高考數(shù)學難點、重點、易錯點突破精講精練專題10抽象函數(shù)問題（教案）(1).doc

金太陽新課標資源網(wǎng) 2011年高考數(shù)學難點、重點、易錯點突破精講精練專題10抽象函數(shù)問題【名師導航】抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題是函數(shù)內容的難點之一，其性質常常是隱而不漏，但一般情況下大多是以學過的常見函數(shù)為背景，對函數(shù)性質通過代數(shù)表述給出抽象函數(shù)的相關題目往往是在知識網(wǎng)絡的交匯處設計，高考對抽象函數(shù)的要求是考查函數(shù)的概念和知識的內涵及外延的掌握情況、邏輯推理能力、抽象思維能力和數(shù)學后繼學習的潛能抽象函數(shù)與函數(shù)的單調性、奇偶性等眾多性質聯(lián)系緊密，加上本身的抽象性、多變性，所以問題類型眾多，解題方法復雜多變.解決這類問題常涉及到函數(shù)的概念和函數(shù)的各種性質，因而它具有抽象性、綜合性和技巧性等特點。抽象函數(shù)問題既是教學中的難點，又是近幾年來高考的熱點?！究季V知識梳理】（1）幾類常見的抽象函數(shù)抽象函數(shù)滿足條件代表函數(shù)1（）2（）3（）45678或（2）抽象函數(shù)的對稱性 若函數(shù)定義域為，且滿足條件：，則函數(shù)的圖像關于直線對稱推論1 若函數(shù)定義域為，且滿足條件：，則函數(shù)的圖像關于直線對稱推論2 若函數(shù) 定義域為，且滿足條件：又若方程有個根，則此個根的和為 若函數(shù)定義域為，且滿足條件：（為常數(shù)），則函數(shù)的圖象關于點對稱推論1. 若函數(shù)定義域為，且滿足條件：（為常數(shù)），則函數(shù)的圖象關于點對稱 若函數(shù)定義域為，則函數(shù)與兩函數(shù)的圖像關于直線對稱 若函數(shù)定義域為，則函數(shù)與兩函數(shù)的圖像關于點對稱性質1 對函數(shù)，若成立，則的圖像關于點對稱性質2 函數(shù)與函數(shù)的圖像關于直線對稱性質3 函數(shù)與函數(shù)的圖像關于直線對稱性質4 函數(shù)與函數(shù)的圖像關于點對稱（3）抽象函數(shù)周期性 若函數(shù)定義域為，且滿足條件，則是以為周期的周期函數(shù)； 若函數(shù)定義域為，且滿足條件，則是以為周期的周期函數(shù)；數(shù)學試卷 第2頁共6頁若函數(shù)的圖像關于直線與對稱，則是以為周期的周期函數(shù)；若函數(shù)的圖像關于點與點對稱，則是以為周期的周期函數(shù)；若函數(shù)的圖像關于直線與點對稱，則是以為周期的周期函數(shù)；性質1 若函數(shù)滿足及，則函數(shù)有周期性質2 若函數(shù)滿足及，則函數(shù)有周期性質3 若函數(shù)滿足且是偶函數(shù)，則函數(shù)有周期性質4 若函數(shù)滿足及，則函數(shù)有周期性質5 若函數(shù)滿足且是奇函數(shù)，則函數(shù)有周期【熱點難點精析】由于函數(shù)概念比較抽象，學生對解有關函數(shù)記號的問題感到困難，學好這部分知識，能加深學生對函數(shù)概念的理解，更好地掌握函數(shù)的性質，培養(yǎng)靈活性；提高解題能力，優(yōu)化學生數(shù)學思維素質?，F(xiàn)將常見解法及意義總結如下：一、 函數(shù)的基本概念問題1抽象函數(shù)的定義域問題例1 已知函數(shù)的定義域是1，2，求的定義域解：由的定義域是1，2，是指1x2，所以1x4，即函數(shù)的定義域是1，4評析：一般地，已知函數(shù)的定義域是A，求的定義域問題，相當于已知中x的取值范圍為A，據(jù)此求的值域問題例2 已知函數(shù)的定義域是1，2，求函數(shù)的定義域解：由的定義域是1，2，意思是凡被作用的對象都在1，2中，由此易得 1log(3x)2 ()3x()1x函數(shù)的定義域是1，評析：這類問題的一般形式是：已知函數(shù)的定義域是A，求函數(shù)的定義域正確理解函數(shù)符號及其定義域的含義是求解此類問題的關鍵一般地，若函數(shù)的定義域是A，則x必須是A中的元素，而不能是A以外的元素，否則，無意義因此，如果有意義，則必有xA所以，這類問題實質上相當于已知的值域是A，據(jù)此求x的取值范圍，即由A建立不等式，解出x的范圍例2和例1形式上正相反2抽象函數(shù)的求值問題例3 已知定義域為R的函數(shù)，同時滿足下列條件：= 