數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)下冊二次函數(shù)的應(yīng)用（第1課時(shí)）.docx

第課時(shí)1.經(jīng)歷探究矩形最大面積問題和窗戶透光最大面積問題的過程,進(jìn)一步獲得利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn),并進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)模型思想和數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值.2.能夠分析和表示不同背景下實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系,并能夠運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問題中的最大(小)值.1.能夠分析實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系,并運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)求出實(shí)際問題的最大(小)值,發(fā)展學(xué)生解決問題的能力,學(xué)會(huì)用建模的思想去解決其他和函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用問題.2.通過觀察圖象,理解頂點(diǎn)的特殊性,會(huì)把實(shí)際問題中的最值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題,通過動(dòng)手動(dòng)腦,提高分析、解決問題的能力,并體會(huì)一般與特殊的關(guān)系,培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想.1.在進(jìn)行探索的活動(dòng)過程中發(fā)展學(xué)生的探究意識(shí),逐步養(yǎng)成合作交流的習(xí)慣.2.培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的習(xí)慣,體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中廣泛的應(yīng)用價(jià)值,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、增強(qiáng)自信心.【重點(diǎn)】能夠分析和表示不同背景下實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系,并能運(yùn)用二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決最大面積問題.【難點(diǎn)】能夠分析和表示不同背景下實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系,并能夠運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問題中的最大(小)值.【教師準(zhǔn)備】多媒體課件.【學(xué)生準(zhǔn)備】復(fù)習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)及最值和幾何圖形的面積公式.導(dǎo)入一:一養(yǎng)雞專業(yè)戶計(jì)劃用長116 m的竹籬笆靠墻(如圖所示)圍成一個(gè)矩形雞舍,怎樣設(shè)計(jì)才能使圍成的矩形雞舍的面積最大?最大面積為多少?學(xué)生分析解題思路:設(shè)BC=x m,則AB=CD=12(116-x)m,矩形雞舍的面積為S,根據(jù)矩形的面積公式就可以得出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,由二次函數(shù)的頂點(diǎn)式就可以求出結(jié)論.【引入】求矩形雞舍的最大面積的實(shí)質(zhì)就是求二次函數(shù)表達(dá)式的最值問題,本節(jié)課我們就來探究形如最大面積的問題.設(shè)計(jì)意圖通過對(duì)養(yǎng)雞場的設(shè)計(jì),既揭示了本節(jié)課的主題,又讓學(xué)生體會(huì)了成功的喜悅,大大激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.導(dǎo)入二:同學(xué)們在路邊、鬧市區(qū)經(jīng)常會(huì)看到很多的大型廣告牌,大家平常見到的廣告牌一般什么形狀的比較多?