人教B版選修44 1.1直角坐標(biāo)系平面上的伸縮變換 學(xué)案.docx

【綜合評(píng)價(jià)】通過直角坐標(biāo)系，平面和空間中的點(diǎn)與坐標(biāo)(有序數(shù)組)、曲線與方程建立了聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，這些數(shù)所表示的幾何含義是不同的，同一曲線在不同坐標(biāo)系下的方程也有不同形式.因此我們研究幾何圖形時(shí)可以根據(jù)需要選擇不同的坐標(biāo)系.本講介紹了極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系，其中極坐標(biāo)系是重點(diǎn)內(nèi)容，同學(xué)們要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)極坐標(biāo)系下直線和圓的方程，理解它們的特點(diǎn)、意義. 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.回顧在平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的方法，體會(huì)坐標(biāo)系的作用.2.通過具體例子，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.3.能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.4.能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形(如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓)的方程.通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，體會(huì)在用方程刻畫平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義.5.借助具體實(shí)例(如圓形體育場(chǎng)看臺(tái)的座位、地球的經(jīng)緯度等)了解在柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中刻畫空間中點(diǎn)的位置的方法，并與空間直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的方法相比較，體會(huì)它們的區(qū)別.1.1直角坐標(biāo)系，平面上的伸縮變換1.1.1直角坐標(biāo)系1.1.2平面上的伸縮變換1.直角坐標(biāo)系(1)平面直角坐標(biāo)系的作用：使平面上的點(diǎn)與坐標(biāo)(有序?qū)崝?shù)對(duì))，曲線與方程建立聯(lián)系，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合.(2)坐標(biāo)法：根據(jù)幾何對(duì)象的特征，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立它的方程，通過方程研究它的性質(zhì)及與其他幾何圖形的關(guān)系.(3)坐標(biāo)法解決幾何問題的“三步曲”：第一步，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中涉及的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題；第二步，通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步，把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.2.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換(1)平面直角坐標(biāo)系中方程表示圖形，那么平面圖形的伸縮變換就可歸結(jié)為坐標(biāo)伸縮變換，這就是用代數(shù)方法研究幾何變換.(2)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)伸縮變換的坐標(biāo)表達(dá)式為其中a0，b0.【思維導(dǎo)圖】【知能要點(diǎn)】1.回顧坐標(biāo)系有關(guān)概念，體會(huì)坐標(biāo)系的作用.2.了解建立坐標(biāo)系的方法和原則.3.坐標(biāo)伸縮變換其中a0，b0.知識(shí)點(diǎn)1平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，它在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上起著劃時(shí)代的作用.坐標(biāo)系的創(chuàng)建，在代數(shù)和幾何之間架起了一座橋梁.利用坐標(biāo)系，我們可以方便地用代數(shù)的方法確定平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的位置，也可以方便地確定空間內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的位置.