一元二次方程知識(shí)點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié).doc

一元二次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理 （1）含有 個(gè)未知數(shù)。（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是 1、概念（3）是 方程。 （4）一元二次方程的一般形式是 。（1） 法，適用于能化為 的一元二次方程一元二次方程（2） 法，即把方程變形為ab=0的形式， 2、解法 （a，b 為兩個(gè)因式）, 則a=0或 （3） 法 （4） 法，其中求根公式是 根的判別式 當(dāng) 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。 （5） 當(dāng) 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。 當(dāng) 時(shí)，方程有沒(méi)有的實(shí)數(shù)根。 可用于解某些求值 （1） 一元二次方程的應(yīng)用（2） （3） 可用于解決實(shí)際問(wèn)題的步驟 （4） （5） （6） 知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)知識(shí)點(diǎn)一 一元二次方程的定義如果一個(gè)方程通過(guò)移項(xiàng)可以使右邊為0，而左邊只含有一個(gè)未知數(shù)的二次多項(xiàng)式，那么這樣的方程叫做一元二次方程。注意：1、一元二次方程必須同時(shí)滿(mǎn)足以下三點(diǎn)：方程是整式方程。它只含有一個(gè)未知數(shù)。未知數(shù)的最高次數(shù)是2、同時(shí)還要注意在判斷時(shí)，需將方程化成一般形式。例 下列關(guān)于的方程，哪些是一元二次方程？ ；（3）；（4）；（5）知識(shí)點(diǎn)二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式為（a，b，c是已知數(shù)，）。其中a，b，c分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)。注意：（1）二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)都包括它前面的符號(hào)。（2）要準(zhǔn)確找出一個(gè)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須把它先化為一般形式。（3）形如不一定是一元二次方程，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)是一元二次方程。例1 已知關(guān)于的方程是一元二次方程時(shí)，則 知識(shí)點(diǎn)三 一元二次方程的解 使方程左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，如：當(dāng)時(shí)，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。知識(shí)點(diǎn)四 建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的步驟是：審題、設(shè)未知數(shù)、列方程。注意：（1）審題過(guò)程是找出已知量、未知量及等量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)要帶單位；（3）建立一元二次方程模型的關(guān)鍵是依題意找出等量關(guān)系。例 如圖（1），有一個(gè)面積為150的長(zhǎng)方形雞場(chǎng) ，雞場(chǎng)一邊靠墻（墻長(zhǎng)18m），另三邊用竹籬笆圍成，若竹籬笆的長(zhǎng)為35m，求雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為多少？ 雞場(chǎng) 因式分解法、直接開(kāi)平方法知識(shí)點(diǎn)一 因式分解法解一元二次方程如果兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)方程中至少有一個(gè)等于0，即若pq=0時(shí)，則p=0或q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：（1）將方程的右邊化為0；（2） 將方程左邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積。（3） 令每個(gè)因式分別為0，得兩個(gè)一元一次方程。（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解。關(guān)鍵點(diǎn)：（1）要將方程右邊化為0；（2）熟練掌握多項(xiàng)式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。 例 用因式分解法解下列方程：（1）； （2）； （3）。知識(shí)點(diǎn)二 直接開(kāi)平方法解一元二次方程若，則叫做a的平方根，表示為，這種解一元二次方程的方法叫做直接開(kāi)平方法。（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。例 用直接開(kāi)平方法解下列一元二次方程（1）； （2）； （3）（因式分解）知識(shí)點(diǎn)三 靈活運(yùn)用因式分解法和直接開(kāi)平方法解一元二次方程形如的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接開(kāi)平方法解。例 運(yùn)用因式分解法和直接開(kāi)平方法解下列一元二次方程。（1）； （2）知識(shí)點(diǎn)四 用提公因式法解一元二次方程把方程左邊的多項(xiàng)式（方程右邊為0 時(shí)）的公因式提出，將多項(xiàng)式寫(xiě)出因式的乘積形式，然后利用“若pq=0時(shí)，則p=0或q=0”來(lái)解一元二次方程的方法，稱(chēng)為提公因式法。