蘇教版必修四 1.3.1三角函數(shù)周期性 課件（15張）.ppt

函數(shù)的周期性 theperiodicityoffunction 由單位圓中的三角函數(shù)線可知 正 余弦函數(shù)值的變化呈現(xiàn)周期現(xiàn)象 每當角增加 或減少 2 整數(shù)倍 所得角終邊與原來相同 故兩角的正弦 余弦值也分別相同 即 我們稱正余弦函數(shù)所具有的這種性質(zhì)稱為周期性 問題 如何用數(shù)學的語言來刻畫函數(shù)的周期性 復習回顧 函數(shù)周期性的定義 對于函數(shù)y f x 如果存在一個不為零的常數(shù)t 使得當x取定義域的每一個值時 都滿足f x t f x 那么就把函數(shù)y f x 叫做周期函數(shù) 不為零的常數(shù)t叫做這個函數(shù)的周期 不為零的常數(shù) sin x sinx 2k 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)均為周期函數(shù) 且周期t 2k k z且k 0 x取定義域內(nèi)的每一個值 cos x cosx 2k k z且k 0 每一個 思考 1 一個函數(shù)的周期有多少個 2 周期函數(shù)的圖象有何特征 周期函數(shù)圖象的形狀隨x的變化有規(guī)律的重復變化 最小正周期的概念 對于一個周期函數(shù)f x 如果它所有的周期中存在一個最小的正數(shù) 那么這個最小正數(shù)叫f x 的最小正周期 sin x sinxcos x cosx 2 2 自變量x只要并且至少增加到x 2 時 函數(shù)值才能重復取得 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的最小正周期是2 最小正周期在圖象上的意義 最小正周期是函數(shù)圖象重復出現(xiàn)需要的最短距離 若鐘擺的高度h mm 與時間t s 之間的函數(shù)關(guān)系如左圖所示 1 求該函數(shù)的周期 2 求t 11s時鐘擺的高度 2 4 10 50 例題講解1 解 2 設h f t 由函數(shù)的周期為2s可知 1 由函數(shù)的圖像可知該函數(shù)的周期為2s f 11 f 1 2x5 f 1 10 答 t 11s時鐘擺的高度為10mm 求下列函數(shù)的周期 1 y 3cosx 解 因為3cos x 3cosx x只要且至少增加到x 2 2 所以原函數(shù)的周期是2 2 y sin x 4 1 解 因為sin x 4 1 sin x 4 1 2 所以原函數(shù)的周期是2 例題講解2 3 求函數(shù)y cos2x的周期 解 設f x 周期為t 則f x t f x 即cos2 x t cos2x對任意的實數(shù)x都成立 不妨令u 2x 也就是cos u 2t cosu對任意的u都成立 由于y cosu的周期為2 可知cos u 2t cosu對于任意的u都成立的2t的最小正值為2 可知2t 2 即t f x cos2x的最小正周期為 所以原函數(shù)的周期是 結(jié)論 形如y asin x 或y acos x a 為常數(shù) a 0 x r 的函數(shù)的周期為t a 為常數(shù) a 0 x r 課堂練習 求下列函數(shù)的周期 直接用結(jié)論做 三角函數(shù)具有周期性的本質(zhì)原因 三角函數(shù)值的大小是由角的終邊在坐標系中的位置決定的 而在角的終邊轉(zhuǎn)動時 終邊每轉(zhuǎn)過2 都會與原來的終邊重合 這樣三角函數(shù)值就會周而復始地出現(xiàn) 思考 函數(shù)f x x2是否為周期函數(shù) 如果是 周期是多少 令f x t f x 即 x t 2 x2 即x2 2xt t2 x2 所以2xt t2 0 即t 2x t 0 所以t 0或t 2x 因為t 0或t 2x均不符合函數(shù)周期的要求 所以函數(shù)f x x2不是周期函數(shù) 課堂小結(jié) 2 正弦函數(shù)y sinx和余弦函數(shù)y cosx均為周期函數(shù) 且 最小正 周期為2 1 函數(shù)周期性的概念 3 形如y asin x 或y acos x a 為常數(shù) a 0 x r 的函數(shù)的周期為t 4 函數(shù)周期性的用途 課后作業(yè) 教材 p27 3 4p4