光電信息物理基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)ppt課件.pptx

第一章數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 光電信息物理基礎(chǔ) 1 第一章數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 1 1矢量代數(shù)和矢量函數(shù)1 矢量 既有大小又有方向的量 如 力 速度 位移等 標(biāo)量 只有大小沒(méi)有方向的量 如 長(zhǎng)度 時(shí)間 質(zhì)量等 矢量表示 帶箭頭的字母 如 等 黑斜體字母 如A B等 矢量的模 矢量的大小 用A或 2 第一章數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 2 矢量加減運(yùn)算矢量加法服從交換律 A B CA B B A當(dāng)有三個(gè)矢量相加時(shí) 服從結(jié)合律 A B C A B C A B C 平行四邊形法則三角形法則 3 兩個(gè)矢量相減時(shí) 如A B 先取B的負(fù)矢量 B 第一章數(shù)學(xué)基礎(chǔ) B A B 3 單位矢量和分矢量一個(gè)矢量A乘以一個(gè)正標(biāo)量m得到一個(gè)新矢量 與A同向 大小為A的m倍 單位矢量 大小為1的矢量 如A的單位矢量表示為 一個(gè)矢量可以用該矢量方向上的單位矢量和該矢量的大小相乘所得 即 4 任意矢量都可以分解為幾個(gè)矢量 特別是可以分解為沿坐標(biāo)軸的互相垂直的分量 如在笛卡爾坐標(biāo)系中 矢量A可以分解為 為坐標(biāo)軸方向的單位矢量 4 兩矢量的標(biāo)量積矢量A和矢量B的標(biāo)量積記為A B 第一章數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 是矢量A和矢量B的夾角 5 若將矢量A和矢量B用直角坐標(biāo)系方法表示 則有兩矢量的標(biāo)量積滿足交換律和分配律5 兩矢量的矢量積記為矢量積是一個(gè)矢量 大小等于方向垂直于矢量A和矢量B所決定的平面 第一章數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 是矢量A和矢量B的夾角 A B 6 兩矢量的矢量積不服從交換律 滿足分配律若將矢量A和矢量B用直角坐標(biāo)系方法表示 則有6 三矢量相乘 第一章數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 7 7 矢量函數(shù)與矢量線標(biāo)量函數(shù) 具有確定數(shù)值的標(biāo)量可以是空間坐標(biāo) 如直角坐標(biāo)系中的x y z 和時(shí)間t的函數(shù) 稱f x y z t 為標(biāo)量函數(shù) 矢量函數(shù) 具有確定方向的物理量的矢量 一般都是一個(gè)或幾個(gè) 標(biāo)量 變量的函數(shù) 稱F x y z t 為矢量函數(shù) 一個(gè)矢量函數(shù)F x y z t 對(duì)應(yīng)三個(gè)標(biāo)量函數(shù)若f或F的物理狀態(tài)與時(shí)間無(wú)關(guān) 則代表靜態(tài)場(chǎng) 若與時(shí)間有關(guān) 則為動(dòng)態(tài)場(chǎng)或時(shí)變場(chǎng) 第一章數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 8 矢量和矢量場(chǎng)的不變特性描述物理狀態(tài)空間分布的標(biāo)量函數(shù)f x y z t 和矢量函數(shù)F x y z t 在時(shí)間是一定值的情況下 它們是唯一的 它們的數(shù)值和方向與所選擇的坐標(biāo)系無(wú)關(guān) 即使進(jìn)行坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換 它們也保持不變 大小和方向都保持不變的矢量稱為常失 反之稱為變失 矢量函數(shù)對(duì)時(shí)間和空間坐標(biāo)變量的微分 仍然是一個(gè)矢量 第一章數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 9 矢量線為形象描述矢量場(chǎng)在空間的分布狀態(tài) 引入矢量線概念 矢量線上的每一點(diǎn)的切線方向都代表該點(diǎn)的矢量場(chǎng)方向 矢量場(chǎng)中的每一點(diǎn)均有唯一的一條矢量線通過(guò) 所有矢量線充滿了整個(gè)矢量所在空間 如 電力線 磁力線就是電場(chǎng)和磁場(chǎng)的矢量線 由矢量線定義可知 其上任一點(diǎn)的切向長(zhǎng)度元dl與該點(diǎn)矢量場(chǎng)A的方向平行 于是有 第一章數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 10 