數(shù)學(xué)模型作業(yè)2.doc

2007011207 無78 王萌7.要從雨中從一處沿直線跑道另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變，試建立數(shù)學(xué)模型討論是否跑得越快，淋雨量越燒。將人體簡(jiǎn)化為一個(gè)長(zhǎng)方體，高a=1.5m（頸部以下），寬b=0.5m，厚c=0.2m。設(shè)跑步距離d=1000m，跑步最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h，記跑步速度為v。按以下步驟進(jìn)行討論：（1） 不考慮雨淋的方向，設(shè)降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計(jì)跑完全程的總淋雨量。（2） 雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體夾角為，如圖1.建立總淋雨量與素的v及參數(shù)a，b，c, d, u, w,之間的關(guān)系，問速度v多大，總淋雨量最少，計(jì)算=0，=30時(shí)的總淋雨量。（3） 風(fēng)從背面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體夾角為，如圖2，建立總淋雨量與素的v及參數(shù)a，b，c, d, u, w,之間的關(guān)系，問速度v多大，總淋雨量最少，計(jì)算=30時(shí)的總淋雨量。（4） 以總淋雨量為縱軸，速度為橫軸，對(duì)（3）作圖（考慮的影響），并解釋結(jié)果的實(shí)際意義。（5） 若雨線方向與跑步方向不在同一平面內(nèi)，模型會(huì)有什么變化？解：（1）身體面積S=2ab+2ac+bc=2.2m2，淋雨時(shí)間t=d/vm=200s，降雨量w=2cm/h=5.56*10-6m/s，所以總淋雨量Q=Stw=2.44L。（2）頂部淋雨量，淋雨速度為u*cos() Q1=b*c*d*w*cos（）/v 正面淋雨量：淋雨速度為u*sin()+v Q2=a*b*d*w*(u*sin()+v)/(u*v) 總淋雨量Q=Q1+Q2=b*d*w*c*u*cos()+a*(u*sin()+v)/(u*v)，在定義域是v的單調(diào)減函數(shù)，所以當(dāng)v=vm時(shí)，Q最小。經(jīng)計(jì)算得：=0時(shí)，Q=1.15L。=30時(shí)，Q=1.55L。（3）分兩種情況，vu*sin():人的前面淋雨； vu*sin():人的背面淋雨。 不管怎樣，淋雨速度總是|v-u*sin()|,總淋雨量 bdwucucos+a(usin-v)v=bdwvu(ccos+asin-av)v, vu*sin()Q= bdwucucos+a(v-usin)v=bdwvu(ccos-asin-av)v, vu*sin()可以看出vu*sin()時(shí)Q為單調(diào)減函數(shù)；vu*sin()時(shí)，若ccos-asin0，為單調(diào)增函數(shù)，此時(shí)v=u*sin()為最小值點(diǎn)；否則，v=vm時(shí)為最小值點(diǎn)。=30，ccos-asin0，此時(shí)v=2m/s時(shí)，Q=0.24L為最小，v=vm時(shí)，Q=0.93L。（4）ccos-asin0時(shí),（6） 再計(jì)算側(cè)面淋雨量即可，為一個(gè)d/v的線性函數(shù)，對(duì)（2）結(jié)果無影響，將影響(3)的結(jié)果。8.甲乙兩公司通過廣告來競(jìng)爭(zhēng)銷售商品的數(shù)量，廣告費(fèi)分別為x和y，設(shè)甲乙公司商品的銷售量在兩公司總銷售量中的份額，是他們的廣告費(fèi)在總廣告費(fèi)中所占份額的函數(shù)f(xx+y)和f(yx+y).又設(shè)公司的收入與銷售量成正比，從收入中扣除廣告費(fèi)后為公司的利潤(rùn)，試構(gòu)造模型的圖樣，并討論甲乙公司怎樣確定廣告費(fèi)才能使利潤(rùn)最大。（1）令t=xx+y,則f(t)+f(1-t)=1。畫出f(t)的示意圖。（2）寫出家公司利潤(rùn)的表達(dá)式p(x)。對(duì)于一定的y，使p(x)最大的x的最優(yōu)值應(yīng)滿足什么條件。用圖解法確定這個(gè)最優(yōu)值。（1）f(t)圖形以(1/2,1/2)為中心對(duì)稱，由圖所示。（2）甲公司利潤(rùn)為p(x)=f(xx+y)-x, 是常數(shù)。設(shè)t=xx+y由p(x