江蘇省2012屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)教學(xué)案：第6講　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用.doc

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(2011湖南)曲線y在點(diǎn)M處的切線的斜率為_2.(2009江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在曲線C：yx310x3上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_. 3.(2010遼寧)已知點(diǎn)P在曲線y上，為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是_4.(2011福建)若a0，b0，且函數(shù)f(x)4x3ax22bx2在x1處有極值，則ab的最大值等于_5.(2011江西)設(shè)f(x)x3x22ax.(1) 若f(x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2) 當(dāng)0a2時(shí)，f(x)在1,4上的最小值為，求f(x)在該區(qū)間上的最大值6.(2010遼寧)已知函數(shù)f(x)(a1)lnxax21.(1) 討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2) 設(shè)a1)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3) 如果存在a3,9，使函數(shù)h(x)f(x)f(x)(x3，b)在x3處取得最大值，試求b的最大值解：(1) 設(shè)切點(diǎn)為T(x0，x03x02)，由f(x)3x22x及題意得3x022x01(2分)解得x01或x0，所以T(1,0)或T，所以切線方程為xy10或27x27y50，(4分)(2) 因?yàn)間(x)x2xaalnx(x1)，所以由g(x)2x10得2x2xa0(6分)令(x)2x2xa(x1)，因?yàn)?x)在(1，)遞增，所以(x)(1)3a.當(dāng)3a0，即a3時(shí)，g(x)的增區(qū)間為(1，)；(8分)當(dāng)3a3時(shí)，因?yàn)?1)3a0，所以(x)的一個(gè)零點(diǎn)小于1，另一個(gè)零點(diǎn)大于1，由(x)0得x11，從而(x)0(x1)的解集為即g(x)的增區(qū)間為.(10分)(3) h(x)x34x2(2a)xa，h(x)3x28x(2a)因?yàn)榇嬖赼(3,9，令h(x)0，得x1，x2，所以要使h(x)(x3，b)在x3處取得最大值，必有解得a5，即a5,9(13分)所以存在a5,9使h(x)(x3，b)在x3處取得最大值的充要條件為h(3)h(b)即存在a5,9使(b3)a(b34b22b3)0成立因?yàn)閎30所以9(b3)(b34b22b3)0，即(b3)(b2b10)0，解得b，所以b的最大值為(16分)第6講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1. 函數(shù)f(x)x315x233x6的單調(diào)減區(qū)間為_【答案】(1,11)解析： f(x)3x230x333(x11)(x1)，由(x11)(x1)0得單調(diào)減區(qū)間為(1,11)亦可填寫閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間2. 已知函數(shù)f(x)ax3bx2x3，其中a，bR，a0.(1) 當(dāng)a，b滿足什么條件時(shí)，f(x)取得極值？(2) 已知a0，且f(x)在區(qū)間(0,1上單調(diào)遞增，試用a表示出b的取值范圍解： (1)由已知得f(x)ax22bx1，令f(x)0，得ax22bx10，f(x)要取得極值，方程ax22bx10必須有兩個(gè)不同解，所以4b24a0，即b2a, 此時(shí)方程ax22bx10的根為x1，x2，所以f(x)a(xx1)(xx2)當(dāng)a0時(shí)，x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)極大值極小值所以f(x)在x1，x2處分別取得極大值和極小值當(dāng)a0時(shí)，x(，x2)x2(x2，x1)x1(x1，)f(x)00f (x)極小值極大值所以f(x)在x1，x2處分別取得極大值和極小值綜上，當(dāng)a，b滿足b2a時(shí)，f(x)取得極值(2) 要使f(x)在區(qū)間(0,1上單調(diào)遞增，需使f(x)ax22bx10在(0,1上恒成立即b，x(0,1恒成立， 所以bmax.設(shè)g(x)，g(x)，令g(x)0得x或x(舍去)，當(dāng)a1時(shí)，01，當(dāng)x時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)x時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x時(shí)，g(x)取得極大值，極大值為g.所以b.當(dāng)0a1時(shí)，1，此時(shí)g(x)0在區(qū)間(0,1上恒成立，所以g(x)在區(qū)間(0,1上單調(diào)遞增，當(dāng)x1時(shí)，g(x)最大，最大值為g(1)，所以b.綜上，當(dāng)a1時(shí)，b；當(dāng)0a1時(shí)，b.點(diǎn)評(píng)：本題為三次函數(shù)，利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和函數(shù)的最值，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上的符號(hào)確定，從而轉(zhuǎn)為不等式恒成立，再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值運(yùn)用函數(shù)與方程的思想，化歸思想和分類討論的思想解答問題基礎(chǔ)訓(xùn)練1. (，3)(3，)解析：f(x)3x22ax3，4a2360，解得a3或a3.2. 9解析：yx2810，解得0x9；令導(dǎo)數(shù)yx2810，解得x9，所以函數(shù)yx381x234在區(qū)間(0,9)上是增函數(shù)，在區(qū)間(9，)上是減函數(shù)，所以在x9處取極大值，也是最大值3. ln21解析：y，令得x2，故切點(diǎn)為(2，ln2)，代入直線方程得，bln21.4. a|a0解析：由題意知該函數(shù)的定義域?yàn)?0，)，由f(x)2ax.