(，80)上是增函數(shù)，在(80，)上是減函數(shù)，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x80對稱，即參數(shù)80.又p(72x88)0.682 6.結(jié)合p(x)0.682 6，可知8.(2)因?yàn)閜(2x2)p(6496)，所以p(x64)(10.954 4)0.045 60.022 8.所以p(x64)0.977 2.又p(x72)1p(7272)0.841 3，p(6464)p(x72)0.135 9.13某人騎自行車上班，第一條路線較短但擁擠，到達(dá)時(shí)間x(分鐘)服從正態(tài)分布n(5,1)；第二條路線較長不擁擠，x服從正態(tài)分布n(6,0.16)若有一天他出發(fā)時(shí)離點(diǎn)名時(shí)間還有7分鐘，問他應(yīng)選哪一條路線？若離點(diǎn)名時(shí)間還有6.5分鐘，問他應(yīng)選哪一條路線？考點(diǎn)正態(tài)分布的應(yīng)用題點(diǎn)正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用解還有7分鐘時(shí)：若選第一條路線，即xn(5,1)，能及時(shí)到達(dá)的概率p1p(x7)p(x5)p(5x7)p(2x2)若選第二條路線，即xn(6,0.16)，能及時(shí)到達(dá)的概率p2p(x7)p(x6)p(6x7)p(2.5x2.5)因?yàn)閜1p2，所以應(yīng)選第二條路線同理，還有6.5分鐘時(shí)，應(yīng)選第一條路線四、探究與拓展14為了了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況，抽查了該地區(qū)1 000名年齡在17.5歲至19歲的高三男生的體重情況，抽查結(jié)果表明他們的體重x(kg)服從正態(tài)分布n(，22)，且正態(tài)分布密度曲線如圖所示，若體重大于58.5 kg小于等于62.5 kg屬于正常情況，則這1 000名男生中屬于正常情況的人數(shù)約為 考點(diǎn)正態(tài)分布的應(yīng)用題點(diǎn)正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用答案683解析依題意可知，60.5，2，故p(58.5x62.5)p(x)0.682 6，從而屬于正常情況的人數(shù)為1 0000.682 6683.15從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值z服從正態(tài)分布n(，2)，其中近似為樣本平均數(shù)，2近似為樣本方差s2.利用該正態(tài)分布，求p(187.8z212.2)；某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記x表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2的產(chǎn)品件數(shù)，利用的結(jié)果，求e(x)(附：12.2)考點(diǎn)正態(tài)分布的應(yīng)用題點(diǎn)正態(tài)分布的綜合應(yīng)用解(1)抽取