人教B版選修45 反證法與放縮法 自主訓(xùn)練.doc

2.3 反證法與放縮法自主廣場(chǎng)1.設(shè)m=,則（ ）a.m=1 b.m1 d.m與1大小關(guān)系不定思路解析:分母全換成210.答案:b2.設(shè)a,b,cr+,p=a+b-c,q=b+c-a,r=c+a-b,則“pqr0”是“p,q,r同時(shí)大于零”的 （ ）a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件c.充要條件d.既不充分也不必要條件思路解析:必要性是顯然成立的；當(dāng)pqr0時(shí),若p,q,r不同時(shí)大于零,則其中兩個(gè)為負(fù),一個(gè)為正,不妨設(shè)p0,q0,r0,則q+r=2c0矛盾,即充分性也成立.答案:c3.已知a,br+,下列各式中成立的是（ ）a.cos2lga+sin2lgblg(a+b)c.=a+bd.a+b思路解析:cos2lga+sin2lgb0,lg110.所以=1.所以lg9lg111.答案:lg9lg110,y0,a=,b=,則a,b的大小關(guān)系是_.思路解析:a=b.答案:a(+)(n2).證明:=,又,將上述各式的兩邊分別相加,得1+(+).(1+)(+).8.已知a,b,c,dr,且a+b=c+d=1,ac+bd1.求證:a,b,c,d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).證明:假設(shè)a,b,c,d都是非負(fù)數(shù).因?yàn)閍+b=c+d=1,所以(a+b)(c+d)=1,而(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bdac+bd,所以ac+bd1,這與ac+bd1矛盾.所以假設(shè)不成立,即a,b,c,d中至少有一個(gè)為負(fù)數(shù).9.已知f(x)=x2+px+q,求證:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個(gè)不小于.證明:假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,則|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|c,求證:.證明:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(xr+),任取x1,x2r+,且x1x2,則f(x1)-f(x2)=c,f(a+b)f(c).即.又,.12.設(shè)a,br,0x,y1,求證:對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b必存在滿足條件的x,y使|xy-ax-by|成立.證明:假設(shè)對(duì)一切0x,y1,結(jié)論不成立,則有|xy-ax-by|.令x=0,y=1,得|b|;令x=1,y=0,得|a|;令x=y=1,得|1-a-b|1-=矛盾.故假設(shè)不成立,原命題結(jié)論正確.13.設(shè)sn=(nn+),求證:對(duì)于正整數(shù)m,n且mn,都有|sm-sn|.證明:|sm-sn|=|+|+|.|sin(n+1)|1,|sin(n+2)|1,|sinm|1,上式|+|+|=+=1-()m-n90,d是bc的中點(diǎn),求證:adbc,因?yàn)閎d=dc=bc,所以在abd中,adbd,從而bbad,同理ccad.所以b+cbad+cad,即b+ca.因?yàn)閎+c=180-a,所以180-aa,則abc.15.已知f(x)=(x-1).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若ab0,c=.求證:f(a)+f(c).(1)解:f(x)=,所以f(x)在區(qū)間(-,-1)和(-1,+)上分別為增函數(shù).(2)證明:首先證明對(duì)于任意的xy0,有f(x+y)x+y,由(1),知f(xy+x+y)f(x+y).所以f(x)+f(y)f