《一元函數(shù)微積分》習(xí)題解答第一章.doc

一元函數(shù)微積分習(xí)題111確定下列函數(shù)的定義域：（1）；解：要使函數(shù)有意義，則： 即 或.所以函數(shù)定義域：.（2）；解：要使函數(shù)有意義，則，即.所以函數(shù)定義域：(0,1.（3）；解：，即.所以函數(shù)定義域：(-1,1.（4）；解：，即.所以函數(shù)定義域：.（5）；解：，則。所以函數(shù)定義域：（6）.解：,則.(其中是Z整數(shù)集),函數(shù)定義域：或.2.求函數(shù)的定義域和值域,并求和.解:定義域:.當(dāng)時,故. 所以值域:-1,1.,.3.下列各題中,函數(shù)和是否相同,為什么?(1) ;解: 不同因為,即的值域是全體非負(fù)實數(shù),而的值域是全體實數(shù).(2) ;解: 相同因為和的定義域均為實數(shù)R,值域為-1,1,且(3);解: 不同因為.兩函數(shù)的定義域不同.(4).解: 相同因為定義域均為非零實數(shù),在定義域內(nèi)函數(shù)值恒等于1.4.設(shè), 證明:.證明: 由三角函數(shù)知:.5.設(shè)且,試確定a, b的值.解: 因為 故由題設(shè)所以有:且得:.6.下列函數(shù)哪些是偶函數(shù)? 哪些是奇函數(shù)?哪些既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)?(1) ;解: 定義域:所以函數(shù)是偶函數(shù).(2);解: 定義域:,且.所以函數(shù)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù).(3);解: 定義域:所以函數(shù)是偶函數(shù).(4)解: 定義域:,.所以函數(shù)是奇函數(shù).(5);解: 定義域:,則且所以函數(shù)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù).(6).解: 定義域:所以函數(shù)是偶函數(shù).7.設(shè)為定義在上的任意函數(shù),證明:(1)為偶函數(shù); (2) 為奇函數(shù).證明: 由題設(shè)為定義在的函數(shù), 則的定義域也為(1) ,. 故是偶函數(shù).(2) ,.故為奇函數(shù).8. 證明: 定義在上的任意函數(shù)可以表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)和.證明: 設(shè)是定義在上的任意函數(shù). 由7題知 為偶函數(shù),為奇函數(shù).且 .故命題成立.9. 設(shè)為定義在上的奇函數(shù),若在上單增, 證明: 在上也單增.證明: 由題設(shè)知對于任意有:不妨設(shè)任意的,滿足, 則.在上單增, 則 ，奇函數(shù)即 所以在上也單增.10. 下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)? 對于周期函數(shù),指出其周期:(1) ; 解:, 函數(shù)是周期函數(shù)且周期.(2) ;解: , 函數(shù)是周期函數(shù)且周期.(3) ;解: ,函數(shù)是周期函數(shù)且周期.(4) ;解: 非周期函數(shù)(5) ;解: , 函數(shù)是周期函數(shù)且周期.(6) 解: , ,故原函數(shù)的周期為兩函數(shù)的周期和最小公倍數(shù). 所以周期為.11. 下列各組函數(shù)中哪些不構(gòu)成復(fù)合函數(shù)? 把能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的寫,成復(fù)合函數(shù),并指出定義域.(1) ,;解: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù), 定義域: .(2) ,;解: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù), 定義域: .(3) ,;解: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù), 定義域: .(4) ,;解: 不構(gòu)成復(fù)合函數(shù)要求, 但是的值域:.(5) ,;解: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù), 定義域: .(6) , .解: 構(gòu)成復(fù)合函數(shù), 定義域: .12. 下列函數(shù)是由哪些簡單函數(shù)復(fù)合而成的?(1) ;解: ,.(2) ;解: , , .(3) ;解: , , .(4) .解: , , , .13. 求下列函數(shù)的反函數(shù):(1) ;解: 原函數(shù)的定義域:, 值域:. 反解: . 得反函數(shù): .(2) ;解: 原函數(shù)的定義域: , 值域:. 反解: .得反函數(shù): 反函數(shù)的定義域:, 值域: .(3) .解: 由于, 則. 原函數(shù)的定義域: , 值域:. 反解: , .得反函數(shù): 反函數(shù)的定義域: , 值域: .14. 某批發(fā)商店按照下列價格表整盒在批發(fā)銷售某種盒裝飲料:當(dāng)購貨量小于或等于20盒時,每盒2.50元;當(dāng)購貨量小于或等于50盒時,其超過20盒的飲料每盒2.30元;當(dāng)購貨量小于或等于100盒時,其超過50盒的飲料每盒2.00元;當(dāng)購貨量大于100時,其超過100盒的飲料每盒1.80元;設(shè)x是銷售量, y是總價, 試建立總價y和銷售量x之間的函數(shù)關(guān)系式,并作出它的圖形.