三角函數(shù)的最值習(xí)題精選精講###########.doc

習(xí)題精選精講三角函數(shù)的值域或最值常見的三角函數(shù)最值的基本類型有：（1）y=asinx+b（或y=acosx+b）型，利用，即可求解，此時必須注意字母a的符號對最值的影響。（2）y=asinx+bcosx型，引入輔助角，化為y=sin（x+）,利用函數(shù)即可求解。Y=asinx+bsinxcosx+mcosx+n型亦可以化為此類。（3）y=asinx+bsinx+c（或y=acosx+bcosx+c），型，可令t=sinx（t=cosx）,-1t1,化歸為閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值問題。（4）Y=（或y=）型，解出sinx（或cosx）,利用去解；或用分離常數(shù)的方法去解決。（5）y=（y=）型，可化歸為sin（x+）g（y）去處理；或用萬能公式換元后用判別式去處理；當(dāng)a=c時，還可利用數(shù)形結(jié)合的方法去處理上。（6）對于含有sinxcosx,sinxcosx的函數(shù)的最值問題，常用的方法是令sinxcosx=t,將sinxcosx轉(zhuǎn)化為t的函數(shù)關(guān)系式，從而化為二次函數(shù)的最值問題。一、利用三角函數(shù)的有界性求解這類問題，首先利用有關(guān)三角函數(shù)公式化為的形式在化簡過程中常常用到公式： 例1 1、（2007天津理17）已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值本小題考查三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式、特殊角三角函數(shù)值、兩角差公式、倍角公式、函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力滿分12分（）解：因此，函數(shù)的最小正周期為（）解法一：因為在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為解法二：作函數(shù)在長度為一個周期的區(qū)間上的圖象如下：由圖象得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為練習(xí)題2、（2007陜西理17）設(shè)函數(shù)，其中向量，且的圖象經(jīng)過點（）求實數(shù)的值；（）求函數(shù)的最小值及此時值的集合解： 值的集合為2.（2009年上海卷理）函數(shù)的最小值是_ .【答案】5.（2009重慶卷理）（本小題滿分13分，（）小問7分，（）小問6分）設(shè)函數(shù)（）求的最小正周期 （）若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對稱，求當(dāng)時的最大值解：紀(jì)教育網(wǎng) 故的最小正周期為 T =8 .4（2008遼寧，文16）設(shè)，則函數(shù)的最小值為 5.（2008上海卷6）函數(shù)f(x)sin x +sin(+x)的最大值是 26（2008北京，理13）已知函數(shù)，對于上的任意，有如下條件：；其中能使恒成立的條件序號是 7（2008湖北，文16）.（本小題滿12分） 已知函數(shù) （）將函數(shù)化簡成的形式，并指出的周期； （）求函數(shù)上的最大值和最小值解：本小題主要考查三角函數(shù)的恒等變換、周期性、單調(diào)性和最值等基本知識和運算能力.（滿分12分）解：()f(x)=sinx+. 故f(x)的周期為2kkZ且k0.()由x，得.因為f(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).故當(dāng)x=時，f(x)有最小值；而f()=2，f()2，所以當(dāng)x=時，f(x)有最大值2.8.（2008湖北卷16）.已知函數(shù)（）將函數(shù)化簡成（，）的形式；（）求函數(shù)的值域.本小題主要考查函數(shù)的定義域、值域和三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識，考查三角恒等變換、代數(shù)式的化簡變形和運算能力.（滿分12分）解：（）（）由得在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又（當(dāng)），即故g(x)的值域為9.（2008陜西卷17）（本小題滿分12分）已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期及最值；（）令，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由解：（）的最小正周期當(dāng)時，取得最小值；當(dāng)時，取得最大值2（）由（）知又函數(shù)是偶函數(shù)10.（2008北京卷15）（本小題共13分）已知函數(shù)（）的最小正周期為（）求的值；（）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍解：（）因為函數(shù)的最小正周期為，且，所以，解得（）由（）得因為，所以，所以，因此，即的取值范圍為12.（2008安徽卷17）（本小題滿分12分）已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期和圖象的對稱軸方程（）求函數(shù)在區(qū)間上的值域解：（1） 由函數(shù)圖象的對稱軸方程為 （2）因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以 當(dāng)時，取最大值 1又 ，當(dāng)時，取最小值所以 函數(shù) 在區(qū)間上的值域為二、利用二次函數(shù)最值性質(zhì)求解這類問題，首先利用有關(guān)三角函數(shù)公式化為的形式11.（2008四川卷17）（本小題滿分12分）求函數(shù)的最大值與最小值。【解】：由于函數(shù)在中的最大值為 最小值為 故當(dāng)時取得最大值，當(dāng)時取得最小值13.（2008福建卷17）（本小題滿分12分）已知向量m=(sinA,cosA),n=，mn1，且A為銳角.