蘇教版必修三 2.3.1 平均數(shù)及其估計(jì) 學(xué)案.doc

2.3總體特征數(shù)的估計(jì)2.3.1平均數(shù)及其估計(jì)內(nèi)容要求1.會(huì)求樣本的平均數(shù)(重點(diǎn))；2.運(yùn)用樣本的平均數(shù)來(lái)估計(jì)總體的平均水平(重點(diǎn))；3.會(huì)應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題(難點(diǎn)).知識(shí)點(diǎn)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(或均值)1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(或均值)定義(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).(2)中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處在中間位置(或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(3)平均數(shù)(或均值)：如果n個(gè)數(shù)x1，x2，xn，那么(x1x2xn)叫做這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)(或均值).2.若取值為x1，x2，xn的頻率分別為p1，p2，pn，則其平均數(shù)為x1p1x2p2xnpn.3.三種數(shù)字特征與頻率分布直方圖的關(guān)系眾數(shù)眾數(shù)是最高長(zhǎng)方形的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，表示樣本數(shù)據(jù)的中心值中位數(shù)(1)在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值，但是有偏差；(2)表示樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線平均數(shù)(1)平均數(shù)等于每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和；(2)平均數(shù)是頻率分布直方圖的重心，是頻率分布直方圖的平衡點(diǎn)【預(yù)習(xí)評(píng)價(jià)】對(duì)某商店一個(gè)月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到樣本為（12，15，20，22，23，23，31，32，34，34，38，39，45，45，45，47，47，48，48，49，50，50，51，51，54，57，59，61，67，68），則該樣本的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)分別是_.解析由題意知各數(shù)為12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50，50,51,51,54,57,59,61,67,68，中位數(shù)是46，眾數(shù)是45，最大數(shù)為68，最小數(shù)為12，平均數(shù)為42.2.答案46,45,42.2題型一平均數(shù)的計(jì)算【例1】已知樣本數(shù)據(jù)：10,8,6,10,8,13,10,10,10,7,8,9,12,8,11,12,9,10,11,12，列出頻率分布表，求樣本平均數(shù).解極差為1367，取組距為2，分成4組，即5.5,7.5)，7.5,9.5)，9.5,11.5)，11.5,13.5，列頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率5.5,7.5)20.17.5,9.5)60.39.5,11.5)80.411.5,13.540.2合計(jì)201樣本平均數(shù)(1086101112)9.7.規(guī)律方法1.在一般情況下，要計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可使用“平均數(shù)”公式.2.當(dāng)數(shù)據(jù)較大，且大部分?jǐn)?shù)據(jù)在某一常數(shù)左、右波動(dòng)時(shí)，可先將各數(shù)減去同一個(gè)常數(shù)計(jì)算新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則所求平均數(shù)為新數(shù)據(jù)的平均數(shù)加上（減去）同一個(gè)常數(shù)，這種方法可以減少運(yùn)算量，故此法比較簡(jiǎn)便.【訓(xùn)練1】在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的17名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)绫硭荆撼煽?jī)(單位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人數(shù)23234111分別求這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù).解在17個(gè)數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75.上面表里的17個(gè)數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個(gè)數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是(1.5021.6031.901)1.69(m).故17名運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次為1.75 m，1.70 m,1.69 m.題型二用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)【例2】(1)一個(gè)球隊(duì)所有隊(duì)員的身高如下(單位：cm)：178,179,181,182,176,180,176,180,183,175,181,185,180,184.問(wèn)這個(gè)球隊(duì)的隊(duì)員平均身高是多少？(2)有容量為100的樣本，數(shù)據(jù)分組及各組的頻數(shù)、頻率如下：12.5,14.5)，6,0.06；14.5,16.5)，16,0.16；16.5,18.5)，18,0.18；18.5,20.5)，22,0.22；20.5,22.5)，20,0.20；22.5,24.5)，10,0.10；24.5,26.5，8,0.08.