人教B版選修45 絕對值三角不等式 學(xué)案.doc

1.2.1 絕對值三角不等式課堂導(dǎo)學(xué)三點剖析一、利用絕對值三角不等式證明不等式【例1】 已知|x-a|,0|y-b|,y(0,m),求證:|xy-ab|.思路分析:由于題設(shè)和結(jié)論相差很遠(yuǎn),為了能整體運(yùn)用上條件,應(yīng)先對結(jié)論式的左端進(jìn)行配湊.證明:|xy-ab|=|xy-ya+ya-ab|=|y(x-a)+a(y-b)|y|x-a|+|a|y-b|,左邊=,|a+b|a|+|b|,.+1.從而有左邊右邊.溫馨提示 先把右邊放縮,再轉(zhuǎn)化用絕對值三角不等式與左邊“掛鉤”.也可構(gòu)造函數(shù)f(x)=在x0,+)上f(x)單調(diào)遞增,從而證明之.各個擊破類題演練1求證:c的充要條件是|a|c且|b|c.證明:先證必要性.|a|=|c,|a|c.|b|=|c,|b|c.再證充分性.(1)當(dāng)|a|b|時,a2b2,即(a+b)(a-b)0,此時與同號或其中之一為0,則=|=|a|c.(2)當(dāng)|a|b|時,a2b2,即(a+b)(a-b)0,即與異號,|+|=|-|=|b|c.當(dāng)|a|c,|b|c時,|+|c.故|+|c|a|c且|b|c.變式提升1已知a、b、cr,求證:.證明:設(shè)f(x)=(x0),可知當(dāng)x0時,f(x)為增函數(shù).0|a+b+c|a|+|b|+|c|,f(|a|+|b|+|c|)f(|a+b+c|),得二、應(yīng)用絕對值三角不等式等號成立的條件解題【例3】 (1)設(shè)a、br且|a+b+1|1,|a+2b+4|4,求|a|+|b|的最大值.解析：|a+b|=|(a+b+1)-1|a+b+1|+|-1|1+1=2,|a-b|=|3(a+b+1)-2(a+2b+4)+5|3|a+b+1|+2|a+2b+4|+531+24+5=16.(1)當(dāng)ab0時,|a|+|b|=|a+b|2;(2)當(dāng)ab0,|a|+|b|=|a|+|-b|=|a+(-b)|16.總之,恒有|a|+|b|16.而a=8,b=-8時,滿足|a+b+1|=1,|a+2b+4|=4,且|a|+|b|=16.因此|a|+|b|的最大值為16.(2)若f(x)=x2-2x+c,|x1-x2|2,|x2|1,求證:|f(x1)-f(x2)|12.證明:|f(x1)-f(x2)|=|x12-2x1+c-x22+2x2-c|=|(x1-x2)(x1+x2-2)|=|x1-x2|x1+x2-2|2|x1+x2-2|=2|(x1-x2)+(2x2-2)|2(|x1-x2|+|2x2-2|)4+2|2x2-2|4+2(|2x2|+|-2|)4+4+4=12.|f(x1)-f(x2)|12.類題演練2已知|a|1,|b|1,求證:|1.證明:由|a|1,|b|0,1b0,則|=1,從而|1.變式提升2證明對于任意實數(shù)t,復(fù)數(shù)z=+i的模r,適合不等式r.證明:r=,為證對于任意實數(shù)t有r,只要證|cost|+|sint|即可.(1)當(dāng)ktk+(kz)時,則sintcost0,依推論1,|cost|+|sint|=|sint+cost|=|sin(t+)|(2)當(dāng)k+t(k+1)(kz)時,sintcost0,依推論1,|cost|+|sint|=|-cost|+|sint|=|sint-cost|=|sin(t-)|.總之,對于任意實數(shù)t,有|cost|+|sint|成立,即有r成立.三、絕對值三角不等式的其他應(yīng)用【例4】 (1)若不等式|x-4|+|x-3|a對一切實數(shù)x恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.解析：由|x-4|+|x-3|(x-4)-(x-3)|=1,得|x-4|+|x-3|min=1,故a的取值范圍是a|a0且cosx0,則上式=|cosx-cosy|=cosy-cosx,故應(yīng)選b.答案:b(3)解方程|x|+|logax|=|x+logax|(a1).解析:由當(dāng)且僅當(dāng)ab0,|a+b|=|a|+|b|知原方程等價于xlogax0,又x0,即logax0,解得x1.所以原方程的解集是x|x1.類題演練3(1)方程|2x-1|+|x-2|=|x+1|的實數(shù)解為_解析:原方程可化為|2x-1|+|2-x|=|(2x-1)+(2-x)|,依推論1,它等價于(2x-1)(2-x)0,x2.答案: x2(2)解不等式|x2-2x-3|+|x2-2x-8|5.解析:原不等式可化為|x2-2x-3|+|8+2x-x2|(x2-2x-3)+(8+2x-x2)|,依推論2,它等價于(x2-2x-3)(8+2x-x2)0.x-2或-1x4.變式提升3已知f(x)=x2+ax+b(a、br)的定義域為-1,1,且|f(x)|m成立,求m的最小值.解:由題意知m是|f(x)|在-1,1上的最大值.|f(0)|=|b|m,|f(1