第二章 內(nèi)積空間.doc

第二章 內(nèi)積空間在以前學習的線性代數(shù)中，我們知道在中向量的長度、夾角和正交等性質是用內(nèi)積刻劃的，在本章中將內(nèi)積的概念推廣到一般線性空間，從而討論一般線性空間中向量的度量性質。定義了內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空間，常用的內(nèi)積空間有歐氏空間與酉空間。2.1歐氏空間與酉空間一、 歐氏空間與酉空間定義1 設是上的線性空間，如果中每對向量，按某一對應法則都有唯一確定的實數(shù)與之對應且滿足：， 等號成立當且僅當則稱為的內(nèi)積。稱定義了上述內(nèi)積的有限維線性空間為歐幾里得空間，簡稱歐氏空間，稱為的長度或模。例1 在中定義，則構成一個歐氏空間。例2 在中對定義,則為歐氏空間。證明 因為 （1） （2） （3） （4） 等號當且僅當成立故為歐氏空間。例3 定義，則是維歐氏空間。例4 設為階正定陣且定義，則是維歐氏空間。證明 （1）（2）（3）（4）因為正定二次型，故，注：例3、例4說明在一個線性空間中可以定義不同的內(nèi)積，但其得到的歐氏空間我們視為不同的。由于經(jīng)常用到復矩陣及其相關性質，故以下列出一些常用概念及性質。矩陣共軛及共軛轉置：設1. ，稱為的共軛。2. ，。3. ，。4. 記，稱為的復共軛轉置矩陣，。5. ，。6. ，。7. ，。8. ，。9. ，。10. 若，則稱為埃爾米特（Hermite）矩陣，。11. 若，則稱為反埃爾米特矩陣，定義2 設是上的線性空間，若有且滿足： ， 等號成立當且僅當則稱為的內(nèi)積，稱定義了上述內(nèi)積的有限維線性空間為復內(nèi)積空間或酉空間，稱為的長度或模。例5 在中定義，則是酉空間。注：在（）中定義的內(nèi)積（）稱為標準內(nèi)積。以后若無特殊說明，（）及其子空間的內(nèi)積均采用標準內(nèi)積。例6在中對定義,則為酉空間。證明 與例2類似，請讀者自證。二、歐氏空間與酉空間的性質定理1：設是酉空間的內(nèi)積，則（1），（2），（3）， 其中，。證明（1） （2）（3）由定理1的（2 ）得 上述定理1的結論在歐氏空間顯然成立，即推論1設是歐氏空間的內(nèi)積，則（1），（2），（3） 其中，。定理2 設是酉（歐氏）空間的內(nèi)積，則（1），（）。（2），柯西許瓦茲（CauchySchwarz）不等式（3）證明 不妨設是酉空間。（1）。（2）時顯然，不妨設，考慮 取，則 所以 （3） ，由柯西許瓦茲不等式，即得 所以 三、內(nèi)積在基下的矩陣線性空間中，向量是由一個基唯一線性表示的，而內(nèi)積是兩個向量的運算，所以我們自然要討論歐氏（酉）空間中內(nèi)積與基的關系。定義3：設為歐氏（酉）空間的基，則稱為內(nèi)積在基下的矩陣，也稱度量矩陣，其中。定理3設為酉空間的基，則（1） 內(nèi)積在基下的矩陣是埃爾米特矩陣，即。（2），其中，。（3）均有。證明 （1） 由于，故。（2） 設，由定理1有 （3），所以。在歐氏空間中，由定理3可得類似結論。推論2 設為歐氏空間的基，則（1） 內(nèi)積在基下的矩陣是實對稱陣，即。（2），其中，。例7 ，定義，則為歐氏空間，求內(nèi)積在基下的矩陣。解 ， ，因為是實對稱陣，所以。定理4 設歐氏（酉）空間的內(nèi)積在兩組基和下的矩陣分別為，且 ，則，即與合同。