解: 由題知: 當(dāng)時, ; 當(dāng)時, ;當(dāng)時, ;當(dāng)時, 圖形(略)15. 設(shè)某商品的市場供應(yīng)函數(shù), 其中Q為供應(yīng)量, p為市場價格. 商品的單位生產(chǎn)成本是1.5元, 試建立總利潤L與市場價格p的函數(shù)關(guān)系式.解: 供應(yīng)函數(shù)則總利潤.16. 用p代表單價, 某商品的需求函數(shù)為, 當(dāng)Q超過1 000時成本函數(shù)為, 試確定能達(dá)到損益平衡的價格 (提示: 當(dāng)總收入=總成本時,便達(dá)到損益平衡).解: 當(dāng)時 則價格.達(dá)到損益平衡, 則 即: 得又因為價格, 故答: 當(dāng)需求量超過1000時,達(dá)到損益平衡的價格是28.59.17. 在半徑為r的球內(nèi)嵌入一個內(nèi)接圓柱, 試將圓柱的體積V表示為圓柱的高h(yuǎn)的函數(shù), 并求此函數(shù)的定義域.解: 設(shè)圓柱的半徑為R, 則滿足圓柱的體積: .定義域: 18. 已知華氏溫度F與攝氏溫度的線性關(guān)系, 在101325帕(一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓)下, 水的冰點溫度不32F或0, 水的沸點溫度為212F或100.(1) 寫出華氏溫度F與攝氏溫度的函數(shù)關(guān)系;(2) 畫出該函數(shù)的圖形;(3) 攝氏20相當(dāng)于華氏幾度?解: (1)由華氏溫度F與攝氏溫度的線性關(guān)系, 設(shè)當(dāng)攝氏溫度為x時, 華氏溫度為y F , 則有關(guān)系式 其中a , b為常數(shù). 由題知: 函數(shù)關(guān)系: (其中x的度量單位是, y的度量單位是F)(2) 函數(shù)圖形(略) (3) 攝氏20時, y=1.820+32=68(F)習(xí)題121（1）0；（2）1；（3）-1；（4）發(fā)散2（1）證明：，要使，即。只須取N=, 則當(dāng)時，有因此 。 （2）證明：，要使，即。只須取N=, 則當(dāng)時，有 因此 。（3）證明：，要使， 只須取，則當(dāng) 時，有成立 因此 （4）證明：，要使， 只須取，則當(dāng) 時，有成立 因此 （5）證明：，要使即 只須取，則當(dāng)時，有成立 因此 （6）證明：，要使，即 只須取，則當(dāng)時，有成立 因此 3（1）略 （2）解： （3）解： 當(dāng) 時，沒有極限。4（1）解： （2）解： （3）解5（1）是周期函數(shù)，不存在。 （2） （3）是周期函數(shù)，不存在 （4）不存在 （5）不存在 （6）習(xí)題13 1、（1）在時是無窮小 （2）在時是無窮小 （3）在時不是無窮小 （4） n分別為奇數(shù)、偶數(shù)的結(jié)果所以，在時是無窮小2、（1），是無窮小；是無窮大 （2）是無窮?。皇菬o窮大 （3）是無窮小不確切，應(yīng)該當(dāng)時，它是無窮小3、證明： 當(dāng)時，有4、總有，使 從而在內(nèi)無界又因為總有，使，從而所以不是當(dāng)時的無窮大5、極限不存在，（無窮大），（無窮小）習(xí)題1-41、求下列極限（1）解：= =（2）解：= =（3）解：=-9（4）解：=（5）解：=（6）解：= =（7）解：=（8）解：因為=0，所以=（9）解：=0（10）解：=（11）解：=（12）解：= =2、求下列極根（1）解：=（2）解：=1（3）解：=（4）解：=（5）（6）解： =43、求下列極限：（1）解：=（2）解：（當(dāng)時，為無窮小量，為有界量）（3）解：（當(dāng)時，為無窮小量，為有界量）（4）解：（5）解：因， 所以不存在（6）解：4、下列各題的做法是否正確？為什么？（1）錯。因為分式分母的極限為零，故不能利用極限的商的運(yùn)算。正確做法：因，所以（2）錯。因為差式中與都不存在，故不能利用差的運(yùn)算求極限。正確做法：=， 因= 所以（3）錯誤。因為不存在，故不能利用乘積的根限運(yùn)算。正確做法：因當(dāng)時，為無窮小時，為有界量，利用無窮小量與有界量乘積是無窮小量。所以習(xí)題151（1）解： （2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：（7）解：（8）解：（9）解：（10）解： （11）解：（12）2（1）證明：又 ， 根據(jù)夾逼準(zhǔn)則知 （2）證明：設(shè) 顯然。 當(dāng)， 假定時， 當(dāng)時，由歸納法知，則有上界； 又 由 知 ， 則單調(diào)增加； 根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則知數(shù)列的極限存在。3解： 由已知 解得 。4解：5年后價值（萬元）習(xí)題1-61證明： 即即 。2（1）；（2）（3）；（4）3當(dāng)時，xsinx是x的2階無窮小。4當(dāng)時，cosx-cos2x是x的2階無窮小5（1）d; (2) b; (3) c; (4) a習(xí)題1-71（1）的連續(xù)區(qū)間為； （2） ； -1是間斷點連續(xù)區(qū)間為；2（1），x=0為第1類間斷點中的可去型間斷點。（2）x=-1為第一類間斷點中的跳躍型間斷點。3當(dāng)時，tanx無意義，故為間斷點而，故為可去型間斷點（第一類）；當(dāng)x=0時，tanx=0，無意義，故為間斷點而，故x=0為可去型間斷點（第一類）；當(dāng)時，tanx=0, 無意義，故為間斷點而，故為第二類間斷點（無窮間斷點）。4 故A=e-15. 所以但f(0)=0,所以f(x)在x=0不連續(xù)，x=0是f(x)的可去型間斷點。習(xí)題181在上連續(xù)，又，故則在上連續(xù)。2（1）； （2） （3）