試估計(jì)總體的平均數(shù).解(1)法一利用平均數(shù)的定義計(jì)算.(178179181182176180176180183175181185180184)2 520180.所以該球隊(duì)的隊(duì)員平均身高為180 cm.法二利用新數(shù)據(jù)法進(jìn)行計(jì)算.取a180，將各數(shù)據(jù)減去180，得到一組新數(shù)據(jù)：2，1,1,2，4,0，4,0,3，5,1,5,0,4.(21124040351504)00，a0180180.故該球隊(duì)的隊(duì)員平均身高為180 cm.(2)法一(13.5615.51617.51819.52221.52023.51025.58)19.42.故總體的平均數(shù)約為19.42.法二13.50.0615.50.1617.50.1819.50.2221.50.2023.50.1025.50.0819.42.故總體的平均數(shù)約為19.42.規(guī)律方法1.當(dāng)條件給出某幾個(gè)范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)的頻數(shù)或頻率時(shí)，可用組中值求近似平均數(shù).2.對(duì)連續(xù)型分布的有關(guān)問(wèn)題，可用組中值法求樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，這種方法求得的平均值只是一個(gè)估計(jì)值.【訓(xùn)練2】某中學(xué)舉行電腦知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.求：(1)高一參賽學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)；(2)高一參賽學(xué)生的平均成績(jī).解(1)由圖可知眾數(shù)為65，又第一個(gè)小矩形的面積為0.3，設(shè)中位數(shù)為60x，則0.3x0.040.5，得x5，中位數(shù)為60565.(2)依題意，平均成績(jī)?yōu)?50.3650.4750.15850.1950.0567，平均成績(jī)約為67.方向1頻率分布直方圖中眾數(shù)、中位數(shù)的考查【例31】某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以160，180)，180，200)，200，220)，220，240)，240，260)，260，280)，280，300分組的頻率分布直方圖如圖(1)求直方圖中x的值；(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；(3)在月平均用電量為220，240)，240，260)，260，280)，280，300的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則從月平均用電量在220，240)內(nèi)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？解(1)由(0.0020.009 50.0110.012 5x0.0050.002 5)201，得x0.007 5，直方圖中x的值為0.007 5.(2)月平均用電量的眾數(shù)是230.(0.0020.009 50.011)200.450.5，月平均用電量的中位數(shù)在220，240)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，則(0.0020.009 50.011)200.012 5(a220)0.5，解得a224，即中位數(shù)為224.(3)月平均用電量在220，240)內(nèi)的用戶有0.012 52010025(戶)，同理可求月平均用電量為240，260)，260，280)，280，300的用戶分別有15戶、10戶、5戶，故抽樣比為.從月平均用電量在220，240)內(nèi)的用戶中應(yīng)抽取255(戶)方向2頻率分布表與特征數(shù)綜合【例32】已知50名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的分組及各組的頻數(shù)如下：(單位：分)40,50)，2；50,60)，3；60,70)，10；70,80)，15；80,90)，12；90,100，8.列出樣本的頻率分布表并求這50名同學(xué)的平均分.解由于每組的數(shù)據(jù)是一個(gè)范圍，所以可用各組區(qū)間的組中值近似地表示該組平均成績(jī).頻率分布表如下：成績(jī)分組頻數(shù)頻率40,50)20.0450,60)30.0660,70)100.2070,80)150.3080,90)120.2490,10080.16合計(jì)501.00法一總成績(jī)約為4525536510751585129583 810(分)，故這50名同學(xué)的平均分約為3 8105076.2(分).法二求組中值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和.450.04550.06650.20750.30850.24950.1676.2(分).即這50名同學(xué)的平均分約是76.2分.方向3頻率分布直方圖與特征數(shù)的綜合【例33】某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(jī)(均為整數(shù))分成六段40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100后，畫(huà)出如圖部分頻率分布直方圖.觀察圖形回答下列問(wèn)題：(1)求第四小組的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；(2)估計(jì)這次考試的及格率(60分及以上為及格)；(3)估計(jì)這次考試的平均分.解(1)因?yàn)楦鹘M的頻率和為1，所以第四組的頻率f41(0.0250.01520.010.005)100.3.頻率分布直方圖如圖所示：(2)依題意，60分及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組的頻率和為0.75.所以估計(jì)這次考試及格率為75%.(3)平均分為450.1550.15650.15750.3850.25950.0571.規(guī)律方法1.已知樣本數(shù)據(jù)是以某幾個(gè)范圍內(nèi)的頻數(shù)的形式給出時(shí)，通常用組中值代表相應(yīng)范圍內(nèi)數(shù)據(jù)的平均值，然后根據(jù)樣本平均數(shù)的計(jì)算公式求得近似平均數(shù).2.