證明：設 ，則=所以 故由定理3有 所以 2.2向量的正交與標準正交基一、向量的正交與標準正交基定義1 設為歐氏（酉）空間，如果，則稱向量與正交，記為。在一個線性空間中，如果定義了兩個不同的內(nèi)積，得到兩個歐氏（酉）空間，則向量在這兩個歐氏（酉）空間的正交性不一定相同，如下例。例1在中定義內(nèi)積，得歐氏空間，定義內(nèi)積，得歐氏空間，取，則在中，在中與不正交。定義1 設為歐氏（酉）空間，是中非零向量組，如果兩兩正交，則稱是正交向量組。若是正交向量組且都是單位向量（即），則稱是標準正交向量組。定理1 正交向量組是線性無關向量組。證明 設是正交向量組，令，則因為 所以 故線性無關。定義2 若為歐氏（酉）空間的基且為標準正交向量組，則稱為標準正交基。定義3 設，若()，則稱為酉矩陣（正交陣），全體階酉（正交）矩陣構成的集合記為。下列為酉矩陣的簡單性質，設，則1. 2. 3. 4. 證明 ，即 ，5. 的特征值模為1，即。證明 設是的特征值，則存在，使得，所以即 ， 6. 、和的列分別構成的標準正交基。證明 只證的列構成的標準正交基，其余類似。設，由得所以 定理2 設為酉（歐氏）空間的標準正交基，則內(nèi)積在基下的矩陣為單位陣，從而內(nèi)積，其中分別為在基下的坐標。證明 設，因為所以，所以由2.1定理3得定理3 酉（歐氏）空間中標準正交基到標準正交基的過渡矩陣是酉（正交）矩陣。證明 不妨設是酉空間，設，是的兩個標準正交基，為由到的過渡矩陣。由2.1定理4知內(nèi)積在這兩個基下的矩陣合同，又由本節(jié)定理2知內(nèi)積在基下的矩陣為單位陣，故有，即，為酉矩陣。推論1 設是酉（歐氏）空間，是的兩個標準正交基，為由到的過渡矩陣，在、下的坐標分別是，則。證明 由1.3定理1及為酉（正交）矩陣即得。二、向量的正交化由本節(jié)定理2、定理3知道酉（歐氏）空間中的基用標準正交基，則向量的內(nèi)積表達和向量的坐標轉換較為方便，而酉（歐氏）空間中的基與標準正交基是等價的，下面討論如何從的一個基出發(fā)，求出的標準正交基，即向量正交化問題。定理4 （Schmidt正交化）設是酉（歐氏）空間的線性無關向量組，則在中存在正交向量組，且使得，其中為單位上三角陣（單位上三角陣：對角線元素都是1的上三角陣；：中秩為的矩陣全體）。證明 令 不難證明是中正交向量組。而 所以 。推論2 設是酉（歐氏）空間的線性無關向量組，則在中存在標準正交向量組，且使得，其中為正線上三角陣（正線上三角陣：對角線元素都是正數(shù)的上三角陣）。證明 由上述定理4將正交化，得中正交向量組，且，其中。令（單位化）則是中標準正交向量組。因為所以 定理4及推論2給出了將酉（歐氏）空間的基化為標準正交基的方法，分為兩個步驟。第一步：將 用Schmidt正交化方法正交化，得的正交基。第二步：將單位化，即令，則是標準正交基。例2 在定義，求的一個標準正交基。解 是的基，將正交化，得將標準化，得則是的標準正交基。一般我們有是的標準正交基，而 其中稱為勒讓得(Legendre)多項式。例3 設，求的標準正交基。解 因為線性無關，線性相關，所以是的基，將正交化，得將標準化，得則是的標準正交基。2.3 正交子空間一、子空間的正交定義1 設是酉（歐氏）空間的子空間，如果均有，則稱向量與子空間正交，記為。定義2 設都是酉（歐氏）空間的子空間，如果，均有，則稱子空間正交，記為。例1 設酉（歐氏）空間，是的標準正交基，則，定理1 設是正交子空間，則（1）（2）證明 （1），由，所以。（2）由子空間維數(shù)定理及（1）即得。定理2 設，則。證明 設。充分性 ，因為，所以，即得。