連續(xù)時(shí)間傅立葉變換.doc

此文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除信號(hào)與系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)報(bào)告 實(shí)驗(yàn)四 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換4.1連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的數(shù)字近似1 求CTFT的解析表達(dá)式?？蓪⒖醋鳎?。g=sym(exp(-2*t)*Heaviside(t);g2=subs(g,-t,t);x=g+g2;fx=fourier(x);2 創(chuàng)建一個(gè)向量，它包含了在區(qū)間t=0:tau:T-tau 上（其中和），信號(hào)的樣本。clc;t=0:0.01:10-0.01;y=exp(-2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(t-5)+exp(2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(-t+5);plot(t,y);3 鍵入y=fftshift(tau*fft(y)計(jì)算樣本。因?yàn)閷?duì)于基本上為零，就能近似用個(gè)樣本分析中計(jì)算出信號(hào)的CTFT。clc;t=0:0.01:10-0.01;y=exp(-2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(t-5)+exp(2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(-t+5);y=fftshift(0.01.*fft(y);y=abs(y);plot(t,y);axis(4,6,-0.1,1.2);4.構(gòu)造一個(gè)頻率樣本向量w，它按照 w=-(pi/tau)+(0:N-1)*(2*pi/(N*tau);與存在向量Y中的值相對(duì)應(yīng)。5.因?yàn)槭峭ㄟ^(guò)時(shí)移與相聯(lián)系的，所以CTFT就以線性相移項(xiàng)與相聯(lián)系。利用頻率向量w直接由Y計(jì)算的樣本，并將結(jié)果存入x中。clc;t=0:0.01:10-0.01;tau=0.01;N=10/0.01;y=exp(-2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(t-5)+exp(2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(-t+5);y=fftshift(0.01.*fft(y);w=-(pi/tau)+(0:N-1)*(2*pi/(N*tau);x=exp(j*5*w).*y;6.利用abs和angle畫(huà)出在w標(biāo)定的頻率范圍內(nèi)X的幅值和相位。對(duì)于相同的值，也畫(huà)出在1中所導(dǎo)出的解析式表達(dá)式的幅值和相位。CTFT的近似值與解析導(dǎo)得的相符嗎?若想在一張對(duì)數(shù)坐標(biāo)上畫(huà)出幅值，可以用semilogy，這是會(huì)注意到，在較高的頻率上近似不如在較低的頻率上好。因?yàn)橛昧藰颖窘?，所以在時(shí)間段長(zhǎng)度內(nèi)，信號(hào)變化不大的那些信號(hào)的頻率分量近似程度會(huì)更好一些。clc;tau=0.01;T=10;t=0:tau:T-tau;N=T/tau;y=exp(-2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(t-5)+exp(2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(-t+5);y=fftshift(0.01.*fft(y);w=-(pi/tau)+(0:N-1)*(2*pi/(N*tau);x=exp(i*5*w).*y;xp=abs(x);xf=angle(x);subplot(211)plot(t,xp);subplot(212)plot(t,xf);7.利用abs和angle畫(huà)出Y的幅值和相位，它們與X的圖比較后怎樣？能估計(jì)到這一結(jié)果嗎？clcsyms s w;g=sym(exp(-2*s)*Heaviside(s);g2=subs(g,-s,s);y=g+g2;fw=fourier(y,s,w);ff=atan(imag(fw)/real(fw);fp=abs(fw);tau=0.01;T=10;t=0:tau:T-tau;N=T/tau;y=exp(-2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(t-5)+exp(2*(t-5).*(0.5+0.5*sign(-t+5);y=fftshift(0.01.*fft(y);w=-(pi/tau)+(0:N-1)*(2*pi/(N*tau);x=exp(i*5*w).*y;xp=abs(x);xf=angle(x);subplot(211)hold onplot(t,xp);ezplot(fp,-10:10)hold offsubplot(212)hold onplot(t,xf);ezplot(ff,-10:10)hold off4.2連續(xù)時(shí)間傅立葉變換性質(zhì)1鍵入Y=fftshift(fft(y)，計(jì)算向量Y的傅立葉變換。鍵入 w=-pi:2*pi/N:pi-pi/N*fs;將對(duì)應(yīng)的頻率值存入向量w中。利用w和Y在區(qū)間內(nèi)畫(huà)出該連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的幅值。 函數(shù)ifft是fft的逆運(yùn)算。對(duì)于偶數(shù)長(zhǎng)度的向量，fftshift就是它本身的逆。