人教B版必修4 3.2.2　半角的正弦、余弦和正切 教案.doc

示范教案3.2.2半角的正弦、余弦和正切教學分析本節(jié)內容實際上是上節(jié)公式的逆用，讓學生進一步理解高中數(shù)學的轉化與化歸這一重要數(shù)學思想，培養(yǎng)學生運算和邏輯推理能力，提高學生的創(chuàng)新能力對培養(yǎng)學生的探索精神和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力具有十分重要的意義本節(jié)教學要求并不高，要求學生了解半角公式，能用公式求值，化簡簡單的恒等變形即可因此，在實際教學中不必過多地補充一些高技巧、高難度的練習有條件的學?？梢砸龑W生進行本節(jié)的探索與研究，可使用scilab編程或用電子表格中公式功能三維目標1通過讓學生探索、發(fā)現(xiàn)并推導半角的正弦、余弦和正切公式，了解它們之間的內在聯(lián)系，并通過題目訓練，加深對三角函數(shù)公式的理解，進一步培養(yǎng)學生的運算能力和邏輯推理能力2通過對半角公式的運用，會進行簡單的求值、化簡和恒等證明，使學生進一步養(yǎng)成利用聯(lián)系變化的觀點來觀察、分析問題的習慣3通過本節(jié)學習，引導學生領悟尋找數(shù)學規(guī)律的方法，培養(yǎng)學生善于發(fā)現(xiàn)和勇于探索的科學精神重點難點教學重點：半角的正弦、余弦和正切公式的推導及其應用教學難點：半角公式的靈活運用課時安排1課時導入新課思路1.(復習引入)我們知道變換是數(shù)學的重要工具，也是數(shù)學學習的主要對象之一，三角函數(shù)主要有以下三個基本的恒等變換：代數(shù)變換、公式的逆向變換和多向變換以及引入輔助角的變換前面已經利用倍角公式進行了簡單的化簡、求值及解決實際問題，本節(jié)將利用二倍角公式的逆用推導出半角公式，并用它來解決一些三角函數(shù)式的化簡、求值等思路2.(直接引入)先讓學生寫出上節(jié)課學習的二倍角公式，接著讓學生探究公式的逆用，由此展開新課推進新課活動：教師引導學生聯(lián)想關于余弦的二倍角公式cos12sin2，將公式中的用代替，解出sin2即可教師對學生的討論進行提問，學生可以發(fā)現(xiàn)：是的二倍角在倍角公式cos212sin2中，以代替2，以代替，即得cos12sin2，所以sin2，即sin(s)在倍角公式cos22cos21中，以代替2，以代替，即得cos2cos21，所以cos2，即cos(c)將兩個等式的左右兩邊分別相除，即得tan2，即tan(t)上面三個公式，稱作半角公式在半角公式中，根號前的正負號，由角所在象限確定又根據(jù)正切函數(shù)的定義，得到tan；tan.這樣我們就得到另外兩個公式：tan；tan.這即為本節(jié)教材中的例2，因其不帶正負號，用起來有其獨到之處在這些公式中，根號前面的符號由所在象限相應的三角函數(shù)值的符號確定，如果所在象限無法確定，則應保留根號前面的正、負兩個符號教師引導學生觀察上面的式，可讓學生總結出下列特點：(1)用單角的三角函數(shù)表示它們的一半即是半角的三角函數(shù)；(2)由左式的“二次式”轉化為右式的“一次式”(即用此式可達到“降次”的目的)教師與學生一起總結出這樣的特點，并告訴學生這些特點在三角恒等變形中將經常用到提醒學生在以后的學習中引起注意教師引導學生通過這兩種變換共同討論歸納得出：對于三角變換，由于不同的三角函數(shù)式不僅會有結構形式方面的差異，而且還有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異因此，三角恒等變換常常先尋找式子所包含的各個角間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)，選擇可以聯(lián)系它們的適當公式，這是三角恒等變換的重要特點代數(shù)式變換往往著眼于式子結構形式的變換討論結果：(1)是的二倍角(2)sin2.