必要性 ，。，設其中，則即 推論1 設，則。二、正交子空間的和由第一章我們知道維線性空間可以分解為一些子空間的直和，而由本節(jié)定理1得正交子空間的和是直和，所以下面討論酉（歐氏）空間分解為正交子空間和的問題。定義3 設都是酉（歐氏）空間的子空間，若且，則稱是的正交補子空間，記或。定理3 設，則，且。證明 ，則，使得，而，有，所以即。因為 所以，又由1.4定理7得。推論2設，則，且。證明 將定理3中的換為即可得證。在第一章中知線性空間直和分解不唯一，但酉（歐氏）空間的正交分解唯一。定理4設是酉（歐氏）空間的子空間，則存在唯一的，使得。 證明 設是的標準正交基，將擴充為的標準正交基取，則且假設存在的子空間，使得且，又設是的基，則由1.4定理7知是的基。，因為，所以，使得因為，是的標準正交基及，故所以即有，又因為所以，即唯一。注：定理4實際上也給出了正交補子空間的求法，但取正交基也可證明。例2 設，求的正交補空間使得。解 將擴充為的基，其中取，將用施密特正交化方法化為的正交基則，。定理5 設都是酉（歐氏）空間的子空間，則（1）（2）證明（1），即有，取，同理，故，所以，即得。反之，則，所以，得，故。（2）證明與（1）相似，略。2.4酉（正交）變換、正交投影一、酉（正交）變換物理學和一些工程學科中常用到酉（正交）變換（也稱保距變換），例如三維空間中的剛體運動等。定義1 設是酉（歐氏）空間的變換，如果，均有則稱是的酉（正交）變換。例1 設，其中且，則是的酉變換。證明 ，有所以是酉變換，其中是酉陣。在上例中稱為豪斯何爾德鏡象變換。定理1 酉（正交）變換是線性變換。證明 設是的酉（正交）變換，則，有 所以。而，有即，所以為線性變換。 定理2設是酉（歐氏）空間的線性變換，則下列命題等價。（1） 為酉變換。（2） 。（3） 若是的標準正交基，則也是的標準正交基。（4） 在的任一標準正交基下的矩陣是酉（正交）矩陣。證明 顯然。 因為而由 即得 （*）在（*）式中將換為（）即得 （*）（*）、（*）兩式相加得 ，所以也是的標準正交基。 ，而所以 即也是標準正交基到標準正交基的過渡矩陣，由2.2定理3知為酉（正交）矩陣。 設是的標準正交基，為酉（正交）矩陣。，使得，則由于內(nèi)積在標準正交基下的矩陣為單位陣，故有所以 推論1 設為階酉（正交）矩陣，則為的酉（正交）變換。證明 。二、正交投影酉（歐氏）空間可以分解為兩個互為正交補空間的和且分解唯一，即設且，則有，與對應，與對應，。這樣，就可以把解析幾何中的向量投影概念推廣到酉（歐氏）空間中。定義2 設酉（歐氏）空間，是的變換，若，有，則稱為到的正交投影，記為。性質1 正交投影是線性變換。證明 設是酉（歐氏）空間到的正交投影，。由定義2得，使得，而所以有，即又由于，有，故所以是線性變換。性質2設是酉（歐氏）空間到的正交投影，則。證明 設，則，使得，因為，所以。定理3設是酉空間到的正交投影，是的標準正交基，是的標準正交基，記，則。證明 記，則，所以即，有而所以由的任意性得又因為所以在定理3中看到的正交投影可以用矩陣表示，這個矩陣以后我們也稱為正交投影，也記作，例如定理3中可以記。例2 是歐氏空間的正交投影。證明 ，所以是正交投影。定理4 階矩陣為酉空間正交投影的充分必要條件是。證明 充分性 因為， ，則由于，有所以，即為的正交投影。（在上述證明中，由于為冪等陣，易證）必要性 設是到的正交投影，則,因為，有，故，由的任意性知。因為，所以，而由的任意性得 ，即所以 習 題 二1. 設是數(shù)域上線性空間的基，在中定義，其中，,，驗證是否為酉空