它使幾何概念得以用代數(shù)的方法來描述，幾何圖形可以通過代數(shù)形式來表達(dá)，這樣便可用抽象的代數(shù)方程將形象的幾何圖形表示出來，又可將先進(jìn)的代數(shù)方法應(yīng)用于幾何學(xué)的研究.建立數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或空間直角坐標(biāo)系，數(shù)形結(jié)合，我們可以解決許多數(shù)學(xué)問題，如函數(shù)問題就常常需要借助直角坐標(biāo)系來解決.【例1】 質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)沿?cái)?shù)軸的正方向前進(jìn)4個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)p1，然后反向走了1個(gè)單位，到達(dá)點(diǎn)p2，接下來每次反向并向前運(yùn)動(dòng)上次距離的.求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)n次后到達(dá)的點(diǎn)pn的坐標(biāo).解：設(shè)點(diǎn)pn的坐標(biāo)為xn.則xnx1()x1()2x1.()n1x141()()2.()n141()n.故pn的坐標(biāo)為xn1()n.【反思感悟】 直線坐標(biāo)系(數(shù)軸)是一維坐標(biāo)系，其點(diǎn)的坐標(biāo)是一個(gè)實(shí)數(shù).1.已知點(diǎn)a(0，1)，b(3，2)，向量(4，3)，則向量()a.(7，4) b.(7，4)c.(1，4) d.(1，4)答案：a解析：法一：設(shè)出點(diǎn)c坐標(biāo)，并利用(4，3)求出點(diǎn)c坐標(biāo)，然后計(jì)算的坐標(biāo).設(shè)c(x，y)，則(x，y1)(4，3)，所以從而(4，2)(3，2)(7，4).故選a.法二：利用求解.(4，3)(3，1)(7，4).故選a.【例2】如圖所示，圓o1與圓o2的半徑都是1，|o1o2|4，過動(dòng)點(diǎn)p分別作圓o1、圓o2的切線pm、pn(m、n分別為切點(diǎn))，使得|pm|pn|，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程.解：以o1o2的中點(diǎn)o為原點(diǎn)，o1o2所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則o1(2，0)，o2(2，0). 由已知|pm|pn|，得|pm|22|pn|2.因?yàn)閮蓤A的半徑均為1，所以|po1|212(|po2|21).設(shè)p(x，y)，則(x2)2y212(x2)2y21，即(x6)2y233，所以所求軌跡方程為(x6)2y233(或x2y212x30).【反思感悟】 本題求點(diǎn)的軌跡，考查建坐標(biāo)系和數(shù)形結(jié)合思想，利用勾股定理、兩點(diǎn)間距離公式等知識(shí)，巧妙探求動(dòng)點(diǎn)p滿足的條件.2.已知圓c1：(x3)2y21和圓c2：(x3)2y29，動(dòng)圓m同時(shí)與圓c1及圓c2相外切，求動(dòng)圓圓心m的軌跡方程.解：如圖所示，設(shè)動(dòng)圓m與圓c1及圓c2分別外切于點(diǎn)a和b，根據(jù)兩圓外切的條件，得|mc1|ac1|ma|，|mc2|bc2|mb|.|ma|mb|，|mc1|ac1|mc2|bc2|，即|mc2|mc1|2.這表明動(dòng)點(diǎn)m與兩定點(diǎn)c2、c1的距離的差是常數(shù)2.根據(jù)雙曲線的定義，動(dòng)點(diǎn)m的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)m與c2的距離大，與c1的距離小)，這里a1，c3，則b28，設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)為(x，y)，其軌跡方程為x21 (x100，所以，埋設(shè)地下管線m的計(jì)劃可以不修改.3.分別求一個(gè)伸縮變換，使其對(duì)應(yīng)滿足下列曲線的變換.(1)曲線y2sin 3x變換成曲線y3sin 2x；(2)橢圓1變換成圓x2y29.解：(1)將變換后的曲線y3sin 2x改寫成y3sin 2x，設(shè)伸縮變換為代入上式得y3sin2(x)，即ysin(2x)，與曲線y2sin 3x比較系數(shù)，得解得所以伸縮變換為(2)將變換后的圓x2y29改寫成x2y29，設(shè)伸縮變換為代入上式，得2x22y29，即1，與橢圓1比較系數(shù)，得，所以伸縮變換為基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.要得到函數(shù)ysin的圖象，只需將函數(shù)ysin 4x的圖象()a.向左平移個(gè)單位 b.向右平移個(gè)單位c.向左平移個(gè)單位 d.