對(duì)于向量Y，N=8192，這個(gè)逆傅立葉變換能用鍵入以下命令而求得 y=ifft(fftshift(Y); y=real(y);由于原時(shí)域信號(hào)已知是實(shí)的，所以這里用了函數(shù)real。然而，在fft和ifft中的數(shù)值舍入誤差都會(huì)在y中引入一個(gè)很小的非零虛部分量。一般說(shuō)來(lái)，逆CTFT不必是一個(gè)實(shí)信號(hào)，而虛部可以包含有顯著的能量。當(dāng)已知所得信號(hào)一定是實(shí)信號(hào)時(shí)，并且已經(jīng)證實(shí)所除掉的虛部分量是沒(méi)有意義的，real函數(shù)才能用于ifft的輸出上load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;Y=fftshift(fft(y);sound(y,fs);w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;subplot(211)plot(w,Y);title(Y);y=ifft(fftshift(Y);y=real(y);subplot(212)plot(w,y);title(y);2 置Y1=conj(Y)并將Y1的逆傅立葉變換存入Y1中，用real(y1)以確保y1是實(shí)的，用sound(y1,fs)將y1放出。已知的逆傅立葉變換是如何與聯(lián)系的，能解釋剛才聽(tīng)到的是什么嗎？load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;Y=fftshift(fft(y);Y1=conj(Y);y1=ifft(fftshift(Y1);sound(y1,fs);w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;plot(w,y1);答：剛才聽(tīng)到的是y信號(hào)反過(guò)來(lái)放的聲音。 的CTFT可以用它的幅值和相位寫(xiě)成 式中。對(duì)于許多信號(hào)，單獨(dú)用相位或幅值都能構(gòu)造出一個(gè)有用的信號(hào)的近似。例如，考慮信號(hào)和，其CTFT為 3.只要是實(shí)信號(hào)，用解析方法說(shuō)明和一定是實(shí)的。解：因?yàn)榧磞(t)=又因?yàn)槭菍?shí)信號(hào)故和一定是實(shí)的。4.構(gòu)造一個(gè)向量Y2等于Y的幅值，并將Y2的逆傅立葉變換存入向量y2中，用sound放出這個(gè)向量。load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;Y=fftshift(fft(y);sound(y,fs);w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;Y2=abs(Y);y2=ifft(fftshift(Y2);sound(y2,fs);plot(w,y2);5.構(gòu)造一個(gè)向量Y3，它有與Y相同的相位，但是幅值對(duì)每個(gè)頻率都等于1。并將Y3的逆傅立葉變換存入向量y3中，用sound放出這個(gè)向量。load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;Y=fftshift(fft(y);sound(y,fs);w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;Y3=Y./abs(Y);y3=ifft(fftshift(Y3);sound(y3,fs);plot(w,y3);6.根據(jù)剛才聽(tīng)到的這兩個(gè)信號(hào)，代表一個(gè)聲音信號(hào)你認(rèn)為傅立葉變換的那個(gè)部分是最關(guān)鍵的：幅值或相位？答：相位是最關(guān)鍵的。 7.用向量y創(chuàng)建一個(gè)向量y4，它包含有本該以8192Hz從采樣所得到的樣本。load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;sound(y,fs);y4=y(1:2:8192);sound(y4,fs);w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;w4=(-pi:2*pi/(N/2):pi-pi/(N/2)*(fs/2);subplot(211)plot(w,y);title(y);subplot(212)plot(w4,y4);title(y4);8.用y4=sound(y4,fs)放出y4。利用比較y4的傅立葉變換與y的傅立葉變換，能說(shuō)明在高音上的變化嗎？信號(hào)壓縮是如何影響它的傅立葉變換的？load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;sound(y,fs);y4=y(1:2:8192);sound(y4,fs);Y=fftshift(fft(y);Y4=fftshift(fft(y4);w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;w4=(-pi:2*pi/(N/2):pi-pi/(N/2)*(fs/2);subplot(211)plot(w,Y);title(Y);subplot(212)plot(w4,Y4);title(Y4);信號(hào)在時(shí)域中壓縮（a1）等效于在頻域中擴(kuò)展。9創(chuàng)建向量x，它由下式給出 注意，x是一個(gè)長(zhǎng)度為2*N的向量。load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;sound(y,fs);j=1;for i=1:2:(2*8192) x(i)=0; x(i+1)=y(j); j=j+1;end10.利用函數(shù)filter完成在x上的線性內(nèi)插。這里要用到的線性內(nèi)插器的單位沖激響應(yīng)是h=1 2 1/2。