利用直方圖求數(shù)字特征時(shí)：(1)眾數(shù)是最高的矩形底邊的中點(diǎn)；(2)中位數(shù)左、右兩邊直方圖的面積應(yīng)該相等；(3)平均數(shù)等于每個(gè)小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘積之和.課堂達(dá)標(biāo)1.給定數(shù)據(jù)5,9,8,10,13的平均數(shù)為_(kāi).解析平均數(shù)(5981013)9.答案92. 某籃球運(yùn)動(dòng)員在一個(gè)賽季的40場(chǎng)比賽中得分為8，9，11，12，12，12，13，13，14，16，17，18，19，20，21，21，21，23，23，23，23，25，25，27，28，28，30，31，32，32，33，34，34，38，39，40，41，43，45，46，則中位數(shù)與眾數(shù)分別為_(kāi)、_.解析這40個(gè)數(shù)據(jù)中中間兩個(gè)數(shù)據(jù)都是23.因此中位數(shù)為23.這40個(gè)數(shù)據(jù)中23出現(xiàn)的次數(shù)最多共4次，因此眾數(shù)為23.答案23233.某商場(chǎng)買(mǎi)來(lái)一車蘋(píng)果，從中隨機(jī)抽取了10個(gè)蘋(píng)果，其重量(單位：克)分別為150,152,153,149,148,146,151,150,152,147，由此估計(jì)這車蘋(píng)果單個(gè)重量的平均值是_.解析平均數(shù)為149.8克.答案149.8克4.將一組數(shù)據(jù)同時(shí)減去3.1，得到一組新數(shù)據(jù)，若原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是_.解析設(shè)原來(lái)數(shù)據(jù)為a1，a2，an，則a1a2ann，從而新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3.1.答案3.15.某班進(jìn)行一次考核，滿分5分，3分(包括3分)以上為合格，得1分，2分，3分，4分，5分的人數(shù)占該班總?cè)藬?shù)的比例分別為5%,10%,35%,40%和10%，試求該班的平均得分.解該班的平均得分為10.0520.1030.3540.4050.103.4(分).課堂小結(jié)1.一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個(gè)，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，而不是該數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)，如果兩個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)相同，并且比其他數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都多，那么這兩個(gè)數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).2.一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是唯一的，求中位數(shù)時(shí)，必須先將這組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，那么，最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，那么，最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).3.利用直方圖求數(shù)字特征：眾數(shù)是最高矩形的底邊中點(diǎn).中位數(shù)左右兩邊直方圖的面積應(yīng)相等.平均數(shù)等于每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘積之和.4.求平均數(shù)的方法(1)定義法：已知x1，x2，x3，xn為某樣本的n個(gè)數(shù)據(jù)，則這n個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.(2)利用平均數(shù)的性質(zhì)：如果x1，x2，xn的平均數(shù)為，那么mx1a，mx2a，mxna的平均數(shù)是m a.(3)加減常數(shù)法：數(shù)據(jù)x1，x2，xn都比較大或比較小，且x1，x2，xn在固定常數(shù)a附近波動(dòng)，將原數(shù)據(jù)變化為x1a，x2a，xna，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則所求原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a.(4)加權(quán)平均數(shù)法：樣本中，數(shù)據(jù)x1有m1個(gè)，x2有m2個(gè)，xk有mk個(gè)，則.基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1.已知一組數(shù)據(jù)4,6,5,8,7,6，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_(kāi).解析6.答案62. 某市對(duì)上、下班交通情況作抽樣調(diào)查，上、下班時(shí)間各抽取了12輛機(jī)動(dòng)車行駛時(shí)速(km/h)分別為上班時(shí)間：18，20，21，26，27，28，28，30，32，33，35，40；下班時(shí)間：16，17，19，22，25，27，29，29，30，30，32，36，則上、下班時(shí)間的中位數(shù)分別是_和_.解析將兩組數(shù)據(jù)分別按從小到大排列，如上班時(shí)間的數(shù)據(jù)為18,20,21,26,27,28,28,30,32,33,35,40，找出中間兩個(gè)數(shù)為28,28，則其中位數(shù)為28，同理得出下班時(shí)間的中位數(shù)為28.答案28283.在一段時(shí)間里，一個(gè)學(xué)生記錄了其中10天他每天完成家庭作業(yè)所需要的時(shí)間，結(jié)果如下(單位：分鐘)：80,70,70,70,60,60,80,60,60,70.在這段時(shí)間里，該學(xué)生平均每天完成家庭作業(yè)所需時(shí)間是_(分鐘).