向右平移個(gè)單位答案：b解析：根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換關(guān)系求解.由ysinsin 4得，只需將ysin 4x的圖象向右平移個(gè)單位即可，故選b.2.向量a(1，1)，b(1，2)，則(2ab)a()a.1 b.0 c.1 d.2答案：c解析：法一：將(2ab)a展開后再進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算.a(1，1)，b(1，2)，a22，ab3，從而(2ab)a2a2ab431.法二：將2ab看做一個(gè)向量并求出其坐標(biāo)后再與a計(jì)算數(shù)量積.a(1，1)，b(1，2)，2ab(2，2)(1，2)(1，0)，從而(2ab)a(1，0)(1，1)1，故選c.3.在同一坐標(biāo)系中，將曲線y3sin 2x變?yōu)榍€ysin x的伸縮變換是()a. b. c. d.答案：b解析：設(shè)代入第二個(gè)方程ysin x得bysin ax，即ysin ax，比較系數(shù)可得4.在abc中，已知b(2，0)，c(2，0)，abc的周長(zhǎng)為10，則a點(diǎn)的軌跡方程為_.答案：1 (y0)解析：abc的周長(zhǎng)為10，|ab|ac|bc|10.其中|bc|4，即有|ab|ac|64.a點(diǎn)軌跡為橢圓除去長(zhǎng)軸兩頂兩點(diǎn)，且2a6，2c4.a3，c2，b25.a點(diǎn)的軌跡方程為1 (y0).5.將點(diǎn)p(2，3)變換為點(diǎn)p(1，1)的一個(gè)伸縮變換公式為_.答案：解析：設(shè)伸縮變換為由解得6.在平面直角坐標(biāo)系中，求下列方程所對(duì)應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換后的圖形.(1)5x2y0；(2)x2y21.解：根據(jù)變換公式，分清新舊坐標(biāo)代入即可.(1)由伸縮變換得到將其代入5x2y0，得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是5x3y0.經(jīng)過伸縮變換后，直線仍然是直線.(2)將代入x2y21，得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是1.經(jīng)過伸縮變換后，圓變成了橢圓.綜合提高7.在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線c變?yōu)榍€x24y21，則曲線c的方程為()a.25x236y21 b.9x2100y21c.10x24y1 d.x2y21答案：a解析：將代入x24y21，得25x236y21，為所求曲線c的方程.8.已知點(diǎn)a(1，3)，b(3，1)，點(diǎn)c在坐標(biāo)軸上，acb90，則滿足條件的點(diǎn)c的個(gè)數(shù)是()a.1 b.2 c.3 d.4答案：c解析：若c點(diǎn)在x軸上可設(shè)點(diǎn)c(x，0)，由acb90，得|ab|2|ac|2|bc|2，有(13)2(31)2(x1)232(x3)21，解得x10，x22.c點(diǎn)為(0，0)，(2，0).若點(diǎn)c在y軸上可設(shè)點(diǎn)c為(0，y)，由acb90，得|ab|2|ac|2|bc|2.有(13)2(31)2(01)2(3y)2(03)2(y1)2，解之得y10或y24.故c點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，0)，(0，4).這樣的點(diǎn)c有(0，0)，(2，0)，(0，4)共3個(gè)點(diǎn).9.將對(duì)數(shù)曲線ylog3x的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍得到的曲線方程為_.答案：ylog3解析：設(shè)p(x，y)為對(duì)數(shù)曲線ylog3x上任意一點(diǎn)，變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為p(x，y)，由題意知伸縮變換為代入ylog3x，得ylog3x，即ylog3.10.把圓x2y216沿x軸方向均勻壓縮為橢圓x21，則坐標(biāo)變換公式是_.答案：解析：設(shè)變換公式為代入x21中得2x21，即：162x22y216，與x2y216比較得11.已知abcd，求證：|ac|2|bd|22(|ab|2|ad|2).解：法一：(坐標(biāo)法)以a為坐標(biāo)原點(diǎn)o，ab所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xoy，則a(0，0)，設(shè)b(a，0)，c(b，c)，則ac的中點(diǎn)e，由對(duì)稱性知d(ba，c)，所以|ab|2a2，|ad|2(ba)2c2，|ac|2b2c2，|bd|2(b2a)2c2，|ac|2|bd|24a22b22c24ab2(2a2b2c22ab)，|ab|2|ad|22a2b2c22ab，|ac|2|bd|22(|ab|2|ad|2).法二：(向量法)在abcd中，兩邊平方得2|