(3)(4)略(見活動)思路1例 1已知cos，求sin，cos，tan的值解：sin，cos，tan.變式訓練1求sin15，cos15，tan15的值解：因為15是第一象限的角，所以sin15；cos15；tan152.2已知為第二象限角，sin()，則cos的值為()a.b.cd解析：sin()，sin.又為第二象限角，cos，cos2cos21，而在第一、三象限，cos.答案：c例 2已知sin2，2，求tan.解：因為2，故，有cos2，所以tan.變式訓練1已知sincos，且，則cos2的值是_答案：2函數(shù)f(x)sin2xsinxcosx在區(qū)間，上的最大值是()a1b.c.d1答案：c思路2例 1已知sin2 010，求sin1 005，cos1 005，tan1 005的值解：因為2 0105360210是第三象限的角，所以cos2 010.又1 0052360285是第四象限的角，所以sin1 005，cos1 005，tan1 0052.變式訓練求cos的值解：因為是第一象限的角，所以cos.例 2證明tan()活動：教師引導學生思考，對于三角恒等式的證明，可從三個角度進行推導：左邊右邊；右邊左邊；左邊中間條件右邊教師可以鼓勵學生試著多角度的化簡推導注意式子左邊包含的角為x，三角函數(shù)的種類為正弦，余弦，右邊是半角，三角函數(shù)的種類為正切證明：方法一：從右邊入手，切化弦，得tan()，由左右兩邊的角之間的關系，想到分子分母同乘以cossin，得.方法二：從左邊入手，分子分母運用二倍角公式的變形，降倍升冪，得.由兩邊三角函數(shù)的種類差異，想到弦化切，即分子分母同除以cos，得tan().變式訓練已知，(0，)且滿足：3sin22sin21,3sin22sin20，求2的值解法一：3sin22sin213sin212sin2，即3sin2cos2，3sin22sin203sincossin2，22，得9sin49sin2cos21，即9sin2(sin2cos2)1，sin2.(0，)，sin.sin(2)sincos2cossin2sin3sin2cos3sincos3sin(sin2cos2)31.，(0，)，2(0，)2.解法二：3sin22sin21 cos212sin23sin2，3sin22sin20 sin2sin23sincos，cos(2)coscos2sinsin2cos3sin2sin3sincos0.，(0，)，2(0，)2.解法三：由已知3sin2cos2，sin2sin2，兩式相除，得tancot2，tantan(2)(0，)，tan0.tan(2)0.又(0，)，20，得02.由tantan(2)，得2，即2.例 3求證：1.活動：證明三角恒等式，一般要遵循“由繁到簡”的原則，另外“化弦為切”與“化切為弦”也是在三角式的變換中經常使用的方法證法一：左邊11右邊，原式成立證法二：右邊1左邊，原式成立1先讓學生自己回顧本節(jié)學習的數(shù)學知識：和、差、倍角的正弦、余弦公式的應用，半角公式、代數(shù)式變換與三角變換的區(qū)別與聯(lián)系，三角恒等式與條件等式的證明2教師畫龍點睛總結：本節(jié)學習了公式的應用，換元法，方程思想，等價轉化，三角恒等變形的基本方法課本本節(jié)習題32a組3,4,5，b組13.1本節(jié)主要學習了怎樣推導半角公式以及如何利用已有的公式進行簡單的恒等變換在解題過程中，應注意對三角式的結構進行分析，根據(jù)結構特點選擇合適公式，進行公式變形，還要思考一題多解、一題多變，并體會其中的一些數(shù)學思想，如換元、方程思想，“1”的代換，逆用公式等2在近幾年的高考中，對三角變換的考查仍以基本公式的應用為主，突出對求值的考查，特別是對平方關系及和角公式的考查應引起重視，其中對符號的判斷是經常出問題的地方，應用誘導公式時符號問題也是常出錯的地方備用習題1已知cos(2)，則tan等于()a. b. c d2已知為鈍角，為銳角，且sin，sin，則cos等于()a7 b7c d.3若sin()，則cos(2)等于()a b c. d.4已知是