蘇教版選修45 5.4.3 平均不等式 學(xué)案.doc

5.4.3 平均不等式自主整理1.兩個(gè)正數(shù)a、b,則_(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”).2.a、b、cr+,則_(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”).3.a1,a2,anr+,_(當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an時(shí)取“=”).4.稱(chēng)為這n個(gè)正數(shù)的_,稱(chēng)為這n個(gè)正數(shù)的_.不等式_稱(chēng)為算術(shù)幾何平均不等式,即n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均.高手筆記1.平均不等式的使用前提是正數(shù),在使用時(shí)一定要考查是否具備前提條件.2.在使用平均不等式求函數(shù)的最值時(shí),需考查“三條”,即“一正,二定,三相等”,這三者缺一不可,否則求出的不是函數(shù)的最值. “一正”是必不可少的,例如a=b=-2,c=2時(shí),a+b+c=-2,而3=6,顯然3不成立了. “二定”包含兩類(lèi)最值問(wèn)題,一是已知n個(gè)正數(shù)的和為定值(即a1+a2+an為定值),求其積a1a2an的最大值;二是已知乘積a1a2an為定值,求其和a1+a2+an的最小值. “三相等”,等號(hào)成立的條件是a1=a2=a3=an都相等才能取“=”,否則取不到等號(hào).名師解惑使用算術(shù)幾何平均不等式時(shí)有哪些常用的技巧?剖析:在利用算術(shù)幾何平均不等式求函數(shù)的最值(或范圍)時(shí),往往需要對(duì)代數(shù)式變形或拼湊,有時(shí)一個(gè)數(shù)需要拆分成兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù),這時(shí)候,拆成的數(shù)要相等.如y=+x= ,其中把x拆成+兩個(gè)數(shù)的和,而不是把拆成+,否則乘積不為定值,也不是把x拆成,否則等號(hào)取不到.也就是得到的乘積為定值或和為定值,這樣通過(guò)“一正,二定,三相等”求出最值.講練互動(dòng)【例1】已知a0,b0,且a+b=1,求證:(1+)(1+)9.分析:本題可將“1”代換成a+b進(jìn)行變形,再由平均不等式證出.證明:方法一:a0,b0,a+b=1,(1+)(1+)=(1+)(1+)=(1+1+)(1+1+)=9.方法二:a0,b0,a+b=1,(1+)(1+)=(1+)(1+)=(2+)(2+)=4+2(+)+1=5+2(+)5+22=9.方法三:a0,b0,a+b=1,2a+b=1.0ab.4.又+24,(1+)(1+)=1+(+)+1+4+4=9.綠色通道 根據(jù)已知條件,本題可拆為三個(gè)數(shù)的平均不等式,也可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)數(shù)的平均不等式進(jìn)行推理論證.注意已知條件的使用,可代入,也可把平均不等式變形.變式訓(xùn)練1.已知a、b、cr+,且a+b+c=1,求證:+9.證法一:a、b、cr+,且a+b+c=1,+=+=1+1+1+=(+)+(+)+(+)+32+2+2+3=9成立.證法二:a、b、cr+,且a+b+c=1.+=+=3+(+)3+=9成立.證法三:a、b、cr+,且a+b+c=1,3.+33=9.【例2】已知a、b、c是互不相等的正數(shù),且abc=1,求證:2.同理+,+.+2+2+2,即2=2=2.同理,ac+ab2,ab+bc2.2(ab+bc+ac)2+2+2.ab+bc+ac+.+.綠色通道 用平均不等式證明可適當(dāng)進(jìn)行不等式的變形.變式訓(xùn)練2.已知x、y都是正數(shù),且x+2y=1,求證:3+.證明:x、y都是正數(shù),且x+2y=1,+=(x+2y)(+)=1+3+=3+,即+3+.【例3】已知a12+a22+an2=1,x12+x22+xn2=1,求證:a1x1+a2x2+anxn1.分析:由aixi可知需將兩式組合證明.證明:a1x1+a2x2+anxn=+=1.綠色通道 證明不等式時(shí)要注意不等式的結(jié)構(gòu),靈活地進(jìn)行變換.變式訓(xùn)練3.證明a2+b2+c2+d2a