如：，將原方程變形為，由此可得出注意：在解方程時(shí)，千萬(wàn)注意不能把方程兩邊都同時(shí)除以一個(gè)含有未知數(shù)的式子，否則可能丟失原方程的根。知識(shí)點(diǎn)五 形如“”的方程的解法。對(duì)于形如“”的方程（或通過(guò)整理符合其形式的），可將左邊分解因式，方程變形為，則，即。注意：應(yīng)用這種方法解一元二次方程時(shí)，要熟悉“”型方程的特征。例 解下列方程：（1）； （2）配方法知識(shí)點(diǎn)一 配方法解一元二次方程時(shí)，在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)，使得含未知數(shù)的項(xiàng)在一個(gè)完全平方式里，這種方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接開(kāi)平方法了，這樣解一元二次方程的方法叫做配方法。注意：用配方法解一元二次方程，當(dāng)對(duì)方程的左邊配方時(shí)，一定記住在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方后，還要再減去這個(gè)數(shù)。例 用配方法解下列方程：（1）； （2）知識(shí)點(diǎn)二 用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的步驟：（1） 在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)；（2） 把原方程變?yōu)榈男问健＃?） 若，用直接開(kāi)平方法求出的值，若n0，原方程無(wú)解。例 解下列方程：知識(shí)點(diǎn)三 用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不是1的一元二次方程當(dāng)一元二次方程的形式為時(shí)，用配方法解一元二次方程的步驟：（1）先把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1：方程的左、右兩邊同時(shí)除以二項(xiàng)的系數(shù)； (2) 移項(xiàng)：在方程的左邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，再減去這個(gè)數(shù)，把原方程化為的形式；（3）若，用直接開(kāi)平方法或因式分解法解變形后的方程。例 用配方法解下列方程：（1）； （2）公式法知識(shí)點(diǎn)一 一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式是：用求根公式法解一元二次方程的步驟是：（1）把方程化為的形式，確定的值（注意符號(hào)）；（2）求出的值；（3）若，則把及的值代人求根公式，求出。例 用公式法解下列方程（1）； （2）； （3）知識(shí)點(diǎn)二 選擇適合的方法解一元二次方程 直接開(kāi)平方法用于解左邊的含有未知數(shù)的平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)或也是一個(gè)含未知數(shù)的平方式的方程因式分解要求方程右邊必須是0，左邊能分解因式；公式法是由配方法推導(dǎo)而來(lái)的，要比配方法簡(jiǎn)單。注意：一元二次方程解法的選擇，應(yīng)遵循先特殊，再一般，即先考慮能否用直接開(kāi)平方法或因式分解法，不能用這兩種特殊方法時(shí)，再選用公式法，沒(méi)有特殊要求，一般不采用配方法，因?yàn)榕浞椒ń忸}比較麻煩。例 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋海?）； （2）； （3）知識(shí)點(diǎn)三 一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式 =運(yùn)用根的判別式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情況：（1） =0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2） =0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3） =0方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：把所有一元二次方程化為一般形式；確定的值；計(jì)算的值；根據(jù)的符號(hào)判定方程根的情況。例 不解方程，判斷下列一元二次方程根的情況：（1）；（2）；（3）知識(shí)點(diǎn)四 根的判別式的逆用在方程中，（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根0（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根=0（3）方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根0注意：逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件。例 為何值時(shí)，方程的根滿(mǎn)足下列情況：（1） 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)； （2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； （3）沒(méi)有實(shí)數(shù)根；知識(shí)點(diǎn)五 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系若是一元二次方程的兩個(gè)根，則有， 根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求值常用的轉(zhuǎn)化關(guān)系：（1） （2）（3）；（4）=例 已知方程的兩根為，不解方程，求下列各式的值。（1） ； （2）。知識(shí)點(diǎn)六 根據(jù)代數(shù)式的關(guān)系列一元二次方程 利用一元二次方程解決有關(guān)代數(shù)式的問(wèn)題時(shí)，要善于用一元二次方程表示題中的數(shù)量關(guān)系（即列出方程），然后將方程整理成一般形式求解，最后作答。