（）求角A的大小；（）求函數(shù)的值域.本小題主要考查平面向量的數(shù)量積計算、三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、一元二次函數(shù)的最值等基本知識，考查運算能力.滿分12分.解：（）由題意得由A為銳角得（）由（）知所以因為xR，所以，因此，當(dāng)時，f(x)有最大值.當(dāng)sinx=-1時，f(x)有最小值-3，所以所求函數(shù)f(x)的值域是三、利用均值不等式*利用均值不等式求三角函數(shù)時，一定要注意均值不等式中的使用條件：一正、二定、三相等例題3.(2009湖南卷理)若x(0, )則2tanx+tan(-x)的最小值為2. 【答案】：【解析】由，知所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即最小值是。例題3、（2007湖北文16）已知函數(shù)，（I）求的最大值和最小值；（II）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍本小題主要考查三角函數(shù)和不等式的基本知識，以及運用三角公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題的能力解：（） 又，即，（），且，即的取值范圍是四、利用判別式例7、求函數(shù)的值域解：當(dāng)時，當(dāng)時，設(shè)，則，即，由得，由得函數(shù)的值域為五、利用數(shù)形結(jié)合*形如的函數(shù)最值問題，可以看成是連接兩點的直線的斜率的最值問題例8，求函數(shù)的最大值和最小值解：本題可轉(zhuǎn)化為圓上動點與定點A（-2，0）連線的斜率的最大值和最小值如圖，當(dāng)MA與O相切時取得斜率最小值，當(dāng)PA與O相切時取得斜率最大值，由平面幾何知識可得=，即MA的斜率=，PA的斜率=，所以函數(shù)的最大值和最小值分別為、例1：已知,f（）=sin(cos)的最大值為a,最小值為b，g()=cos(sin)的最大值為c,最小值為d,則a,b,c,d的大小順序為 。例2：函數(shù)f(x)=cosx+sinx在區(qū)間上的最小值是什么？例3求函數(shù)f()=的最大值與最小值是什么？由圖可知當(dāng)直線AB處于L1的位置時，斜率取最小值0，當(dāng)直線處于L2的位置時，斜率取最大值。所以例4、函數(shù)f(x)=的最大值是，最小值是例5、求y=的最值？例6、已知f(x)=2cosx+sin2x+a,若x2,求a的取值范圍。注：本題綜合運用三角恒等變形，三角函數(shù)的單調(diào)性，不等式的性質(zhì)，函數(shù)的恒成立等知識，是一個較好的三角函數(shù)綜合題。高考中的三角函數(shù)最值問題解析三角函數(shù)的最值是高考重點考查的內(nèi)容，求與三角函數(shù)有關(guān)的最大值、最小值是高考的熱點題目。在高考中，主要以選擇題、填空題為主，有時也可是解答題的一部分。解答時，要注意靈活運用三角函數(shù)的有界性及三角變換。解析1應(yīng)用三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)值的符號規(guī)律解題例1 函數(shù)y的值域是（ ）。A.2，4B.2，0，4C.2，0，2，4D.4，2，0，4(90全國) 解析：解決本題時要注意三角函數(shù)值的符號規(guī)律，分四個象限討論。當(dāng)x在第一象限時，函數(shù)值為4；當(dāng)x在第二象限時，函數(shù)值為-2；當(dāng)x在第三象限時，函數(shù)值為0；當(dāng)x在第四象限時，函數(shù)值為-2；所以選擇B。解析2直接應(yīng)用三角函數(shù)的有界性解題例2設(shè)M和m分別表示函數(shù)的最大值和最小值，則M+m等于（ ） （A）（B）（C） （D）-2（2003北京春季）解析：由于y=cosx的最大值與最小值分別為1,-1,所以,函數(shù)的最大值與最小值分別為,即M+m+（）=-2,選D.練習(xí)：函數(shù)f(x)Msin(x)(0)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，且f(a)M，f(b)M，則函數(shù)g(x)Mcos(x)區(qū)間a，b上 。(99全國) A.是增函數(shù) B.是減函數(shù) C.可以取得最大值M D.可以取得最小值M（參考答案C）例3已知函數(shù)，求f(x)的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域。(2003春季)分析：本題主要是考查三角函數(shù)的基本知識，考查三角變換能力，考查邏輯思維能力、分析和解決問題的能力。 解：由cos2x0得，解得，kZ。 所以f(x)的定義域為 x|xR且， kZ。 因為f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，且 ， 所以f(x)是偶函數(shù)。 又當(dāng)（kZ）時， 3cos2x-1=，所以f(x )的值域為y|-1y或0時，那么當(dāng)時，一定有（ ）.A、B、C、D、 分析 令x = y =0,得f (0) = f(0)f(0), 又，所以f (0) =1; 再令y = - x , 得 f (0) = f (x)f(-x) =1, 又對一切恒成立，設(shè)x 0, 由已知得 f (- x) 1, 所以 0 0,則 得 ，又，所以的取值范圍是2，65 函數(shù)的圖象如圖所示，其定義域為-4，4，那么不等式的解集為 。 分析 函數(shù)y = sinx 在區(qū)間或上取正值，在區(qū)間或上取負(fù)值， 在數(shù)軸上分別標(biāo)出函數(shù)f (x), sinx在區(qū)間-4，4上的零點， 容易看出在上述六個區(qū)間上的取值符號，并且注意f(x)的零點屬于該不等式的解集，但要去掉sinx的零點，于是的解集為 .6非等邊三角形ABC的外接圓半徑為2，最長的邊，求的取值范圍.解：由正弦定理 得BC是最長邊，且三角形為非等邊三角形 , 又 , 故 的取值范圍為7 如圖，已知在等邊ABC中，AB3，O為中心，過O的直線交AB于M，AC于N，設(shè)AOM(60120)，當(dāng)分別為何