課件出示:(生活中常見的廣告牌)請同學(xué)們思考下面的問題:現(xiàn)在一個(gè)廣告公司接到了一筆業(yè)務(wù),需要設(shè)計(jì)一塊周長為12 m的矩形廣告牌,由于公司一般根據(jù)廣告牌面積的大小收取制作設(shè)計(jì)費(fèi),如果你是該公司的設(shè)計(jì)員,你能否設(shè)計(jì)出令廣告公司老總滿意的廣告牌?【問題】顯然在周長一定的情況下,面積越大,利潤就越多,老總越滿意,如何能讓廣告牌的面積最大呢?設(shè)計(jì)意圖通過實(shí)際情境設(shè)置懸念,引入新課,讓學(xué)生充分感受到最值的概念,讓學(xué)生親身實(shí)踐探究,培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性,滲透函數(shù)思想.一、探究幾何圖形的最大面積問題過渡語在日常生活中,我們經(jīng)常遇到與面積有關(guān)的設(shè)計(jì)問題,今天我們探究在什么情況下面積最大,最大面積又是多少的問題.給出課本的【引例】和【議一議】兩個(gè)問題,探究最大面積的求解方法.【引例】如圖所示,在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部作一個(gè)矩形ABCD,其中AB和AD分別在兩直角邊上.(1)如果設(shè)矩形的一邊AB=x m,那么AD邊的長度如何表示?(2)設(shè)矩形的面積為y m2,當(dāng)x取何值時(shí),y的值最大?最大值是多少?思路一教師引導(dǎo)學(xué)生思考下面的問題:1.EBC和EAF有什么關(guān)系?2.如果設(shè)矩形的一邊AB=x m,那么AD邊的長度如何表示?3.如何表示矩形ABCD的面積?4.若矩形的面積為y m2,如何確定矩形ABCD面積的最大值?【師生活動(dòng)】老師引導(dǎo)學(xué)生逐題解決,學(xué)生獨(dú)立思考,然后與同伴交流,最后在小組交流中統(tǒng)一思路,代表展示:解:(1)AB=x,CD=AB=x.BCAD,EBCEAF.EBEA=BCAF.又AB=x,BE=40-x,40-x40=BC30,BC=34(40-x).AD=BC=34(40-x)=30-34x.(2)由矩形面積公式,得y=ABAD=x34(40-x),即y=-34x2+30x=-34(x-20)2+300.所以當(dāng)x=20時(shí),y的值最大,最大值是300.即當(dāng)AB邊長為20 m時(shí),矩形ABCD的面積最大,是300 m2.思路二【教師設(shè)疑】如果設(shè)AD邊的長為x m,那么問題會(huì)怎樣呢?與同伴交流.【學(xué)生活動(dòng)】小組討論后,統(tǒng)一想法:要求面積需求AB邊的長,而AB=DC,所以需要求DC的長度,而DC是FDC中的一邊,所以可以利用三角形相似來求.解:(1)DCAB,FDCFAE,DCAE=FDFA.AD=x,FD=30-x,DC40=30-x30.DC=43(30-x),AB=DC=43(30-x).(2)y=ABAD=43(30-x)x=-43x2+40x=-43(x-15)2+300.當(dāng)x=15時(shí),y最大=300.即當(dāng)AD的長為15 m時(shí),矩形的面積最大,最大面積是300 m2.設(shè)計(jì)意圖從矩形的面積公式入手,利用相似三角形的性質(zhì)表示出另外一條邊,才能列出函數(shù)表達(dá)式,這一過程先由學(xué)生獨(dú)立思考后,分組合作探究、交流,幫助個(gè)別存在困難的同學(xué)解決.此題的思路也是解決矩形最大面積問題最常用的方法.過渡語如果我們將上面的問題進(jìn)行變式,你能求出它的最大面積嗎?課件出示:【議一議】在上面的問題中,如果把矩形改為如圖所示的位置,其他條件不變,那么矩形的最大面積是多少?你是怎樣知道的?【師生活動(dòng)】通過觀察,想一想此圖形和上面圖形的區(qū)別,判斷是否也可以利用相似解決.經(jīng)過討論交流,一部分學(xué)生得出:可以利用相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比解決.對(duì)于感覺有難度的學(xué)生,老師給予提示:可以過點(diǎn)G作GNEF于點(diǎn)N,交AD于點(diǎn)M.【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生先嘗試獨(dú)立解答,仍感覺有困難的學(xué)生可以求助同學(xué)或老師.【教師活動(dòng)】學(xué)生解答后,老師課件出示解題過程,供學(xué)生訂正,規(guī)范學(xué)生的解題步驟.解:如圖所示,過點(diǎn)G作GNEF于點(diǎn)N,交AD于點(diǎn)M.在RtGEF中,由勾股定理,得EF=GE2+GF2=302+402=50.再由等積法求斜邊上的高,得12GEGF=12EFGN,即123040=1250GN,GN=24.設(shè)矩形的一邊AD=x m,由GADGEF,得ADEF=GMGN,即x50=GM24,GM=1225x,AB=MN=GN-GM=24-1225x,S矩形ABCD=ADAB=x24-1225x=-1225x2+24x.