直角坐標(biāo)系中由可得這就是矢量線的微分方程 求得它的通解可繪出矢量線 第一章數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 0 11 1 2場(chǎng) 梯度 散度和旋度1 場(chǎng)如果在一個(gè)空間區(qū)域中 某個(gè)物理量在其中每一點(diǎn)都取確定值 就稱這個(gè)空間區(qū)域存在物理量的場(chǎng) 如果這個(gè)物理量是標(biāo)量 則為標(biāo)量場(chǎng) 如溫度場(chǎng) 電勢(shì)場(chǎng)等 如果這個(gè)物理量是矢量 則為矢量場(chǎng) 如電場(chǎng) 磁場(chǎng)等 2 標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度標(biāo)量場(chǎng)中分布在各點(diǎn)的物理量u是場(chǎng)中點(diǎn)坐標(biāo)的單值函數(shù) 即u u r r代表三個(gè)空間坐標(biāo) x y z u在場(chǎng)中的變化情況通常具有更重要的物理意義 故引入方向?qū)?shù)的概念 第一章數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 12 在場(chǎng)中取一點(diǎn) 由點(diǎn)引射線 其方向由方向余弦 確定 在l上取另一點(diǎn)M 記 定義u在點(diǎn)沿l的方向?qū)?shù)為方向?qū)?shù)描述u在點(diǎn)沿l方向的變化率 設(shè)函數(shù)u在點(diǎn)可微 方向?qū)?shù)在直角坐標(biāo)系下可表示為 1 2 3 式中為函數(shù)u在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù) 方向余弦 第一章數(shù)學(xué)基礎(chǔ) M 13 在標(biāo)量場(chǎng)u中定義一個(gè)矢量G 是沿直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸x y z方向的單位矢量 在場(chǎng)中任意點(diǎn) 矢量G是唯一的 記沿l方向的單位矢量為由 1 2 3 得意義 它在任意方向的投影就給出沿這個(gè)方向u的方向?qū)?shù) 矢量G的方向就是u變化率最大的方向 其模就是變化率的最大值 G稱為標(biāo)量場(chǎng)u的梯度 記做gradu G 第一章數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 14 引進(jìn)矢量微分算子 第一章數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 15 例1 1 已知標(biāo)量場(chǎng) 求空間一點(diǎn)P 1 1 1 的梯度和沿方向的方向?qū)?shù) 解 由根據(jù)梯度公式 得標(biāo)量場(chǎng)在P點(diǎn)的梯度為 第一章數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 16 l的單位矢量為由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知 沿方向的方向?qū)?shù)為 第一章數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 17 3 矢量場(chǎng)的通量和散度引進(jìn)矢量線來(lái)描述矢量場(chǎng) 矢量場(chǎng)分為兩種 縱場(chǎng) 矢量線從場(chǎng)中一點(diǎn)發(fā)出 終止在另外一點(diǎn)上或無(wú)窮遠(yuǎn)處 橫場(chǎng) 矢量場(chǎng)沒(méi)有起點(diǎn)及終點(diǎn) 是閉合回線 第一章數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 18 矢量場(chǎng)A沿場(chǎng)中任一有向曲面S的積分稱為矢量場(chǎng)A穿過(guò)面S的通量 當(dāng)式中S為一小閉合曲線時(shí) 取曲面正法向由內(nèi)向外 記S包圍的空間區(qū)域?yàn)?其體積為 在直角坐標(biāo)系中矢量A可表示為有向面元dS可表示為 故 第一章數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 19 根據(jù)高斯積分公式 上式可寫(xiě)為 利用積分中值定理 上式可寫(xiě)為式中 為閉合曲面S所圍區(qū)域中的一點(diǎn) 的體積為 第一章數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 20 在矢量場(chǎng)A中取一點(diǎn) 作一包圍點(diǎn)的閉合有向曲面S 設(shè)S包圍的空間區(qū)域?yàn)?體積為 以記為穿過(guò)S的通量 當(dāng)以任意方式縮向時(shí) 極限值稱為矢量場(chǎng)A在點(diǎn)的散度