解析法一觀察數(shù)據(jù)知：80出現(xiàn)2次，60與70各出現(xiàn)4次，又總次數(shù)為24410，該學(xué)生平均每天完成家庭作業(yè)所需時(shí)間為68(分鐘).法二觀察數(shù)據(jù)知所有數(shù)據(jù)均在70附近波動(dòng)，可將各數(shù)據(jù)同時(shí)減70得一組新數(shù)據(jù)：10,0,0,0，10，10,10，10，10,0這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，該學(xué)生平均每天完成家庭作業(yè)所需時(shí)間為70(2)68(分鐘).答案684.已知1,2,3,4，x1，x2，x3的平均數(shù)是8，那么x1x2x3的值是_.解析由條件知，1234x1x2x387.x1x2x346.答案465.某臺(tái)機(jī)床加工的1 000只產(chǎn)品中次品數(shù)的頻率分布如下表：次品數(shù)01234頻率0.50.20.050.20.05則次品數(shù)的眾數(shù)、平均數(shù)依次為_(kāi).解析數(shù)據(jù)xi出現(xiàn)的頻率為pi(i1,2，n)，則x1，x2，xn的平均數(shù)為x1p1x2p2xnpn.因此次品數(shù)的平均數(shù)為00.510.220.0530.240.051.1.由頻率知次品數(shù)的眾數(shù)為0.答案0,1.16.從一批機(jī)器零件毛坯中隨機(jī)抽取20件，稱得它們的質(zhì)量(單位：kg)如下：210208200205202218206214215207195207218192202216185227187215計(jì)算樣本平均數(shù)，并估計(jì)這批機(jī)器零件毛坯的平均質(zhì)量(結(jié)果精確到個(gè)位).解法一由題中數(shù)據(jù)得(210208215)206(kg)，即樣本平均數(shù)約為206 kg.法二將原數(shù)據(jù)中的各數(shù)據(jù)都減去200，得到一組新數(shù)據(jù)：108052186141575718821615271315新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(10815)6.45，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是200206(kg).于是估計(jì)這批機(jī)器零件毛坯的平均質(zhì)量約為206 kg.7.某地用隨機(jī)抽樣的方法檢查了630名50歲60歲女性血清甘油三酯含量(mg/dl)，頻率分布表如下表所示，分別用頻數(shù)和頻率計(jì)算這630名女性血清甘油三酯含量的平均值.分組組中值頻數(shù)頻率10,40)25270.04340,70)551690.26870,100)851670.265100,130)115940.149130,160)145810.129160,190)175420.067190,220)205280.044220,250)235140.022250,280)26540.006280,310)29530.005310,34032510.002合計(jì)6301解由于每組數(shù)據(jù)是一個(gè)范圍，所以可用組中值近似地求平均數(shù).法一設(shè)mi表示第i組的頻數(shù)，xi表示第i組的組中值，fi表示第i組的頻率.由各分組的組中值x1，x2，x11分別是25,55，325，用頻數(shù)計(jì)算時(shí)，血清甘油三酯含量的平均值ixi(2725169551325)103.8.法二用頻率計(jì)算時(shí)，血清甘油三酯含量的平均值ixi0.043250.268550.002325103.8.能力提升8. 某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分分別為甲：13，23，26，28，37，39，41；乙：24，25，32，36，37，45，47，那么甲、乙兩人這幾場(chǎng)比賽得分的中位數(shù)之和是_.解析甲的中位數(shù)是28，乙的中位數(shù)是36，則兩人比賽得分的中位數(shù)之和為64.答案649.若x1，x2，x10的平均數(shù)為a，x11，x12，x50的平均數(shù)為b，則x1，x2，x50的平均數(shù)是_.解析由題意知前10個(gè)數(shù)的總和為10a，后40個(gè)數(shù)的總和為40b，又總個(gè)數(shù)為50，x1，x2，x50的平均數(shù)為.答案10.青少年視力水平的下降已引起全社會(huì)的關(guān)注，為了了解某中學(xué)畢業(yè)年級(jí)300名學(xué)生的視力情況，從中抽測(cè)了一部分學(xué)生的視力，進(jìn)行數(shù)據(jù)整理如下：頻率分布表分組頻數(shù)頻率3.954.2520.044.254.5560.124.554.85230.464.855.15180.365.155.4510.02合計(jì)501.00若視力在4.85以上均屬正常不需矯正，試估計(jì)該校畢業(yè)年級(jí)學(xué)生視力正常的人數(shù)約_.解析300(0.360.02)114(名)答案11411.某班有四個(gè)學(xué)習(xí)小組，各小組人數(shù)分別為10,10，x,8，已知這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為_(kāi).解析由于x未知，因此中位數(shù)不確定，需討論.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為(1010x8)(28x)，中位數(shù)是這4個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列后處在最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù).(1)當(dāng)x8時(shí)，原數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)閤,8,10,10，中位數(shù)是9，由(28x)9，得x8，符合題意，此時(shí)中位數(shù)是9；(2)當(dāng)8x10時(shí)，原數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?，x,10,10，中位數(shù)是(x10)，由(28x)(10x)，得x8，與8x10矛盾，舍去；(3)當(dāng)x10時(shí)，原數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?,10,10，x，中位數(shù)是10，由(28x)10，得x12，符合題意，此時(shí)中位數(shù)是10.綜上所述