例 當(dāng)取什么值時(shí)，代數(shù)式與代數(shù)式的值相等？一元二次方程的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一 列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟（1） 審題，（2）設(shè)未知數(shù)，（3）列方程，（4）解方程，（5）檢驗(yàn)，（6）作答。關(guān)鍵點(diǎn)：找出題中的等量關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)二 用一元二次方程解與增長(zhǎng)率（或降低率）有關(guān)得到問(wèn)題增長(zhǎng)率問(wèn)題與降低率問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系及表示法：（1）若基數(shù)為a，增長(zhǎng)率為，則一次增長(zhǎng)后的值為，兩次增長(zhǎng)后的值為；（2）若基數(shù)為a，降低率為，則一次降低后的值為，兩次降低后的值為。例 某農(nóng)場(chǎng)糧食產(chǎn)量在兩年內(nèi)由3000噸增加到3630噸，設(shè)這兩年的年平均增長(zhǎng)率為，列出關(guān)于的方程為 知識(shí)點(diǎn)三 用一元二次方程解與市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)有關(guān)的問(wèn)題與市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)有關(guān)的問(wèn)題：如：營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題、水電問(wèn)題、水利問(wèn)題等。與利潤(rùn)相關(guān)的常用關(guān)系式有：（1）每件利潤(rùn)=銷(xiāo)售價(jià)-成本價(jià)；（2）利潤(rùn)率=（銷(xiāo)售價(jià)進(jìn)貨價(jià)）進(jìn)貨價(jià)100%；（3）銷(xiāo)售額=售價(jià)銷(xiāo)售量例 某商店如果將進(jìn)貨價(jià)為8 元的商品每件10元售出，每天可售200件，現(xiàn)在采取提高售價(jià)，減少進(jìn)貨價(jià)的方法增加利潤(rùn)，已知這種商品每漲價(jià)0.5元，其銷(xiāo)量減少10件。（1）要使每天獲得700 元，請(qǐng)你幫忙確定售價(jià)。（2）當(dāng)售價(jià)定為多少時(shí)，能使每天獲得的利潤(rùn)最多？并求出最大利潤(rùn)。易錯(cuò)知識(shí)辨析：（1）判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程，應(yīng)把它進(jìn)行整理，化成一般形式后再進(jìn)行判斷，注意一元二次方程一般形式中.（2）用公式法和因式分解的方法解方程時(shí)要先化成一般形式.（3）用配方法時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)要化1.（4）用直接開(kāi)平方的方法時(shí)要記得取正、負(fù).一元二次方程測(cè)試題一、選擇題1、若關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0有一個(gè)根為0，則m的值等于（ ） A、1 B、2 C、1或2 D、02、巴中日?qǐng)?bào)訊：今年我市小春糧油再獲豐收，全市產(chǎn)量預(yù)計(jì)由前年的45萬(wàn)噸提升到50萬(wàn)噸，設(shè)從前年到今年我市的糧油產(chǎn)量年平均增長(zhǎng)率為，則可列方程為（ ）A B CD3、已知是關(guān)于的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根，則式子的值是（ ）ABCD4、 已知a、b、c分別是三角形的三邊，則方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)0的根的情況是（ ）A沒(méi)有實(shí)數(shù)根B可能有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根5、已知是方程的兩根，且，則的值等于 （ ）A5 B.5 C.-9 D.96、已知方程有一個(gè)根是，則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是（ ）A B C D7、的估計(jì)正確的是 （ ）ABCD8、關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是，且，則的值是（ ）A1 B12 C13 D259、某校九年級(jí)學(xué)生畢業(yè)時(shí)，每個(gè)同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送了2450張相片，如果全班有x名學(xué)生，根據(jù)題意，列出方程為( )A、 B、 C、 D、10、若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為1，則的值為 ( )A1 B C1 D或11、設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（ ）A2006B2007C2008D2009 12、對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=O(a0)，下列說(shuō)法： 若a+c=0，方程ax2+bx+c=O必有實(shí)數(shù)根； 若b2+4ac0，則方程ax2+bx+c=O一定有實(shí)數(shù)根； 若a-b+c=0，則方程ax2+bx+c=O一定有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；若方程ax2+bx+c=O有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則方程cx2+bx+a=0一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 其中正確的是( ) A B C