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大學中常用不等式,放縮技巧 大學中常用不等式,放縮技巧 一： 一些重要恒等式：12+22+n2=n(n+1)(2n+1)6: 13+23+n3=(1+2+n)2：cosa+cos2a+cos2na=sin2n+1a2n+1sina: e=2+12！+1/3！+1/n！+a/(n！n) (0<a<1):三角中的等式（在大學中很有用）coscos= 1/2cos(+)+cos(-) sincos= 1/2sin(+)+sin(-) cossin= 1/2 sin(+)+sin(-) sinsin=-1/2cos(+)-cos(-)sin+sin=2sin(/2+/2)cos(/2-/2)sin-sin=2cos(/2+/2)sin(/2-/2) cos+cos=2cos(/2+/2)cos(/2-/2) cos-cos=-2sin(/2+/2)sin(/2-/2)tantanBtanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC:歐拉等式 ei=-1 (i是虛數(shù)，是pai)：組合恒等式（你們自己弄吧，我不知怎樣用word編）二 重要不等式1:絕對值不等式x-yxyx+y(別看簡單，常用)2：伯努利不等式（1+x1）（1+x2）（1+xn）1+x1+x2+xn(xi符號相同且大于-1)3：柯西不等式( ai bi)2ai2bi24:sin nxnsin x5; (a+b)p2pmax(ap,bp)(a+b)pap+ bp (0<p<1) (a+b)pap+ bp (p>1) 6:(1+x)n1+nx (x>-1)7:切比雪夫不等式若a1a2an, b1b2bnaibi(1/n)aibi若a1a2an, b1b2bnaibi(1/n)aibi三：常見的放縮(是根號)(均用數(shù)學歸納法證)1：1/23/4(2n-1)/2n<1/(2n+1)；2：1+1/2+1/3+1/n>n;3：n！<【(n+1/2)】n4：nn+1>(n+1)n n！2n-15：2！4！(2n)！>(n+1)！n6：對數(shù)不等式（重要）x/(1+x)（1+x）x7：(2/)xsinxx8:均值不等式我不說了（絕對的重點）9：（1+1/n）n<4四：一些重要極限(書上有，但這些重要極限需熟背如流) 假如高等數(shù)學是棵樹木得話，那么 極限就是他的根， 函數(shù)就是他的皮。樹沒有跟，活不下去，沒有皮，只能枯萎， 可見這一章的重要性。為什么第一章如此重要？ 各個章節(jié)本質(zhì)上都是極限， 是以函數(shù)的形式表現(xiàn)出來的，所以也具有函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的性質(zhì)表現(xiàn)在各個方面首先 對 極限的總結 如下極限的保號性很重要 就是說在一定區(qū)間內(nèi) 函數(shù)的正負與極限一致1 極限分為 一般極限 ， 還有個數(shù)列極限， （區(qū)別在于數(shù)列極限時發(fā)散的， 是一般極限的一種）2解決極限的方法如下：（我能列出來的全部列出來了！你還能有補充么？）1 等價無窮小的轉(zhuǎn)化， （只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用 但是前提是必須證明拆分后極限依然存在 ） e的X次方-1 或者 （1+x）的a次方-1等價于Ax 等等 。 全部熟記（x趨近無窮的時候還原成無窮?。? LHopital 法則 （大題目有時候會有暗示 要你使用這個方法）首先他的使用有嚴格的使用前提！必須是 X趨近 而不是N趨近?。ㄋ悦鎸?shù)列極限時候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限， 當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件 （還有一點 數(shù)列極限的n當然是趨近于正無窮的 不可能是負無窮?。┍仨毷?函數(shù)的導數(shù)要存在?。偃绺嬖V你g（x）, 沒告訴你是否可導， 直接用無疑于找死！）必須是 0比0 無窮大比無窮大！當然還要注意分母不能為0 LHopital 法則分為3中情況1 0比0 無窮比無窮 時候 直接用 2 0乘以無窮 無窮減去無窮 （ 應為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關系）所以 無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項之后 這樣就能變成1中的形式了3 0的0次方 1的無窮次方 無窮的0次方 對于（指數(shù)冪數(shù)）方程 方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法， 這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了， 就是寫成0與無窮的形式了 ， （ 這就是為什么只有3種形式的原因， LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0 當他的冪移下來趨近于無窮的時候 LNX趨近于0）3泰勒公式 (含有e的x次方的時候 ，尤其是含有正余旋 的加減的時候要 特變注意 ！）