蘇教版必修2 2.1.4 兩條直線的交點 學案.docx

2.1.4兩條直線的交點學習目標1.會用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標.2.會根據(jù)方程解的個數(shù)判定兩條直線的位置關系.3.會求過兩直線交點的直線方程，并能解決一些簡單的直線過定點問題知識點直線的交點與直線的方程組解的關系思考由兩直線方程組成的方程組解的情況與兩條直線的位置關系有何對應關系？答案(1)若方程組無解，則l1l2；(2)若方程組有且只有一個解，則l1與l2相交；(3)若方程組有無數(shù)解，則l1與l2重合梳理(1)兩直線的交點幾何元素及關系代數(shù)表示點aa(a，b)直線l1l1：a1xb1yc10點a在直線l1上a1ab1bc10直線l1與l2的交點是a(2)兩直線的位置關系方程組的解一組無數(shù)組無解直線l1，l2的公共點個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1，l2的位置關系相交重合平行1若兩直線相交，則交點坐標一定是兩直線方程所組成的二元一次方程組的解()2無論m為何值，xy10與x2my30必相交()類型一兩直線的交點問題例1分別判斷下列直線是否相交，若相交，求出它們的交點(1)l1：2xy7和l2：3x2y70；(2)l1：2x6y40和l2：4x12y80；(3)l1：4x2y40和l2：y2x3.解(1)方程組的解為因此直線l1和l2相交，交點坐標為(3，1)(2)方程組有無數(shù)個解，這表明直線l1和l2重合(3)方程組無解，這表明直線l1和l2沒有公共點，故l1l2.反思與感悟兩條直線相交的判定方法方法一聯(lián)立直線方程解方程組，若有一解，則兩直線相交方法二兩直線斜率都存在且斜率不相等方法三兩直線的斜率一個存在，另一個不存在跟蹤訓練1直線y2x與直線xy3的交點坐標是_答案(1,2)解析聯(lián)立兩方程得解得所以兩直線的交點坐標為(1,2)例2已知直線5x4y2a1與直線2x3ya的交點位于第四象限，則a的取值范圍是_答案解析由得由得a2.引申探究若本例中直線的方程不變，其交點改為位于第三象限，則a的取值范圍又如何？解由例2得交點坐標為，則由得a.反思與感悟求解此類問題關鍵是先利用方程組的思想，聯(lián)立兩方程，求出交點坐標；再由點在某個象限時坐標的符號特征，列出不等式組而求得參數(shù)的取值范圍跟蹤訓練2若直線l1：ykxk2與l2：y2x4的交點在第一象限，則實數(shù)k的取值范圍是_答案解析由得由得k2.類型二求過兩條直線交點的直線方程例3求過兩直線2x3y30和xy20的交點且與直線3xy10平行的直線方程解方法一解方程組得所以兩直線的交點坐標為.又所求直線與直線3xy10平行，所以所求直線的斜率為3.故所求直線方程為y3，即15x5y160.方法二設所求直線方程為(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0.(*)由于所求直線與直線3xy10平行，所以有得.代入(*)式，得xy0，即15x5y160.引申探究本例中若將“平行”改為“垂直”，又如何求解解設所求直線方程為(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0，由于所求直線與直線3xy10垂直，所以3(2)(3)10，解得，所以所求直線方程為5x15y180.反思與感悟求過兩條直線交點的直線方程，一般是先解方程組求出交點坐標，再結合其他條件寫出直線方程也可用過兩條直線l1：a1xb1yc10與l2：a2xb2yc20的交點的直線系方程a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(不包括l2的方程)，再根據(jù)其他條件求出待定系數(shù)，寫出直線方程跟蹤訓練3直線l經(jīng)過原點，且經(jīng)過另外兩條直線2x3y80，xy10的交點，則直線l的方程為_答案2xy0解析設所求直線方程為2x3y8(xy1)0，即(2)x(3)y80，因為l過原點，所以8.則所求直線方程為2xy0.類型三直線恒過定點問題例4求證：不論m取什么實數(shù)，直線(2m1)x(m3)y(m11)0都經(jīng)過一定點，并求出這個定點坐標證明方法一對于方程(2m1)x(m3)y(m11)0，令m0，得x3y110；令m1，得x4y100.解方程組得兩條直線的交點坐標為(2，3)將點(2，3)代入直線，得(2m1)2(m3)(3)(m11)0.這表明不論m取什么實數(shù)，所給直線均經(jīng)過定點(2，3)方法二將已知方程(2m1)x(m3)y(m11)0整理為(2xy1)m(x3y11)0.由于m取值的任意性，有解得所以不論m取什么實數(shù)，所給直線均經(jīng)過定點(2，3)反思與感悟解含有參數(shù)的直線恒過定點的問題(1)任給直線中的參數(shù)賦兩個不同的值，得到兩條不同的直線，然后驗證這兩條直線的交點就是題目中含參數(shù)直線所過的定點，從而問題得解(2)含有一個參數(shù)的二元一次方程若能整理為a1xb1yc1(a2xb2yc2)0，其中是參數(shù)，這就說明了它表示的直線必過定點，其定點可由方程組解得若整理成yy0k(xx0)的形式，則表示直線必過定點(x0，y0)跟蹤訓練4不論m為何實數(shù)，直線(m1)x(2m1)ym5恒過的定點坐標是_答案(9，4)解析方法一取m1，得直線y4.取m，得直線x9.