數(shù)學(xué)物理方程試卷及答案.doc

考試試題紙卷課程名稱 數(shù)理方法 專業(yè)班級(jí) 2017 題號(hào)一二三四五六七八九十總分題分201515152015100 備注: 學(xué)生不得在試題紙上答題(含填空題、選擇題等客觀題)一、 填空題（按順序?qū)⒄_答案填寫到答題本上。本大題共5小題，每小題4分，共20分）1 每一個(gè)物理過(guò)程都處在特定的條件之下，常常使用一個(gè)偏微分方程和相應(yīng)的初始條件和邊界條件對(duì)物理過(guò)程中的某個(gè)狀態(tài)的變化過(guò)程進(jìn)行描述，形成一個(gè)（A）問題。偏微分方程只給定初始條件時(shí)稱為（B）問題。解的（C）稱為問題的適定性。2 二階線性偏微分方程屬于（D）型方程。 3 以下說(shuō)法：（1）第一類n階Bessel函數(shù)與第二類Bessel函數(shù)是線性無(wú)關(guān)的；（2）半奇數(shù)階的第一類Bessel函數(shù)都是初等函數(shù)；（3）任意兩個(gè)第一類Bessel函數(shù)都是線性相關(guān)的；（4）對(duì)任何正數(shù)n,；（5）n為整數(shù)時(shí)，n不為整數(shù)時(shí)，。其中正確的有（E）。4 由波動(dòng)方程確定的解依賴過(guò)的兩條直線在軸所截得的區(qū)間 （F） 上的初始條件，這兩條直線與軸圍成的三角形區(qū)域稱為由依賴區(qū)間所確定的 （G） .5 邊值問題 的固有值為 （H） ,固有函數(shù)為 （I） . 二、（15分）用達(dá)朗貝爾公式求解半無(wú)界區(qū)域上弦振動(dòng)定解問題：三、（15分） 用分離變量法求解定解問題：四（15分）求解定解問題：五、（20分） I 求證 的Fourier逆變換為 ；II用積分變換法求解下列定解問題：六、（15分）I 求證二階線性微分方程都可在適當(dāng)變量替換下化為Bessel方程。II 求解的通解。 參考解答：一、 填空題1. A 定解 B 初值（或Cauchy問題） C 存在性、唯一性和穩(wěn)定性2. D 雙曲3. E (1)(2)(4)4. F x-3t,x+t ,G 決定區(qū)域5. H I 二、解：無(wú)界區(qū)域上波動(dòng)方程 的達(dá)朗貝爾公式為：對(duì)于本題所給半無(wú)界區(qū)域上的自由端點(diǎn)定解問題，只需對(duì)初始條件作偶延拓，即令：即可， ,代入達(dá)朗貝爾公式得 二、 解：設(shè)，則，分離變量成為，則，解前一方程，得固有值和固有函數(shù)，代入方程中可得， 由疊加原理，原方程有解。考慮所給初值條件，有： ，則， ， 故，原問題的定解為。四、解：首先，作變換，將邊界齊次化，只需令 原定解問題就可化為函數(shù)的定解問題：，特別地，當(dāng)時(shí)泛定方程可進(jìn)一步化為更簡(jiǎn)單的形式。然后，對(duì)上述方程求由齊次泛定方程導(dǎo)出的方程在邊界時(shí)的固有值和固有函數(shù)， 利用常數(shù)變易法構(gòu)造滿足原泛定方程的解 代入得：。由于，可令解得，故原方程的解為： 五、解：I II 對(duì)所給初值問題關(guān)于變量作Fourier變換，記，并設(shè)的Fourier變換為 ，的Fourier變換為，得： ，對(duì)其求解可得.進(jìn)行Fourier逆變換，并利用卷積性質(zhì)，有：六、I 證：令取 ，則代入方程中，變形為 若令，方程成為：這是一