E的x展開 sina 展開 cos 展開 ln1+x展開 對題目簡化有很好幫助4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法取大頭原則 最大項除分子分母！看上去復雜處理很簡單 ！5無窮小于有界函數(shù)的處理辦法面對復雜函數(shù)時候， 尤其是正余旋的復雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時候，一定要注意這個方法。面對非常復雜的函數(shù) 可能只需要知道它的范圍結果就出來了！6夾逼定理（主要對付的是數(shù)列極限！）這個主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式 ，放縮和擴大。7等比等差數(shù)列公式應用（對付數(shù)列極限） （q絕對值符號要小于1）8各項的拆分相加 （來消掉中間的大多數(shù)） （對付的還是數(shù)列極限）可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)9求左右求極限的方式（對付數(shù)列極限） 例如知道Xn與Xn+1的關系， 已知Xn的極限存在的情況下， xn的極限與xn+1的極限時一樣的 ，應為極限去掉有限項目極限值不變化10 2 個重要極限的應用。 這兩個很重要 ！對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x比值 。 地2個就如果x趨近無窮大 無窮小都 有對有對應的形式（地2個實際上是 用于 函數(shù)是1的無窮的形式 ）（當?shù)讛?shù)是1 的時候要特別注意可能是用地2 個重要極限）11 還有個方法 ，非常方便的方法就是當趨近于無窮大時候不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的！x的x次方 快于 x！ 快于 指數(shù)函數(shù) 快于 冪數(shù)函數(shù) 快于 對數(shù)函數(shù) （畫圖也能看出速率的快慢） !當x趨近無窮的時候 他們的比值的極限一眼就能看出來了12 換元法 是一種技巧，不會對模一道題目而言就只需要換元， 但是換元會夾雜其中 13假如要算的話 四則運算法則也算一種方法 ，當然也是夾雜其中的14還有對付數(shù)列極限的一種方法， 就是當你面對題目實在是沒有辦法 走投無路的時候可以考慮 轉(zhuǎn)化為定積分。 一般是從0到1的形式 。 15單調(diào)有界的性質(zhì)對付遞推數(shù)列時候使用 證明單調(diào)性！16直接使用求導數(shù)的定義來求極限 ，（一般都是x趨近于0時候，在分子上f（x加減麼個值）加減f（x）的形式， 看見了有特別注意）（當題目中告訴你F(0)=0時候 f（0）導數(shù)=0的時候 就是暗示你一定要用導數(shù)定義?。◤木W(wǎng)上發(fā)現(xiàn)，謝謝總結者)大學中常用不等式,放縮技巧 一： 一些重要恒等式：12+22+n2=n(n+1)(2n+1)6: 13+23+n3=(1+2+n)2：cosa+cos2a+cos2na=sin2n+1a2n+1sina: e=2+12！+1/3！+1/n！+a/(n！n) (0<a<1):三角中的等式（在大學中很有用）coscos= 1/2cos(+)+cos(-) sincos= 1/2sin(+)+sin(-) cossin= 1/2 sin(+)+sin(-) sinsin=-1/2cos(+)-cos(-)sin+sin=2sin(/2+/2)cos(/2-/2)sin-sin=2cos(/2+/2)sin(/2-/2) cos+cos=2cos(/2+/2)cos(/2-/2) cos-cos=-2sin(/2+/2)sin(/2-/2)tantanBtanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC:歐拉等式 ei=-1 (i是虛數(shù)，是pai)：組合恒等式（你們自己弄吧，我不知怎樣用word編）二 重要不等式1:絕對值不等式x-yxyx+y(別看簡單，常用)2：伯努利不等式（1+x1）（1+x2）（1+xn）1+x1+x2+xn(xi符號相同且大于-1)3：柯西不等式( ai bi)2ai2bi24:sin nxnsin x5; (a+b)p2pmax(ap,bp)(a+b)pap+ bp (0<p<1) (a+b)pap+ bp (p>1) 6:(1+x)n1+nx (x>-1)7:切比雪夫不等式若a1a2an, b1b2bnaibi(1/n)aibi若a1a2an, b1b2bnaibi(1/n)aibi三：常見的放 縮(是根號)(均用數(shù)學歸納法證)1：1/23/4(2n-1