第16講圓錐曲線與方程.doc

課題 圓錐曲線與方程考點透析選修2圓錐曲線與方程（必修）中心在坐標原點的橢圓標準方程與幾何性質B中心在坐標原點的雙曲線標準方程與幾何性質A中心在坐標原點的拋物線標準方程與幾何性質A曲線與方程A中心在坐標原點的拋物線標準方程與幾何性質B知識整合 1對于與圓錐曲線有關的問題時，要善于應用圓錐曲線的有關定義解題。一般的，若橢圓、雙曲線上一點與兩個焦點有關，應聯(lián)想到它們的第一定義，若圓錐曲線上一點與一個焦點或準線有關，應聯(lián)想到它們的統(tǒng)一定義。2求圓錐曲線的方程時，“先定型，后計算”，所謂“定型”是指曲線的類型，焦點所在的坐標軸，然后根據(jù)條件應用待定系數(shù)法求解。3利用圓錐曲線的標準方程及其幾何性質解題，一是要熟悉掌握圓錐曲線標準方程的形式，掌握基本量a，b，c，P的幾何意義與基本關系；二是根據(jù)圓錐曲線的標準方程及其幾何性質解決相關問題。4求動點軌跡，要熟悉求軌跡的幾個基本步驟以及求軌跡的基本方法，比如直接法、定義法、幾何法、參數(shù)法等?？键c自測 1.（2010 安徽）雙曲線方程為，則它的右焦點坐標為 2. (2010 南京一模) 以橢圓 （ab0）的右焦點為圓心的圓經過原點O，且與該橢圓的右準線交與A，B兩點，已知OAB是正三角形，則該橢圓的離心率是 。3.（2010 重慶）已知以F為焦點的拋物線上的兩點A、B滿足,則弦AB的中點到準線的距離為_.4.（2010揚州四模）已知橢圓與拋物線有相同的焦點，是橢圓與拋物線的的交點，若經過焦點，則橢圓的離心率為 . 典型例題 高考熱點一：求動點的軌跡方程例1.(2010江蘇)在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F。設過點T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M、，其中m0,。（1）設動點P滿足,求點P的軌跡；（2）設，求點T的坐標；（3）設,求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）。【分析】 本小題主要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎知識?？疾檫\算求解能力和探究問題的能力。高考熱點二：圓錐曲線的定義及其應用例2.(2010江西) 已知拋物線：經過橢圓：的兩個焦點.(1) 求橢圓的離心率；(2) 設，又為與不在軸上的兩個交點，若的重心在拋物線上，求和的方程. 【分析】考查橢圓和拋物線的定義、基本量，通過交點三角形來確認方程。高考熱點三：圓錐曲線的標準方程及其應用例3. （2010 南通）已知F1、F2為橢圓的焦點，P為橢圓上的 任意一點，橢圓的離心率為以P為圓心PF2長為半徑作圓P， 當圓P與x軸相切時，截y軸所得弦長為（1）求圓P方程和橢圓方程；（2）求證：無論點P在橢圓上如何運動，一定存在一個定圓與圓P相切，試求出這個定圓方程高考熱點四：圓錐曲線的幾何性質及其應用例4(2010 天津）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4。（1） 求橢圓的方程；（2） 設直線與橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標為（），點在線段的垂直平分線上，且，求的值【分析】本小題主要考察橢圓的標準方程和幾何性質，直線的方程，平面向量等基礎知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質及數(shù)形結合的思想，考查運算和推理能力。高考熱點五：與圓錐曲線有關的綜合性問題例5. （2010 山東）如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和.（）求橢圓和雙曲線的標準方程；（）設直線、的斜率分別為、，證明；（）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【分析】本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力。其中問題（3）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力， 誤區(qū)分析 F1、F2是雙曲線的焦點，點P在雙曲線上，若點P到焦點F1的距離為7，求P到焦點F2的距離試分析下面的解答錯在哪里？解：雙曲線的實軸長為6，由|PF1|-|PF2|=6，即|7-|PF2|=6，|PF2|=13或|PF2|=1隨堂練習 1（2010 湖南）設拋物線上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是_ 2（2010 江蘇）在平面直角坐標系xOy中，雙曲線上一點M，點M的橫坐標是3，則M到雙曲線右焦點的距離是 3.（2010 泰州）以為焦點且與直線有公共點的橢圓中，離心率最大的橢圓方程是 。4（2010 全國）已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交于點，且，則的離心率為 . 5已知定點M（3，2），F(xiàn)是拋物線的焦點，在此拋物線上求一點P，使|PM|+|PF|取得最小值，求點P的坐標6一動點在橢圓上移動，求它與定點連線中點的軌跡方程學力測評 1(2010 蘇北四市二模)若橢圓的對稱軸為坐標軸，長軸長與短軸長的和為18，焦距為6，則橢圓的方程為 2（2010 南京）拋物線y2 = 8x的焦點到雙曲線 = 1的漸近線的距離為 3如圖，已知雙曲線以長方形ABCD的頂點A，B為左、右焦點，且過C，D兩頂點若AB=4，BC=3，則此雙曲線的標準方程為 . ABCDxyO第四題第三題4（2010揚州三模）如圖，已知是橢圓 的左、右焦點，點在橢圓上，線段與圓相切于點，且點為線段的中點，則橢圓的離心率為 . 5（2010 北京）已知雙曲線的離心率為2，焦點與橢圓的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標為 ；漸近線方程為 。