2016年數(shù)學(xué)全真模擬試卷一.doc

2016年數(shù)學(xué)全真模擬試卷一試題一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1 已知集合，則AB 【答案】2 某公司生產(chǎn)三種型號(hào)A，B，C的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛，6000輛，2000輛為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，則型號(hào)A的轎車應(yīng)抽取 輛 【答案】63 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)的值為 【答案】24 已知集合現(xiàn)從集合中隨機(jī)選取一個(gè)元素，則該元素的余弦值為正數(shù)的概率為 【答案】N開始輸入x輸出y結(jié)束Y （第5題）5 如圖，是一個(gè)算法的程序框圖，當(dāng)輸出的值為2時(shí)，若將輸入的的所有可能值按從小到大的順序排列得到一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為 【答案】6 豌豆的高矮性狀的遺傳由其一對(duì)基因決定，其中決定高的基因記為D，決定矮的基因記為d，則雜交所得第一子代的一對(duì)基因?yàn)镈d，若第二子代的D，d的基因遺傳是等可能的（只要有基因D則其就是高莖，只有兩個(gè)基因全是d時(shí)，才顯示矮莖），則第二子代為高莖的概率為 【答案】7 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量，則 【答案】25 (第9題）8 已知為正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為 【答案】189 如圖，已知正四棱柱的體積為36，點(diǎn)，分別為棱，上的點(diǎn)（異于端點(diǎn)），且，則四棱錐的體積為 【答案】1210 設(shè)定義在區(qū)間的函數(shù)（其中）是偶函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào) 減區(qū)間為 【答案】 【解析】依題意，則的減區(qū)間為11在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，直線：若動(dòng)圓總在直線的下方且它們至多有1個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值是 【答案】2【解析】依題意，圓心的軌跡為線段， 當(dāng)且僅當(dāng)，且時(shí)，實(shí)數(shù)的最小，此時(shí) （第12題）xy12如圖，三次函數(shù)的零點(diǎn)為，則該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為 【答案】【解析】設(shè)，其中，令 得，所以該函數(shù)的 單調(diào)減區(qū)間為；13如圖，點(diǎn)為的重心，且，則的值為 ABCO（第13題） 【答案】72【解析】以AB的中點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸建立 平面直角坐標(biāo)系，則， ， 設(shè)，則， 因?yàn)镺AOB，所以，xMyBOAC 從而， 化簡得， 所以14設(shè)均為非零常數(shù)，給出如下三個(gè)條件：與均為等比數(shù)列；為等差數(shù)列，為等比數(shù)列；為等比數(shù)列，為等差數(shù)列，其中一定能推導(dǎo)出數(shù)列為常數(shù)列的是 （填上所有滿足要求的條件的序號(hào)）【答案】【解析】易得， 即， 因?yàn)?，且，所以，即證； 由知， 因?yàn)?，所以，即證； 易得，且， 故，又，即證二、解答題：本大題共6小題，共90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證 明過程或演算步驟15（本題滿分14分）已知，（1）求的值；（2）求的值解：（1）因?yàn)椋遥?所以，解得，（4分） 因?yàn)?，所以，從而?所以（6分） （2）因?yàn)?，所以，?分） 又，故， 從而，（10分） 所以（14分）16（本題滿分14分）AEBCDAAAA（第16題）如圖，在長方體中， 已知，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn) （1）求三棱錐的體積； （2）求證： 【解】（1）由長方體性質(zhì)可得, 平面DEC， 所以是三棱錐的高, 又點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)， AB2，所以,， 三棱錐的體積；(7分) （2）連結(jié), 因?yàn)槭钦叫?所以 ， 又面，面, 所以， 又，平面， 所以平面，(12分) 而平面, 所以(14分)17（本題滿分14分）請(qǐng)你為某養(yǎng)路處設(shè)計(jì)一個(gè)用于儲(chǔ)藏食鹽的倉庫（供融化高速公路上的積雪之用）它的上部是底面圓半徑為5m的圓錐，下部是底面圓半徑為5m的圓柱，且該倉庫的總高度為5m經(jīng)過預(yù)算，制造該倉庫的圓錐側(cè)面、圓柱側(cè)面用料的單價(jià)分別為4百元/，1百元/，設(shè)圓錐母線與底 （第17題）面所成角為，且，問當(dāng)為多少時(shí)，該倉庫的側(cè)面總造價(jià)（單位：百元）最少？并求出此時(shí)圓錐的高度解：設(shè)該倉庫的側(cè)面總造價(jià)為y， 則 ，（6分） 由得， 所以，（10分） 列表：0極小值 所以當(dāng)時(shí)，側(cè)面總造價(jià)最小，此時(shí)圓錐的高度為m（14分） 18（本題滿分16分） 定義：如果一個(gè)菱形的四個(gè)頂點(diǎn)均在一個(gè)橢圓上，那么該菱形叫做這個(gè)橢圓的內(nèi)接菱形，且該菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)為這個(gè)橢圓的中心(第20題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓的所有內(nèi)接菱形構(gòu)成的集合為（1）求中菱形的最小的面積；（2）是否存在定圓與中的菱形都相切?