蘇教版選修22 2.2.1直接證明 學(xué)案.docx

2.2.1直接證明學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解直接證明的特點(diǎn).2.理解綜合法、分析法的意義，掌握綜合法、分析法的思維特點(diǎn).3.會(huì)用綜合法、分析法解決問題知識(shí)點(diǎn)一直接證明思考閱讀下列證明過程，總結(jié)此證明方法有何特點(diǎn)？已知a，b0，求證：a(b2c2)b(c2a2)4abc.證明：因?yàn)閎2c22bc，a0，所以a(b2c2)2abc.又因?yàn)閏2a22ac，b0，所以b(c2a2)2abc.因此a(b2c2)b(c2a2)4abc.答案利用已知條件a0，b0和重要不等式，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論梳理(1)直接從原命題的條件逐步推得命題成立，這種證明通常稱為直接證明(2)直接證明的一般形式本題結(jié)論知識(shí)點(diǎn)二分析法和綜合法思考閱讀證明基本不等式的過程，試分析兩種證明過程有何不同特點(diǎn)？已知a，b0，求證：.證明：方法一()20，()2()220，ab2，.方法二要證，只需證ab2，只需證ab20，只需證()20，()20顯然成立，原不等式成立答案方法一從已知條件出發(fā)推出結(jié)論；方法二從結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件梳理綜合法和分析法定義比較直接證明定義推證過程綜合法從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止這種證明方法稱為綜合法分析法從問題的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實(shí)吻合為止這種證明方法稱為分析法類型一綜合法例1已知a，b，cr，且它們互不相等，求證a4b4c4a2b2b2c2c2a2.證明a4b42a2b2，b4c42b2c2，a4c42a2c2，2(a4b4c4)2(a2b2b2c2c2a2)，即a4b4c4a2b2b2c2c2a2.又a，b，c互不相等，a4b4c4a2b2b2c2c2a2.反思與感悟(1)用綜合法證明有關(guān)角、邊的不等式時(shí)，要分析不等式的結(jié)構(gòu)，利用正弦定理、余弦定理將角化為邊或邊化為角通過恒等變形、基本不等式等手段，可以從左證到右，也可以從右證到左，還可兩邊同時(shí)證到一個(gè)中間量，一般遵循“化繁為簡(jiǎn)”的原則(2)用綜合法證明不等式時(shí)常用的結(jié)論ab()2(a，br)ab2(a0，b0)跟蹤訓(xùn)練1已知a，b，c為不全相等的正實(shí)數(shù)求證：3.證明因?yàn)?.又a，b，c為不全相等的正實(shí)數(shù)，而2，2，2，且上述三式等號(hào)不能同時(shí)成立，所以3633，即3.例2求證：sin(2)sin 2sin cos()證明因?yàn)閟in(2)2sin cos()sin()2sin cos()sin()cos cos()sin 2sin cos()sin()cos cos()sin sin()sin .所以原等式成立反思與感悟證明三角恒等式的主要依據(jù)(1)三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式及同角基本關(guān)系式(2)和、差、倍角的三角函數(shù)公式(3)三角形中的三角函數(shù)及三角形內(nèi)角和定理(4)正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式跟蹤訓(xùn)練2在abc中，證明：bc.證明在abc中，由正弦定理及已知，得.于是sin bcos ccos bsin c0，即sin(bc)0.因?yàn)閎c0，求證： a2.證明要證 a2，只需要證 2a.因?yàn)閍0，故只需要證( 2)2(a)2，即a24 4a222(a)2，從而只需要證2 (a)，只需要證4(a2)2(a22)，即a22，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立反思與感悟分析法的應(yīng)用范圍及方法跟蹤訓(xùn)練3求證： (a3)證明方法一要證，只需證，只需證()2()2，只需證2a322a32，只需證，只需證02，而02顯然成立，.1設(shè)alg 2lg 5，bex (xb解析alg 2lg 5lg 101，bexb.2設(shè)0x1，則a，bx1，c中最大的是_答案c解析0x2a，(x1)0，cba.3欲證成立，只需證下列各式中的_(填序號(hào))()2()2；()2()2；()2()2；()2b0時(shí)，才有a2b2，只需證，即證()2”或“”)答案b，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是_答案ab0解析由ab，得，則a，b需滿足ab0.2已知x0，y0，且1，則xy的最大值為_答案3解析12 .xy3，當(dāng)且僅當(dāng)x，y2時(shí)等號(hào)成立3已知函數(shù)f(x)lg ，若f(a)b，則f(a)_.答案b解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|1x1，且f(x)f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，f(a)f(a)b.4若p，q (a0)，則p與q的大小關(guān)系為_答案pq解析p22a72，q22a72，p2q2，即pb是sin asin b的_條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充要解析由正弦定理知2r，又a、b為三角形的內(nèi)角，sin a0，sin b0，sin asin b2rsin a2rsin babab.6設(shè)nn，則_.(判斷大小)答案解析要證，只需證，只需證()2()2，即2n522n52.只需證，只需證(n1)(n4)(n2)(n3)，即n25n4n25n6，即46即可而46成立，故ab，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是_答案a0，b0且ab解析ababaabba()b()(ab)()0()()20，故只需ab且a，b都不小于零即可9已知函數(shù)f(x)2x，a，b(0，)af()，bf()，cf()，且ab，則a，b，c從小到大排列為_答案cb，又f(x)2x在r上為增函數(shù)，abc.10比較大?。涸O(shè)a0，b0，則lg(1)_lg(1a)lg(1b)答案解析(1)2(1a)(1b)2(ab)0，(1)2(1a)(1b)，則lg(1)2lg(1a)(1b)，即lg(1)lg(1a)lg(1b)11在abc中，c60，a，b，c分別為a，b，c的對(duì)邊，則_.答案1解析由余弦定理，c2a2b22abcos c，c2a2b2ab，將式代入式，得1.二、解答題12已知a0，b0且ab1，求證： 2.證明要證 2，只需證ab2 4，又ab1，即只需證明 1.而 1成立，所以 2成立13在abc中，三個(gè)內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，且a，b，c成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，求證：abc為等邊三角形證明由a，b，c成等差數(shù)列，有2bac.由于a，b，c為abc的三個(gè)內(nèi)角，所以abc.由，得b.由a，b，c成等比數(shù)列，得b2ac，由余弦定理及，可得b2a2c22accos ba2c2ac，再由，得a2c2acac，即(ac)20，從而ac，所以ac.由，得abc，所以abc為等邊三角形三、探究與拓展14.如圖所示，在直四棱柱a1b1c1d1abcd中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蝍bcd滿足條件_時(shí)，有a1cb1d1(注：填上你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮所有可能的情形)答案對(duì)角線互相垂直(答案不惟一)解析要證a1cb1d1，只需證b1d1垂直于a1c所在的平面a1cc1，因?yàn)樵撍睦庵鶠橹彼睦庵?，所以b1d1cc1，故只需證b1d1a1c1即可15設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，已知a11，an1n2n，nn*.(1)求a2的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有.考點(diǎn)綜合法及應(yīng)用題點(diǎn)利用綜合法解決數(shù)列問題(1)解當(dāng)n1時(shí)，2a1a212，解得a24.(2)解2snnan1n