6（2010 福建）若點O和點分別是雙曲線的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,則的取值范圍為_ . 7設P是拋物線上的動點F是焦點，則點P到點的距離與點P到直線的距離之和的最小值 .8（2010 廣東）若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 9已知動圓A和圓B：(x+3) +y=81內切，并和圓C：(x-3) +y=1外切，求動圓圓心A的軌跡方程。10設橢圓的左焦點為F，上頂點為A，過點A且與AF垂直的光線經橢圓的右準線反射，反射光線與直線AF平行.(1)求橢圓的離心率；(2)設入射光線與右準線的交點為B，過A，B，F(xiàn)三點的圓恰好與直線3x一y+3=0相切，求橢圓的方程.11（2010 南通三模）在平面直角坐標系xOy中，已知對于任意實數(shù)，直線恒過定點F. 設橢圓C的中心在原點，一個焦點為F，且橢圓C上的點到F的最大距離為. （1）求橢圓C的方程；（2）設（m，n）是橢圓C上的任意一點，圓O：與橢圓C有4個相異公共點，試分別判斷圓O與直線l1：mx+ny=1和l2：mx+ny=4的位置關系. 12（2010 宿遷）如圖， 已知橢圓的長軸為，過點的直線與軸垂直直線所經過的定點恰好是橢圓的一個頂點,且橢圓的離心率.（1）求橢圓的標準方程； B（2）設是橢圓上異于、的任意一點，軸，為垂足，延長到點使得，連結延長交直線于點，為的中點試判斷直線與以為直徑的圓的位置關系參考答案圓錐曲線與方程考點自測 1、 2、3、 4、典型例題例1解：（1）設點P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化簡得。故所求點P的軌跡為直線。（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點T的坐標為。（3）點T的坐標為直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到，解得：、。（方法一）當時，直線MN方程為： 令，解得：。此時必過點D（1，0）；當時，直線MN方程為：，與x軸交點為D（1，0）。所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）。（方法二）若，則由及，得，此時直線MN的方程為，過點D（1，0）。若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點。因此，直線MN必過軸上的點（1，0）。例2解：（1）因為拋物線經過橢圓的兩個焦點， 所以，即，由得橢圓的離心率.（2）由（1）可知，橢圓的方程為： 聯(lián)立拋物線的方程得：，解得：或（舍去），所以 ，即，所以的重心坐標為.因為重心在上，所以，得.所以.所以拋物線的方程為：，橢圓的方程為：.例3解：（1），a=3c，b=，橢圓方程設為， 2分當圓P與x軸相切時，PF2x軸，故求得P（c，），圓半徑r=，由得c=2， 6分橢圓方程為， 8分此時圓P方程為 10分（2）以F1為圓心，作圓M，使得圓P內切于圓M，公切點設為Q，則點F1、P、Q在一直線上，從而F1Q=F1P+PQ=F1P+PF2=2a=6，存在圓M：滿足題設要求 15分例4.（1）解：由，得，再由，得由題意可知， 解方程組 得 a=2,b=1所以橢圓的方程為(2)解：由（1）可知A（-2,0）。設B點的坐標為（x1,y1）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2),于是A,B兩點的坐標滿足方程組由方程組消去Y并整理，得由得設線段AB是中點為M，則M的坐標為以下分兩種情況：（1）當k=0時，點B的坐標為（2,0）。線段AB的垂直平分線為y軸，于是（2）當K時，線段AB的垂直平分線方程為令x=0，解得由整理得綜上例5.解：（）由題意知，橢圓離心率為，得，又，所以可解得，所以，所以橢圓的標準方程為；所以橢圓的焦點坐標為（，0），因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，所以該雙曲線的標準方程為。誤區(qū)分析分析：本解答錯了，錯在哪里？這個錯誤非常隱蔽，不容易發(fā)現(xiàn)以上出現(xiàn)兩解的原因是考慮到P可能在不同的兩支上，而實際上呢？根據(jù)雙曲線定義可知：點P到兩焦點距離之差的絕對值為常數(shù)且這個常數(shù)小于兩焦點距離，即|PF1|-|PF2|= 2a|F1F2|，由已知得：a=3，b=2，c=5，雙曲線上的點到右焦點距離的最小值為c-a=21，P與F1在y軸的同一側，故|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=13一般地，若|PF1| a+c,則P可能在兩支上，若|PF1| a+c,則P只能在一支上正解：顯然雙曲線關于y軸對稱，不妨設F1為左焦點，則| PF1|= |a+exP|=7，xP=6或，將xP=6或代入|PF2|= |a-exP|得：|PF2|=13或|PF2|=1，而|PF2|= |a-exP|exP|-ae|-a|-a=c-a=2，|PF2|=13隨堂練習 16 24 3 45由拋物線的定義：拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離相等。 即|PF| = |PN| |PM|+|PF|= |PM|+|PN|當 M、P、N三點共線時距離之和最小。6解：設中點，動點，由題意知即在橢圓上，所求的軌跡方程為學力測評 1或； 21345，6789解：設動圓的半徑為，則_y_x_P_o_A_B_C_Q動圓A和圓B內切，所以AB=PBR,動圓A和圓C外切,所以 AC=CQ+R，所以AB AC PBCQ=9+1=10由橢圓定義知，動圓圓心A的軌跡為，為焦點的橢圓，方程為10【解】因為入射光線與反射光線垂直，所以入射光線與準線所成的角為， 即，所以，所以橢圓的離心率為 由知，可得，又，所以過三點的圓的圓心坐標為，半徑， 因為過三點的圓恰好與直線相切， 所以圓心到直線的距離等于半徑，即，得，所以，所以橢圓的方程為11解：（1）, 解得. 3分設橢圓C的長軸長、短軸長、焦距分別為2a，2b，2c，則由題設，知 于