load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;sound(y,fs);j=1;for i=1:2:(2*8192) x(i)=0; x(i+1)=y(j); j=j+1;endh=1 2 1;a=2;y=filter(h,a,x);11.用sound(y5,fs)放出y5。用比較y5和y的傅立葉變換，能解釋在音調(diào)上的變化嗎？load splaty=y(1:8192);N=8192;fs=8192;sound(y,fs);j=1;w=(-pi:2*pi/N:pi-pi/N)*fs;w5=(-pi:2*pi/(N*2):pi-pi/(N*2)*(fs*2);for i=1:2:(2*8192) y5(i)=0; y5(i+1)=y(j); j=j+1;endsound(x,fs);Y=fftshift(fft(y);Y5=fftshift(fft(y5);subplot(211)plot(w,Y);subplot(212)plot(w5,Y5)4.3連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的符號(hào)計(jì)算1定義符號(hào)表達(dá)式x1和x2代表下面連續(xù)時(shí)間信號(hào)： 需要用函數(shù)Heaviside來(lái)表示單位階躍函數(shù)。x1=sym(Heaviside(t)*0.5*exp(-2*t);x2=sym(Heaviside(t)*exp(-4*t);2 對(duì)于1中所定義的和，用解析方法計(jì)算它們的CTFT在的值，即（不應(yīng)該先求來(lái)作這道題）CTFT在的值是怎樣與時(shí)域信號(hào)關(guān)聯(lián)的？clc; syms tx1=sym(Heaviside(t)*0.5*exp(-2*t);x2=sym(Heaviside(t)*exp(-4*t);fx1=simple(int(x1, t, -inf, inf);fx2=simple(int(x2, t, -inf, inf);31所定義的信號(hào)中，哪一個(gè)在時(shí)域衰減得更快？根據(jù)這一點(diǎn)，你能預(yù)期在頻域哪一個(gè)衰減得更快？x1=sym(Heaviside(t)*0.5*exp(-2*t);x2=sym(Heaviside(t)*exp(-4*t);subplot(211);ezplot(x1,-1:5);axis(-1,5,-0.1,0.8)subplot(212);ezplot(x2,-1:5);axis(-1,5,-0.1,1.2)X2在時(shí)域衰減得更快,X1在頻域衰減得更快.4 用函數(shù)fourier計(jì)算和得CTFT。定義x1和x2是由fourier產(chǎn)生的符號(hào)表達(dá)式。用ezplot產(chǎn)生和的幅值圖。這些圖能對(duì)2和3中的答案進(jìn)行確認(rèn)嗎？syms t w;x1=sym(Heaviside(t)*0.5*exp(-2*t);x2=sym(Heaviside(t)*exp(-4*t);fw1=fourier(x1,t,w);fw2=fourier(x2,t,w);ffw1=maple(convert,fw1,piecewise);ffw2=maple(convert,fw2,piecewise);ffp1=abs(ffw1);ffp2=abs(ffw2);subplot(211);ezplot(ffp1,-100:100);axis(-20,20,-0.1,0.3);title(fourier(x1);subplot(212);ezplot(ffp2,-100:100);axis(-20,20,-0.1,0.3);title(fourier(x2);5定義符號(hào)表達(dá)式y(tǒng)1代表下面連續(xù)時(shí)間信號(hào)： 它可以作為兩個(gè)Heaviside函數(shù)之差。y1=sym(Heaviside(t+2)-Heaviside(t-2);6.用解析方法求的CTFT，。syms t w;y=sym(Heaviside(t+2)-Heaviside(t-2);F=int(y*exp(-1i*w*t),t, -inf, inf);ezplot(F,-4*pi:4*pi);axis(-4*pi 4*pi 0 5)title(fourier(y1);7定義符號(hào)表達(dá)式y(tǒng)2表示信號(hào)。你能像對(duì)y1那樣用兩個(gè)Heaviside函數(shù)之差來(lái)完成，或者恰當(dāng)?shù)貙?duì)y1應(yīng)用subs。syms t w;y1=sym(Heaviside(t+2)-Heaviside(t-2);y2=subs(y1,t-2,t);fw=fourier(y2,t,w);ffw=maple(convert,fw,piecewise);ffp=abs(ffw);ezplot(ffp,-4*pi:4*pi);axis(-4*pi 4*pi 0 2.5)title(fourier(y2);8利用fourier求y1和y2的CTFT，并將它們存入Y1和Y2中。倘若Y1不是你所期望得到的表達(dá)式，那么試試在所得表達(dá)式上用simple以便得出更為熟悉的形式。syms t w;y1=sym(Heaviside(t+2)-Heaviside(t-2);y2=subs(y1,t-2,t);Y1=fourier(y1,t,w);Y2=fourier(y2,t,w);9用ezplot產(chǎn)生和的幅值圖。比較這兩張圖情況如何？由這兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域之間的關(guān)系能預(yù)測(cè)到這個(gè)結(jié)果嗎？syms t w;y1=sym(Heaviside(t+2)-Heaviside(t-2);y2=subs(y1,t-2,t);Y1=fourier(y1,t,w);fY1=maple(convert,Y1,piecewise);fpY1=abs(fY1);Y2=fourier(y2,t,w);fY2=maple(convert,Y2,piecewise);fpY2=abs(fY2);hold onezplot(fpY1,-4*pi:4*pi);ezplot(fpY2,-4*pi:4*pi);axi