平行四邊形之存在性問題.doc

中考數(shù)學(xué)壓軸題解題策略 綜合題之平行四邊形存在性問題專題攻略解平行四邊形的存在性問題一般分三步：第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步畫圖，第三步計(jì)算難點(diǎn)在于尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)尋找的恰當(dāng)，可以使解的個(gè)數(shù)不重復(fù)不遺漏，也可以使計(jì)算又好又快如果已知三個(gè)定點(diǎn)，探尋平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)，符合條件的有3個(gè)點(diǎn)：以已知三個(gè)定點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，過每個(gè)點(diǎn)畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個(gè)交點(diǎn)如果已知兩個(gè)定點(diǎn)，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，靈活運(yùn)用坐標(biāo)平移，可以使得計(jì)算過程簡便根據(jù)平行四邊形的中心對稱的性質(zhì)，靈活運(yùn)用坐標(biāo)對稱，可以使得解題簡便例題解析例1、 如圖1-1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線yx22x3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，如果以點(diǎn)P、A、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo) 圖1-1【解析】P、A、C三點(diǎn)是確定的，過PAC的三個(gè)頂點(diǎn)分別畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個(gè)符合條件的點(diǎn)D（如圖1-2）由yx22x3(x1)24，得A(3,0)，C(0, 3)，P(1, 4)由于A(3,0)C(0, 3)，所以P(1, 4)D1(2, 7)由于C(0, 3)A(3,0)，所以P(1, 4)D2(4, 1)由于P(1, 4)C(0, 3)，所以A(3,0)D3(2, 1)我們看到，用坐標(biāo)平移的方法，遠(yuǎn)比用解析式構(gòu)造方程組求交點(diǎn)方便多了圖1-2例2、如圖2-1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線yx2+2x3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在這條拋物線上，點(diǎn)P在y軸上，如果以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)圖2-1【解析】在P、M、A、B四個(gè)點(diǎn)中，A、B是確定的，以AB為分類標(biāo)準(zhǔn)由yx2+2x3(x1)(x3)，得A(1，0)，B(3，0)如圖2-2，當(dāng)AB是平行四邊形的對角線時(shí)，PM與AB互相平分，因此點(diǎn)M與點(diǎn)P關(guān)于AB的中點(diǎn)（1,0）對稱，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2此時(shí)M(2，3)如圖2-3，圖2-4，當(dāng)AB是平行四邊形的邊時(shí)，PM/AB，PMAB4所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4或4所以M (4,5)或(4,21)我們看到，因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)是確定的，在解圖2-2時(shí)，根據(jù)對稱性先確定了點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；在解圖2-3和圖2-4時(shí)，根據(jù)平移先確定了點(diǎn)M的橫坐標(biāo)圖2-2 圖2-3 圖2-4例3、如圖3-1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線yx4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在直線AB上，在平面直角坐標(biāo)系中求一點(diǎn)D，使得以O(shè)、A、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形圖 3-1【解析】由yx4，得A(4, 0)，直線AB與坐標(biāo)軸的夾角為45在O、A、C、D四個(gè)點(diǎn)中，O、A是確定的，以線段OA為分類標(biāo)準(zhǔn)如圖3-2，如果OA是菱形的對角線，那么點(diǎn)C在OA的垂直平分線上，點(diǎn)C(2,2)關(guān)于OA的對稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2)如果OA是菱形的邊，那么又存在兩種情況：如圖3-3，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與直線AB的交點(diǎn)恰好為點(diǎn)B(0, 4)，那么正方形AOCD的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4, 4)如圖3-4，以A為圓心，AO為半徑的圓與直線AB有兩個(gè)交點(diǎn)C和C，點(diǎn)C和C向左平移4個(gè)單位得到點(diǎn)D和D圖3-2 圖3-3 圖3-4例4、如圖4-1，已知拋物線與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,3)，點(diǎn)N在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)M、N，使得以M、N、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 圖4-1【解析】C(4,0)、E(0,3)兩點(diǎn)是確定的，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)2也是確定的以CE為分類標(biāo)準(zhǔn)，分兩種情況討論平行四邊形：如圖4-2，當(dāng)CE為平行四邊形的邊時(shí)，由于C、E兩點(diǎn)間的水平距離為4，所以M、N兩點(diǎn)間的水平距離也為4，因此點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為6或2將x6和x2分別代入拋物線的解析式，得M(6,16)或(2, 16)如圖4-3，當(dāng)CE為平行四邊形的對角線時(shí)，M為拋物線的頂點(diǎn)，所以M圖4-2 圖4-3例5、如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax22ax3a（a0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，直線AD與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且CD4AC設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由圖5-1【解析】由yax22ax3aa(x1)(x3)，得A(1, 0)由CD4AC，得xD4所以D(4, 5a)已知A(1, 0)、D(4, 5a)，xP1，以AD為分類標(biāo)準(zhǔn)，分兩種情況討論：如圖5-2，如果AD為矩形的邊，我們根據(jù)AD/QP，ADQP來兩次平移坐標(biāo)由于A、D兩點(diǎn)間的水平距離為5，所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為4所以Q(4,21a)由于A、D兩點(diǎn)間的豎直距離為5a，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為26a所以P(1, 26a)根據(jù)矩形的對角線相等，得AP2QD2所以22(26a)282(16a)2整理，得7a21所以此時(shí)P如圖5-3，如果AD為矩形的對角線，我們根據(jù)AP/QD，APQD來兩次平移坐標(biāo)由于A、P兩點(diǎn)間的水平距離為2，所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2所以Q(2,3a)由于Q、D兩點(diǎn)間的豎直距離為8a，所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為8a所以P(1, 8a)再根據(jù)AD2PQ2，得52(5a)212(11a)2整理，得4a21所以此時(shí)P我們從圖形中可以看到，像“勾股圖”那樣構(gòu)造矩形的外接矩形，使得外接矩形的邊與坐標(biāo)軸平行，那么線段的等量關(guān)系就可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)間的關(guān)系上面我們根據(jù)“對角線相等的平行四邊形是矩形”列方程，還可以根據(jù)定義“有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形”來列方程如圖5-2，如果ADP90，那么；如圖5-3，如果QAP90，那么圖5-2 圖5-3例6、如圖6-1，將拋物線c1：沿x軸翻折，得到拋物線c2現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個(gè)單位長度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個(gè)單位長度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為N，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為D、E在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時(shí)m的值；若不存在，請說明理由圖6-1【解析】沒有人能精確畫好拋物線，又怎么平移拋物線呢？我們?nèi)未嬲?，將A、B、D、E、M、N六個(gè)點(diǎn)及它們的坐標(biāo)在圖中都標(biāo)注出來（如圖6-2），如果您看到了MAB和NED是邊長為2的等邊三角形，那么平移就簡單了如圖6-3，在兩個(gè)等邊三角形平移的過程中，AM與EN保持平行且相等，所以四邊形ANEM保持平行四邊形的形狀，點(diǎn)O為對稱中心【解法一】如果ANE90，根據(jù)30角所對的直角邊等于斜邊的一半，可得AE2EN4而AEAOOE2AO，所以