故兩直線的交點為(9，4)，下面驗證直線(m1)x(2m1)ym5恒過點(9，4)將x9，y4代入方程，左邊(m1)94(2m1)m5右邊，故直線恒過定點(9，4)方法二直線方程可變形為(x2y1)m(xy5)0，對任意m該方程恒成立，解得故直線恒過定點(9，4).1已知直線l1：3x4y50與l2：3x5y60相交，則它們的交點是_答案解析由得2已知直線y2x10，yx1，yax2交于一點，則a的值為_答案解析由得由題意知yax2過點(9，8)，89a2，解得a.3不論m取什么實數(shù)，直線mxym0都過定點的坐標為_答案(1,0)解析由題意可知m(x1)y0.由可知故不論m取什么實數(shù)，直線mxym0都過定點(1,0)4下列各組直線中，兩直線相交的為_(填序號)yx2和y1；xy10和yx5；xmy10(m2)和x2y10；2x3y10和4x6y10.答案解析兩直線顯然相交；兩直線平行；直線xmy10過點(1,0)，直線x2y10過點(1,0)，故兩直線相交；兩直線平行5直線l過直線2xy40與x3y50的交點，且垂直于直線x2y0，則直線l的方程是_答案10x5y80解析由解得交點坐標為，故直線l過點，斜率為2，所以直線l的方程為y2，即為10x5y80.1方程組有唯一解的等價條件是a1b2a2b10.亦即兩條直線相交的等價條件是a1b2a2b10.2直線a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(r)是過直線a1xb1yc10與a2xb2yc20交點的直線，不包括直線a2xb2yc20.一、填空題1若兩條直線2x3ym0和xmy120的交點在x軸上，那么m的值是_答案24解析在2x3ym0中，令y0，得x；在xmy120中，令y0，得x12.由題意知12，故m24.2若直線x2y2k0與直線2x3yk0的交點在直線3xy0上，則k的值為_答案0解析由得交點坐標為(4k，3k)，代入3xy0，解得k的值為0.3過兩直線3xy10與x2y70的交點，并且與第一條直線垂直的直線方程是_答案x3y130解析直線3xy10與x2y70的交點為(1,4)，與3xy10垂直，得斜率為，由點斜式，得y4(x1)，即x3y130.4過l1：3x5y100和l2：xy10的交點，且平行于l3：x2y50的直線方程為_答案8x16y210解析由解得交點坐標為，故所求直線過點且與x2y50平行，可設方程為x2yc0(c5)，所以2c0，故c，所以所求直線方程為x2y0，即為8x16y210.5已知點a(0，1)，點b在直線xy10上，直線ab垂直于直線x2y30，則點b的坐標是_答案(2,3)解析直線ab垂直于直線x2y30，kab2.又直線ab過點(0，1)，直線ab的方程為y2x1，解方程組得b(2,3)6若a，b滿足a2b1，則直線ax3yb0必過的定點坐標是_答案解析因為a2b1，所以a12b，所以直線ax3yb0可化為(12b)x3yb0，即x3y(2x1)b0.由解得即直線ax3yb0必過的定點坐標是.7已知直線mx4y20與2x5yn0互相垂直，垂足坐標為(1，p)，則mnp_.答案20解析由兩直線互相垂直，得1，解得m10，又垂足坐標為(1，p)，代入直線10x4y20，得p2，將(1，2)代入直線2x5yn0，得n12，所以mnp20.8已知三條直線xy0，xy0，xay3構成三角形，則a的取值范圍是_答案a1解析xy0與xy0交于原點，無論a為何值，直線xay3總不經(jīng)過原點，故只需直線xay3與另兩條直線均不平行即可，即a1.9已知p1(a1，b1)與p2(a2，b2)是直線ykx1(k為常數(shù))上兩個不同的點，則關于x和y的方程組 的解的情況是_(填序號)無論k，p1，p2如何，總是無解；無論k，p1，p2如何，總有唯一的解；存在k，p1，p2，使之恰有兩解；存在k，p1，p2，使之有無窮多解答案解析由題意知，直線ykx1一定不過原點o，p1、p2是直線ykx1上不同的兩點，則op1與op2不平行，因此a1b2a2b10，所以二元一次方程組一定有唯一解10若三條直線xy10,2xy80，ax3y50有且只有兩個交點，則a_.答案3或6解析若三條直線有且只有兩個交點，則其中有兩條直線平行當xy10與ax3y50平行時，a3；當2xy80與ax3y50平行時，a6.11若直線l：ykx與直線l1：2x3y60的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是_答案(30，90)解析如圖，直線l1：2x3y60過a(3,0)，b(0,2)，而l過定點c(0，)，由圖象可知l的傾斜角的范圍是(30，90)二、解答題12過點(3,5)作直線4x3y20的垂線，求垂足坐標解設與4x3y20垂直的直線方程為3x4yc0，直線過點(3,5)，3345c0，c11，過點(3,5)與4x3y20垂直的直線方程為3x4y110.解方程組得垂足坐標為(1,2)13當0a2時，直線l1：ax2y2a4和l2：2xa2y2a24與坐標軸圍成一個四邊形，求使四邊形的面積最小時的a值解如圖，直線l1：a(x2)2(y2)0，l1過定點b(2,2)直線l2：(2x4)a2(y2)0，由2x40和y20得l2也過定點b(2,2)l1與y軸交于點a(0,2a)，l2與x軸交于點c(a22,0)s四邊形oabcsaobsboc(2a)2(a22)2a2a42.當a時，s取最小值.即四邊形oabc的面積最小時，a的值為.三、探究與拓展14已知兩條直線2x3yk0和xky120的交點在y軸上，那么k的值是_答案6解析聯(lián)立兩條直線的方程得解得x，兩直線交點在y軸上，0，k6(經(jīng)檢驗知符合