因?yàn)榇嬖诖怪庇趛軸的切線，故此時(shí)斜率為0，問題轉(zhuǎn)化為在x0范圍內(nèi)，導(dǎo)函數(shù)f(x)2ax存在零點(diǎn)等價(jià)于方程2ax0在(0，)內(nèi)有解，顯然可得a(，0)例題選講例1解：(1) 設(shè)切線的斜率為k，因?yàn)閒(x)3x23，點(diǎn)P(1，2)在曲線上， k330，所以所求的切線的方程為y2.(2) f(x)3x23，設(shè)切點(diǎn)Q(x0，y0)，則：3x3，即：3x3，解得x00或3，由kf(x0)得k3或24，得y3x或y24x54.變式訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)x32x23x(xR)的圖象為曲線C.(1) 求過曲線C上任意一點(diǎn)的切線斜率的取值范圍；(2) 若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍解： (1) f(x)x24x3，則f(x)(x2)211，即過曲線C上任意一點(diǎn)的切線斜率的取值范圍是1，)(2) 由(1)可知解得1k0或k1，由1x24x30或x24x31，得：x(，2(1,3)2，)，即所求取值范圍例2解：(1)f(x)(xk1)ex，令f(x)0xk1；所以f(x)在(，k1)上遞減，在(k1，)上遞增(2) 當(dāng)k10，即k1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上遞增，所以f(x)minf(0)k；當(dāng)0k11即1k2時(shí)，由(1)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間0，k1上遞減，(k1,1上遞增，所以f(x)minf(k1)ek1；當(dāng)k11，即k2時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間0,1上遞減，所以f(x)minf(1)(1k)e.變式訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)x3x23xa.(1) 求f(x)的單調(diào)減區(qū)間；(2) 若f(x)在區(qū)間3,4上的最小值為，求實(shí)數(shù)a的值解：(1) f(x)x22x3，令f(x)0，則x22x30.解得x1或x3. 函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(，1)(3，)(2) 列表如下：x3(3，1)1(1,3)3(3,4)4f(x)00f(x) f(x)在(3，1)和(3,4)上是減函數(shù)，在(1,3)上是增函數(shù)又 f(1)a，f(4)a， f(1)f(4) f(1)是f(x)在3,4上的最小值 a，解得a4.例3解： (1)如右圖，由題意知：ACBC，BC2400x2，y(0x20)，當(dāng)垃圾處理廠建在弧AB的中點(diǎn)時(shí)，垃圾處理廠到A、B的距離都相等，且為10km，所以有0.065，解得，k9， y(0x20)(2) y，令y0，得x4640x21 280 0000，解得x2160，即x4，又因?yàn)?x20，所以函數(shù)y在x上是減函數(shù)，在x(4，20)上是增函數(shù)， 當(dāng)x4時(shí)，y取得最小值，所以在弧AB上存在一點(diǎn)，且此點(diǎn)到城市A的距離為4 km，使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城市A、B的總影響度最小例4(1) 證明：因?yàn)閒(x)2ax，所以f(x)在點(diǎn)(e，f(e)處的切線的斜率為k2ae，所以f(x)在點(diǎn)(e，f(e)處的切線方程為y(xe)ae21，整理得y，所以切線恒過定點(diǎn).(2) 解：令p(x)f(x)f2(x)x22axlnx0，對(duì)x(1，)恒成立，因?yàn)閜(x)(2a1)x2a(*)，令p(x)0，得極值點(diǎn)x11，x2. 當(dāng)a1時(shí)，有x2x11，即a1時(shí)，在(x2，)上有p(x)0，此時(shí)p(x)在區(qū)間(x2，)上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有p(x)(p(x2)，)，不合題意； 當(dāng)a1時(shí)，有x2x11，同理可知，p(x)在區(qū)間(1，)上，有p(x)(p(1)，)，也不合題意； 當(dāng)a時(shí)，有2a10，此時(shí)在區(qū)間(1，)上恒有p(x)0，從而p(x)在區(qū)間(1，)上是減函數(shù)；要使p(x)0在此區(qū)間上恒成立，只須滿足p(1)a0a，所以a.綜上可知a的范圍是.(3) 證明：當(dāng)a時(shí)，f1(x)x2xlnx，f2(x)x2x.記yf2(x)f1(x)x2lnx，x(1，)因?yàn)閥0，所以yf2(x)f1(x)在(1，)上為增函數(shù)，所以f2(x)f1(x)f2(1)f1(1).設(shè)R(x)f1(x)(01)，則f1(x)R(x)f2(x)，所以在區(qū)間(1，)上，滿足f1(x)g(x)f2(x)恒成立的函數(shù)g(x)有無窮多個(gè)高考回顧1. 解析：y的導(dǎo)函數(shù)為y，x，y.2. (2,15)解析：由C：yx310x3得，y3x2102，x24，切點(diǎn)在第二象限，x2，y15.3. 解析：y， ex2， 1y0，即1tan0， .4. 9解析：f(x)12x22ax2b，f(1)0，ab6，a0，b0,6ab2，ab9，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)5. 解：(1) f(x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，即存在某個(gè)子區(qū)間(m，n)使得f(x)0.由f(x)x2x2a(x)22a，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則只需f0即可由f2a0解得a，所以當(dāng)a時(shí)，f(x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間(2) 令f(x)0，得兩根x1，x2.所以f(x)在(，x1)，(x2，)上單調(diào)遞減，在(x1，x2)上單調(diào)遞增當(dāng)0a2時(shí)，有x11x24，所以f(x)在1,4上的最大值為f(x2)又f(4)f(1)6a0，即f(4)f(1)，所以f(x)在1,4上的最小值為f(4)8a，得a1，x22，從而f(x)在1,4上的最大值為f(2).6. 解：(1) f(x)的定義域?yàn)?0，)f(x)2ax.當(dāng)a0時(shí)，f(