若存在，求出定圓的方程；若不存在，說明理由；（3）當(dāng)菱形的一邊經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，求這條邊所在的直線的方程 解：（1）如圖，設(shè)， 當(dāng)菱形的對(duì)角線在坐標(biāo)軸上時(shí)，其面積為； 當(dāng)菱形的對(duì)角線不在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)直線的方程為：， 則直線的方程為：， 又橢圓， 由得， 從而， 同理可得，（3分） 所以菱形的面積為 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立), 綜上得，菱形的最小面積為；（6分）（2）存在定圓與中菱形的都相切，設(shè)原點(diǎn)到菱形任一邊的距離為，下證：， 證明：由(1)知，當(dāng)菱形的對(duì)角線在坐標(biāo)軸上時(shí)， 當(dāng)菱形的對(duì)角線不在坐標(biāo)軸上時(shí)， ，即得， 綜上，存在定圓與中的菱形都相切；（12分）（3）設(shè)直線的方程為，即， 則點(diǎn)到直線的距離為， 解得， 所以直線的方程為（16分）19（本題滿分16分）設(shè)，為實(shí)數(shù)，函數(shù)為上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào) （1）求，應(yīng)滿足的條件； （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （3）設(shè)，且，求證： 解：（1）因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)， 所以，即， 變形得， 所以， （2分） 此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)， 則在區(qū)間上恒成立，得；（5分） （2），且， 當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；（7分） 當(dāng)時(shí)，得，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū) 間為，；（10分） （3）設(shè)，則， 即有，且， 兩式相減得， 即， 因?yàn)?，所以?故，即（16分）20（本題滿分16分） 若存在非零常數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)，則稱數(shù)列是“數(shù)列”（1）若數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：是“數(shù)列”；（2）設(shè)是各項(xiàng)均不為0的“數(shù)列” 若，求證：不是等差數(shù)列； 若，求證：當(dāng)，成等差時(shí)，是等差數(shù)列 解：（1）當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， 所以，（3分） 則是“數(shù)列”存在非零常數(shù)， 顯然滿足題意，所以是“數(shù)列”；（ 5分） （2）假設(shè)是等差數(shù)列，設(shè)， 則由得， 解得，這與矛盾，故假設(shè)不成立， 從而不是等差數(shù)列；(10分) 因?yàn)椋?所以， 得， 因?yàn)榈母黜?xiàng)均不為0， 所以， 從而是常數(shù)列， 因?yàn)?，成等差，所以?從而，即，即證(16分)試題（附加題） 21【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答若 多做，則按作答的前兩題評(píng)分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（第21A題）A（幾何證明選講）如圖，已知凸四邊形的頂點(diǎn)在一個(gè)圓周上，另一個(gè)圓的圓心在上，且與四邊形的其余三邊相切點(diǎn)在邊上，且 求證： ，四點(diǎn)共圓 證明：因?yàn)椋?所以， 因?yàn)樗倪呅蔚捻旤c(diǎn)在一個(gè)圓周上， 所以， 從而， 所以，四點(diǎn)共圓（10分） B（矩陣與變換）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P(x，5)在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn)Q(y2，y)，求解：依題意，即解得 （4分） 由逆矩陣公式知，矩陣M的逆矩陣，（8分） 所以（10分） C（極坐標(biāo)與參數(shù)方程） 在極坐標(biāo)系中，設(shè)直線過點(diǎn)，且直線與曲線：有且只 有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值解：依題意，的直角坐標(biāo)方程為， 從而直線的普通方程為，（4分） 曲線：的普通方程為，（8分） 因?yàn)橹本€與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)， 所以，解得(負(fù)值已舍)（10分）D（不等式選講） 設(shè)正數(shù)，滿足，求證：證明：由柯西不等式得， ，（6分） 所以（10分） 【必做題】第22、23題，每小題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文 字說明、證明過程或演算步驟22如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，且（第22題） ，平面 （1）求與平面所成角的正弦值； （2）棱上是否存在一點(diǎn)滿足？ 若存在，求的長；若不存在，說明理由 解：（1）依題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以， 為，軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則， 從而，（2分） 設(shè)平面的法向量為，則，且， 即，且，不妨取，則， 所以平面的一個(gè)法向量為，（4分） 此時(shí)， 所以與平面所成角的正弦值為；（6分） （2）設(shè)，則， 則， 由得， 化簡得，該方程無解， 所以，棱上不存在一點(diǎn)滿足（10分）23設(shè)整數(shù)3，集合P1，2，3，n，A，B是P的兩個(gè)非空子集記an為所有滿足A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對(duì)(A，B)的個(gè)數(shù) （1）求a3； （2）求an解：（1）當(dāng)3時(shí)，P1，2，3 ， 其非空子集為：1，2，3，1，2，1，3，2，3，1，2，3， 則所有滿足題意的集合對(duì)(A，B)為：（