1，=；=，求、的值解：取x = 2，y = 3，得=，= 1，=，=又取x = y = 3，得=評析：通過觀察已知與未知的聯(lián)系，巧妙地取x = 2，y = 3，這樣便把已知條件= 1，=與欲求的溝通了起來這是解此類問題的常用技巧3抽象函數(shù)的值域問題例4 設函數(shù)(x) 定義于實數(shù)集上，對于任意實數(shù)x、y，(x + y) =(x)(y)總成立，且存在xx，使得(x)( x)，求函數(shù)(x)的值域解：令x = y = 0，得(0) =(0)，即有(0) = 0或(0) = 1若(0) = 0，則(x) =(x + 0) =(x)(0) = 0，對任意xR均成立，這與存在實數(shù)xx，使得(x)( x)成立矛盾故(0)0，即(0) = 1由于(x + y) =(x)(y) 對任意x、yR均成立，因此，對任意xR，有(x) =(+) =()() = ()0下面只需證明，對任意xR，(0)0即可設存在xR，使得( x) = 0，則(0) =( xx) =( x)(x) = 0，這與(0)0矛盾，因此，對任意xR，(x)0所以(x)0 評析：在處理抽象函數(shù)的問題時，往往需要對某些變量進行適當?shù)馁x值，這是一般向特殊轉化的必要手段4抽象函數(shù)的解析式問題例5 設對滿足 x0，x1的所有實數(shù) x ，函數(shù)(x) 滿足(x) +() = 1 + x，求(x) 的解析式解：在(x) +() = 1 + x ， (1) 中以代換其中 x，得：() +() = ， 再在(1)中以代換x，得 ：() +(x) =， (1)(2) + 化簡得：(x) =評析：如果把x和分別看作兩個變量，怎樣實現(xiàn)由兩個變量向一個變量的轉化是解題關鍵通常情況下，給某些變量適當賦值，使之在關系中“消失”，進而保留一個變量，是實現(xiàn)這種轉化的重要策略二、尋覓特殊函數(shù)模型問題1指數(shù)函數(shù)模型 例6 設 定義于實數(shù)集R上，當x0時，1 ，且對于任意實數(shù)x、y ，有(x + y) =，同時(1) = 2，解不等式(3xx)4聯(lián)想：因為a= aa(a0，a1)，因而猜測它的模型函數(shù)為= a(a0，a1)(由(1) = 2，還可以猜想= 2)思路分析：由= 4，需解不等式化為(3xx)這樣，證明函數(shù)的(由= 2，只證明單調遞增)成了解題的突破口解：由 (x + y) =(x) (y) 中取x = y = 0 ，得(0) =(0)，若(0) = 0，令x0 ，y = 0 ，則 (x) = 0，與(x)1 矛盾 (0) 0，即有(0) = 1 當x0 時 ，(x)10 ，當x0 時 ，x0，(x)10 ，而(x) (x) =(0) = 1， (x) =0 又當x = 0 時，(0) = 10 ，xR ，(x)0 設 xx+ ，則xx0 ，( xx)1 ( x) = x+ ( xx) =(x)( xx)( x) y =(x) 在R 上為增函數(shù)又(1) = 2，(3xx)(1) (1) =(1 + 1) =(2)，由(x)的單調遞增性質可得：3xx2，解得1x22對數(shù)函數(shù)模型例7 已知函數(shù)滿足：() = 1；函數(shù)的值域是1，1；在其定義域上單調遞減；=(xy) 對于任意正實數(shù)x、y 都成立解不等式聯(lián)想：因為log(xy) = logxlogy，而log= 1，y = logx在其定義域1，1內為減函數(shù)，所以猜測它的模型函數(shù)為= logx且的模型函數(shù)為= ()思路分析：由條件、知，的反函數(shù)存在且在定義域1，1上遞減，由知=剩下的只需由的模型函數(shù)性質和運算法則去證明=，問題就能解決了解：由已知條件、知，(x)的反函數(shù)存在，且(1) =，又在定義域1，1上單調遞減設y=(x)，y=(x)，則有x=(y)，x=( y) ，x+ x=(y) +( y) =(yy)，即有yy=(x+ x)=，于是，原不等式等價于： x = 0故原不等式的解集為0解這類問題可以通過化抽象為具體的方法，即通過聯(lián)想、分析，然后進行類比猜測，經(jīng)過帶有非邏輯思維成份的推理，即可尋覓出它的函數(shù)模型，由這些函數(shù)模型的性質、法則來探索此類問題的解題思路3冪函數(shù)模型例8 已知函數(shù)對任意實數(shù)x、y都有=，且=1，=9，當0x1時，01時判斷的奇偶性；判斷在0，上的單調性，并給出證明；若a0且，求a的取值范圍聯(lián)想：因為= (xy)，因而猜測它的模型函數(shù)為=(由=9，還可以猜想= x)思路分析：由題設可知是冪函數(shù)y = x的抽象函數(shù)，從而可猜想是偶函數(shù)，且在0，上是增函數(shù)解：令y =1，則=，=1，=，即為偶函數(shù)若x0，則=0設0xx，則01，=，當x0時0，且當0x1時，0101，故函數(shù)在0，上是增函數(shù)=9，又= ，9 = ，=，a0，(a1)，30，函數(shù)在0，上是增函數(shù) a13，即a2， 又a0，故0a2三、研究函數(shù)的性質問題1抽象函數(shù)的單調性問題例9 設(x) 定義于實數(shù)集上，當x0時，(x)1 ，且對于任意實數(shù)x、y，有(x + y) =(x) (y)，求證：(x) 在R 上為增函數(shù)證明：由 (x + y) =(x)(y) 中取x = y = 0，得(0) =，若(0) = 0，令x0，y = 0，則 (x) = 0，與(x)1 矛盾 (0)0，即有(0) = 1當x0時，(x)10，當x0時，x0，(x)10，而(x) (x) =(0) = 1， (x) =0 又當x = 0 時，(0) = 10 ，xR，(x)0設 xx+，則xx0，( xx)1 ( x) = x+ ( xx) =(x)( xx)( x) y =(x) 在R 上為增函數(shù)評析：一般地，抽象函數(shù)所滿足的關系式，應看作給定的運算法則，而變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應盡量與已知式或所給關系式及所求的結果相關聯(lián)2抽象函數(shù)的奇偶性問題例10 已知函數(shù)(x) (xR，x0）對任意不等于零實數(shù)x、x 都有(xx) =(x) +(x)，試判斷函數(shù)(x) 的奇偶性解：取x=1，x= 1得：(1) =(1) +(1)，(1) = 0又取x= x=1得：(1) =(1) +(1)，(1) = 0再取x= x，x=1則有(x) =(1) +(x)，即(x) =(x)，(x)為非零函數(shù)，(x)為偶函數(shù)3抽象函數(shù)的周期性問題例11 函數(shù)定義域為全體實數(shù)，對任意實數(shù) a、b，有(ab)(ab) =2(a) (b)，且存在C0 ，使得= 0 ，求證(x) 是周期函數(shù)聯(lián)想：因為cos(ab)cos(ab) = 2cosacosb，且cos= 0，因而得出它的模型函數(shù)為y = cosx，由y = cosx的周期為，可猜想2C為的一個周期 思路分析：要在證明2C為的一個周期，則只需證=，而由已知條件= 0和(ab)(ab) =2(a) (b)知，必須選擇好a、b的值，是得條件等式出現(xiàn)和證明：令a = x，b =，代入(ab)(ab) = 2(a) (b) 可得 (xC ) =(x)(x2C ) =(xC)C =(xC ) =(x) ，即是以 2C 為周期的函數(shù)評析：如果沒有余弦函數(shù)作為模型，就很難想到2C 就是所求函數(shù)的周期，解題思路是難找的由此可見，尋求或構造恰當?shù)哪Ｐ秃瘮?shù)，可以為思考與解題定向，是處理開放型問題的一種重要策略4抽象函數(shù)的對稱性問題例12 已知函數(shù)y =滿足+= 2002，求+的值解：由已知，在等式+= 2b中a = 0，b = 2002，所以，函數(shù)y =關于點(0，2002)對稱，根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關系，知函數(shù)y =關于點(2002，0)對稱+= 0，將上式中的x用x1001換，得+= 0評析：這是同一個函數(shù)圖象關于點成中心對稱問題，在解題中使用了下述命題：即：設a、b均為常數(shù)，函數(shù)y =對一切實數(shù)x都滿足+= 2b，則函數(shù)y =的圖象關于點(a，b) 成中心對稱圖形四、抽象函數(shù)中的網(wǎng)絡綜合問題例13 定義在R上的函數(shù)滿足：對任意實數(shù)m，n，總有=，且當x0時，01判斷的單調性；設A = (x，y)|，B = (x，y)|= 1，aR，若AB =，試確定a 的取值范圍解：在=中，令m = 1，n = 0，得=，因為0，所以= 1在=中，令m = x，n =x，當x0時，01，當x0時，x0，01，而(x) (x) = 1， (x) =10 又當x = 0 時，(0) = 10，所以，綜上可知，對于任意xR，均有(x)0設 xx+ ，則xx0，0( xx)