當(dāng)x=-b2a=-242-1225=25時(shí),y最大值=-2424-1225=300.【教師點(diǎn)評(píng)】雖然這兩個(gè)內(nèi)接矩形情形不同,但得到最大面積都是300 m2.設(shè)計(jì)意圖既加深了舊知的復(fù)習(xí)應(yīng)用,又在比較中總結(jié)表示線段的多種方法,讓學(xué)生體會(huì)到類比解題,在同中找異.知識(shí)拓展求二次函數(shù)最大(小)值的方法:(1)利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式,求最大(小)值;(2)利用配方法化為頂點(diǎn)式,求最大(小)值;(3)利用圖象,找頂點(diǎn),求最大(小)值.過渡語通過上面的探究,我們已經(jīng)掌握了求最大面積的方法,你能運(yùn)用這個(gè)知識(shí)解決我們生活中的有關(guān)面積的問題嗎?二、探究窗戶透光最大面積問題(教材例1)某建筑物的窗戶如圖所示,它的上半部分是半圓,下半部分是矩形,制造窗框的材料總長(圖中所有黑線的長度和)為15 m.當(dāng)x等于多少時(shí),窗戶通過的光線最多?(結(jié)果精確到0.01 m)此時(shí),窗戶的面積是多少?(結(jié)果精確到0.01 m2)解析求透過窗戶的光線最多,也就是求矩形和半圓的面積之和最大,矩形的面積為2xy,即2x15-7x-x4,半圓的面積為12x2,所以窗戶的面積為S=12x2+2x15-7x-x4,求出函數(shù)最大值即可.解:7x+4y+x=15,y=15-7x-x4.0x15,且015-7x-x415,0x1.48.設(shè)窗戶的面積是S m2,則:S=12x2+2xy=12x2+2x15-7x-x4=-72x2+152x=-72x-15142+22556.當(dāng)x=15141.07時(shí),S最大=225564.02.因此當(dāng)x約為1.07 m時(shí),窗戶通過的光線最多,此時(shí),窗戶的面積約為4.02 m2.【教師點(diǎn)評(píng)】確定自變量x的取值范圍時(shí),往往需要解不等式組.設(shè)計(jì)意圖“乘勝追擊”,在學(xué)生已有的探究“面積最大值”經(jīng)驗(yàn)獲取的體會(huì)中,讓學(xué)生繼續(xù)沿著這條探究路線走下去,既能鞏固前面的探究方法,又能讓學(xué)生再次感受“數(shù)學(xué)來源于生活”.知識(shí)拓展利用二次函數(shù)知識(shí)解決生活中最大(小)值問題的方法:(1)找出題目中的等量關(guān)系.(2)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.1.利用相似三角形的性質(zhì)表示矩形的另一邊,是列矩形面積與一邊長的函數(shù)關(guān)系式的關(guān)鍵.2.幾何圖形最大面積問題,實(shí)質(zhì)上是二次函數(shù)的最值問題.3.解決此類問題,理解問題,分析問題中的變量和常量,以及它們之間的關(guān)系是難點(diǎn),用數(shù)學(xué)的方式表示它們間的關(guān)系是關(guān)鍵,化歸為二次函數(shù)并運(yùn)用公式求解是易錯(cuò)點(diǎn).1.已知二次函數(shù)y=3x2-12x+13,則函數(shù)值y的最小值是()A.3B.2C.1D.-1解析:二次函數(shù)y=3x2-12x+13可化為y=3(x-2)2+1,當(dāng)x=2時(shí),二次函數(shù)y=3x2-12x+13有最小值,為1.故選C.2.用長為8 m的鋁合金制成的形狀為矩形的窗框,則窗框的透光面積最大為()A.6425 m2B.43 m2C.83 m2D.4 m2解析:設(shè)矩形的一邊長為x m,則另一邊長為(4-x)m,矩形的面積S=x(4-x)=-(x-2)2+4,因?yàn)閍=-10,所以當(dāng)x=2時(shí),S有最大值,最大值為4.故選D.3.周長為16 cm的矩形的最大面積為cm2.解析:設(shè)矩形的一邊長為x cm,所以另一邊長為(8-x)cm,其面積為S=x(8-x)=-x2+8x=-(x-4)2+16,周長為16 cm的矩形的最大面積為16 cm2.故填16.4.如圖所示,一邊靠墻(墻足夠長),用120 m籬笆圍成兩間相等的矩形雞舍,要使雞舍的總面積最大,則每間雞舍的長與寬分別是m, m.解析:由題意,得2x+3y=120,所以y=40-23x,雞舍的總面積S=2x40-23x=-43(x-30)2+1200,所以當(dāng)x=30時(shí),雞舍的總面積最大,此時(shí)y=20.答案:30205.一塊三角形廢料如圖所示,C=90,AC=8,BC=6.用這塊廢料剪出一個(gè)矩形CDEF,其中,點(diǎn)D,E,F分別在AC,AB,BC上.當(dāng)AE為多長時(shí)所剪出