高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班講義(張宇).pdf

課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動(dòng)學(xué)員 全國免費(fèi)咨詢電話 400 668 21901 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 基礎(chǔ)班講義基礎(chǔ)班講義 張宇張宇 課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動(dòng)學(xué)員 全國免費(fèi)咨詢電話 400 668 21902 AnAnAnAnAppreciatedAppreciatedAppreciatedAppreciated JourneyJourneyJourneyJourney InInInIn KaoyanKaoyanKaoyanKaoyan MathematicsMathematicsMathematicsMathematics 考研數(shù)學(xué) 一次欣賞之旅考研數(shù)學(xué) 一次欣賞之旅 答疑地址 答疑地址 課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動(dòng)學(xué)員 全國免費(fèi)咨詢電話 400 668 21903 一 一 2013201320132013 考研數(shù)學(xué)試題特點(diǎn)考研數(shù)學(xué)試題特點(diǎn) 1 穩(wěn)定性 重基礎(chǔ) 輕技巧 2 新意 計(jì)算量大 二 二 誰也抵擋不了幾何直觀的誘惑誰也抵擋不了幾何直觀的誘惑 從一道優(yōu)秀試題講起從一道優(yōu)秀試題講起 0 2 0 30 2 0 30 2 0 30 2 0 3 0 5 0 60 5 0 60 5 0 60 5 0 6 例 如圖所示 xfy 光滑 以下四個(gè)選項(xiàng)一定正確的是 0fx 選項(xiàng) 其中如圖知 由公式得知 故選項(xiàng) 不成立 選項(xiàng) 其中由選項(xiàng) 知 由公式得知 101010 111 10 1 10 1 10 0 1 0 10 1 0 0 0 10 1 10 1 10 1 0 10 0 1 0 10 fff fffx dxfx dxfxfxdx Cfxfxdxffffff fff 故選項(xiàng)C 是否成立不確定 選項(xiàng)D 故選項(xiàng)D 成立 三 考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)關(guān)鍵三 考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)關(guān)鍵 1 夯實(shí)基礎(chǔ) 知識 概念 定理 公式 以知識為核心 f xaba ba b fbaf bf a 如果函數(shù)在 上可導(dǎo) 上連續(xù) 則必有一 使 拉日 得 格朗中值定理 ab 凹 ab 凸 課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動(dòng)學(xué)員 全國免費(fèi)咨詢電話 400 668 21905 例 求 lim sin2014sin x xx 答案簡析 sin 2014 1 sin2014sincos2014 2014 2 1 lim sin2014sinlim 1007cos0 x f ttx x xxx x xx 對在上用拉格朗日中值定理 故 數(shù)學(xué)思想 技術(shù) 與命題人成功交流 1 數(shù)形結(jié)合 例 2014 如圖所示 xfy 光滑 則 5 0 0fxfxdx 答案簡析 2 5 1 課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動(dòng)學(xué)員 全國免費(fèi)咨詢電話 400 668 21906 555 000 5 0 5 1 5 1 5 1 5 0 1 0 5 1 0 0 fxfxdxfx dxfx dxffffff fffffxfxdx 由圖得知?jiǎng)t即 2 等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想 將題目所給的某種陌生的問題形式 等價(jià)轉(zhuǎn)化為我們所熟知的另一種 問題形式 這是考研數(shù)學(xué)中普遍且重要的屬性思想 例 求 3 2 0 1 coscos2cos3 lim x xxx x 答案簡析 3 2 0 3 2 0 3 222 000 1 coscos2cos3 lim 1 cos coscoscos2 coscos2coscos2cos3 lim 1 cos cos 1cos2 coscos2 1cos3 limlimlim 13 13 22 x x xxx xxx x xxxxxxxxx x xxxxxx xxx 練習(xí) 求 0 1 cos cos2 cos3 lim b x xxx a b ax 求 2 加強(qiáng)計(jì)算 指標(biāo) 準(zhǔn) 快 1 用思想 2 用知識 3 熟能生巧 課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動(dòng)學(xué)員 全國免費(fèi)咨詢電話 400 668 21907 例 2013 設(shè) 0 arctan lim0 k x xx cc kck x 其中為常數(shù) 則 例 2009 已知 3 0 sin lim1 x xax a bab bx 其中為常數(shù) 則 例 2014 設(shè) 3 0 arcsin lim1 x xlx l v vx 求 例 0 arctanarcsin lim tansin x xx xx 洛必達(dá)法則 1 2 0 3 lim limlim xa xaxa xaf xx afxxx fx x f xfx xx 當(dāng)時(shí) 函數(shù)及F都趨于零 在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi) 及F都存在且F 存在 或?yàn)闊o窮大 F 那么 FF 證明 lim 0 12 xa fx xaf aF af aF a x f xxax xa f xf xf af xa xxF a xa 因?yàn)榍螽?dāng)時(shí)的極限與及無關(guān) 所以可以假定 F 于是由條件 知道 數(shù)及F在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)是連續(xù)的 設(shè) 是 這鄰域內(nèi)的一點(diǎn) 那么在以 及 為端點(diǎn)的區(qū)間上 柯西中值定理的條件均滿足 因此有在 與 之間 FFF 令 并對上式兩端求極限 3xaa 注意到時(shí) 再根據(jù)條件 便得到要 證明的結(jié)論 課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動(dòng)學(xué)員 全國免費(fèi)咨詢電話 400 668 21908 泰勒展開式 sincosxx 1357 33 33 111 sin 3 57 0 sin 1 0 sin 6 1 0 sin 6 xxxxx xxxo x xxxxo x xxxxo x 例 2 5 0 sinsin sin sin lim x xxx x 求 答案簡析 32 2 55 00 1 sinsin sinsin sin sin1 6 limlim sin6 xx xx xxx xx 不難看出 33 33 33 1 0 arcsin 6 1 tan 3 1 arctan 3 xxxxo x xxxo x xxxo x 課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動(dòng)學(xué)員 全國免費(fèi)咨詢電話 400 668 21909 x a f xg t dt 設(shè) 則函數(shù)g x 的圖像為 udvuvvdu n m P t nm Qt 極小值點(diǎn) 極大值點(diǎn) 例 b a f xa ba bf x dxfba 設(shè)在上連續(xù) 證明使得 考點(diǎn)分析 本題考察了介值定理和最值定理 1 2 3 b a f x dx f ba mf xMmMfa b 于是 用介值定理 介值定理三部曲 欲證結(jié)論 答案簡析 1 2 3 bbb aaa bbb aaa b a mf xM mdxf x dxMdx mdxf x dxMdx mdxf x dxMdx bababa mM f x dx a bf ba 由介值定理 使得 考點(diǎn)分析 極值 課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動(dòng)學(xué)員 全國免費(fèi)咨詢電話 400 668 219012 6 1 2 0 3 a b f xa bda bf f af b 羅爾定理 上C 設(shè)滿足以下三條 內(nèi)則使得 7 1 2 2 a b f x a bd a b f bf afba f bf a f ba 拉格朗日中值定理 上C 設(shè)滿足以下兩條 內(nèi) 則使得 1 tansin 3 0 tansin 3 0 lim 0 sin tan tansin tansin tansin1 lim 2 xx x t xx x ee x xf texx eeexxxx xx x 例 在上用拉格朗日中值定理 原式 sintansin 33 00 1 tansin1 limlim 2 xxx xx eexx xx 另解 原式 最值 00 00 12112 0 0 I xI f xf xx xI f xf xx 區(qū)間 如 是最小值點(diǎn) 是最大值點(diǎn) Th區(qū)間內(nèi)部的最值點(diǎn)必為極值點(diǎn) 定理證明 00 00 00 00 00 000 0 0 lim0 lim0 0 xxxx f xxff xf x f xf xf xf x fxfx xxxx fxfxfx fx 不妨設(shè)在 處取極大值 即 又 由于 于是 課程鑄就品質(zhì) 服務(wù)感動(dòng)學(xué)員 全國免費(fèi)咨詢電話 400 668 219013 8 9 10 0 0 f xa bfafb a bf 2 bb f xf b 使得 證畢 不妨設(shè) 2