專題五 高考解析幾何命題動向.doc

專題五高考解析幾何命題動向高考命題分析解析幾何是高中數(shù)學(xué)的又一重要內(nèi)容，其核心內(nèi)容是直線和圓以及圓錐曲線由于平面向量可以用坐標(biāo)表示，因此可以以坐標(biāo)為橋梁，使向量的有關(guān)運算與解析幾何中的坐標(biāo)運算產(chǎn)生聯(lián)系用向量方法研究解析幾何問題，主要是利用向量的平行(共線)、垂直關(guān)系及所成角研究解析幾何中直線的平行、垂直關(guān)系及所成角平面向量的引入為高考中解析幾何試題的命制開拓了新的思路，為實現(xiàn)在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計試題提供了良好的素材，這類問題涉及面廣、綜合性強(qiáng)、背景新穎、靈活多樣，求解此類問題對能力要求較高在考基礎(chǔ)、考能力、考素質(zhì)、考潛能的考試目標(biāo)指導(dǎo)下，每年的高考對解析幾何的考查都占有較大的比例，且常考常新高考命題特點(1)直線與圓的方程，圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等是支撐解析幾何的基石，也是高考命題的基本元素高考十分注重對這些基礎(chǔ)知識的考查，有的是求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；有的是直接考查圓錐曲線的離心率，有的是對直線與圓錐曲線的位置關(guān)系進(jìn)行考查等(2)試題在考查相應(yīng)基礎(chǔ)知識的同時，著重考查基本數(shù)學(xué)思想和方法，如分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想除此之外，許多試卷都非常重視對考生思維能力和思維品質(zhì)的考查(3)解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容，它的特點是用代數(shù)的方法研究解決幾何問題，重點是用“數(shù)形結(jié)合”的思想把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，這類試題涉及面廣、綜合性強(qiáng)、題目新穎、靈活多樣，解題對能力要求較高高考動向透視直線與圓的方程對于直線方程，要理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握點到直線的距離公式等，特別是求直線方程的三種形式而對于圓的方程，要熟練運用與圓相關(guān)的基本問題的求解方法如求解圓的方程的待定系數(shù)法、求圓的圓心與半徑的配方法、求圓的弦心距的構(gòu)造直角三角形法、判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的代數(shù)法與幾何法、求圓的切線的基本方法等這些方法是解決與圓有關(guān)問題的常用方法，必須認(rèn)真領(lǐng)會，熟練運用【示例1】(2011杭州模擬)設(shè)O為坐標(biāo)原點，曲線x2y22x6y10上有兩點P，Q滿足關(guān)于直線xmy40對稱，又滿足0.(1)求m的值；(2)求直線PQ的方程解(1)曲線方程為(x1)2(y3)29，表示圓心為(1,3)，半徑為3的圓點P，Q在圓上且關(guān)于直線xmy40對稱，圓心(1,3)在直線xmy40上，代入得m1.(2)直線PQ與直線yx4垂直可設(shè)直線PQ的方程為yxb.將直線yxb代入圓的方程，得2x22(4b)xb26b10.由4(4b)242(b26b1)0，得23b23.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2(4b)，x1x2.y1y2b2b(x1x2)x1x24b.0，x1x2y1y20，即b22b10，解得b1(23，23)所求的直線方程為xy10. 本題考查了圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系，對于直線與圓的位置關(guān)系，可聯(lián)立方程，轉(zhuǎn)化為交點坐標(biāo)，結(jié)合條件，求出參數(shù)值【訓(xùn)練】 (2011福建)如圖，直線l：yxb與拋物線C：x24y相切于點A.(1)求實數(shù)b的值；(2)求以點A為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程解(1)由得x24x4b0，(*)因為直線l與拋物線C相切，所以(4)24(4b)0，解得b1.(2)由(1)可知b1，故方程(*)為x24x40.解得x2，代入x24y，得y1，故點A(2,1)因為圓A與拋物線C的準(zhǔn)線相切，所以圓A的半徑r就等于圓心A到拋物線的準(zhǔn)線y1的距離，即r|1(1)|2，所以圓A的方程為(x2)2(y1)24.圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓錐曲線的定義是高考考查的重點之一對于圓錐曲線定義的考查，一般涉及焦點、長軸、短軸、焦距之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)知識、基本運算的考查，解題時要注意恒等變形，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化與化歸(2)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程在新課標(biāo)高考中占有十分重要的地位一般地，求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是作為解答題中考查“直線與圓錐曲線”的第一小問的，這一問至關(guān)重要，因為只有求出了曲線方程，才能進(jìn)行下一步的運算求曲線方程的方法很多，其中“待定系數(shù)法”最為常見【示例2】(2011山東)已知雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線均和圓C：x2y26x50相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析圓心的坐標(biāo)是(3,0)，圓的半徑是2，雙曲線的漸近線方程是bxay0，根據(jù)已知得2，即2，解得b2，則a25，故所求的雙曲線方程是1，故選A.答案A 本小題考查雙曲線的幾何性質(zhì)(漸近線方程、焦點坐標(biāo))以及對直線與圓位置關(guān)系的理解與應(yīng)用，求解本題時應(yīng)注意將直線與圓相切轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于圓的半徑列式求解，本題難度適中圓錐曲線的離心率離心率是高考對圓錐曲線考查的又一個重點求離心率取值范圍問題是解析幾何中常見的問題，求解時，可根據(jù)題意列出關(guān)于a、b、c的相應(yīng)等式，并把等式中的a、b、c轉(zhuǎn)化為只含有a、c的齊次式，再轉(zhuǎn)化為含e的等式，最后求出e.該類題型較為基礎(chǔ)、簡單，一般以填空題、選擇題或解答題的第一問的形式出現(xiàn)，是送分題，只要我們熟練掌握圓錐曲線的幾何性質(zhì)，就可以順利解題【示例3】(2011新課標(biāo)全國)設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點，且與雙曲線C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為()A. B. C2 D3解析設(shè)雙曲線C的方程為1(a0，b0)，焦點F(c,0)，將xc代入1可得y2，所以|AB|222a，b22a2，c2a2b23a2，e.答案B 本小題考查對雙曲線的幾何性質(zhì)的理解與應(yīng)用，考查運算求解能力及邏輯思維能力直線與圓錐曲線的位置關(guān)系此類試題一般為高考的壓軸題，主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系高考經(jīng)常設(shè)計探究是否存在的問題，也經(jīng)?？疾榕c平面向量知識的綜合運用處理此類問題，主要是在“算”上下工夫即利用向量坐標(biāo)關(guān)系及方程的思想，借助根與系數(shù)的關(guān)系解決問題解題時，也要特別注意特殊情況(如斜率不存在的情況)的處理【示例4】(2011湖南)已知平面內(nèi)一動點P到點F(1,0)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設(shè)l1與軌跡C相交于點A，B，l2與軌跡C相交于點D，E，求的最小值解(1)如圖，設(shè)動點P的坐標(biāo)為(x，y)，由題意有|x|1.化簡得y22x2|x|.當(dāng)x0時，y24x；當(dāng)x0時，y0.所以，動點P的軌跡C的方程為y24x(x0)和y0(x0)(2)由題意知，直線l1的斜率存在且不為0，設(shè)為k，則l1的方程為yk(x1)由得k2x2(2k24)xk20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩個實根，于是x1x22，x1x21.因為l1l2，所以l2的斜率為.設(shè)D(x3，y3)，E(x4，y4)，則同理可得x3x424k2，x3x41.故()()|(x11)(x21)(x31)(x41)x1x2(x1x2)1x3x4(x3x4)1111(24k2)184842 16.當(dāng)且僅當(dāng)k2，即k1時，取最小值16. 本題綜合考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系、雙曲線的離心率以及平面向量知識，考查了數(shù)形結(jié)合思想和化歸轉(zhuǎn)化思想其中直線與圓錐曲線的相交問題一般聯(lián)立方程，設(shè)而不求，并借助根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化考查圓錐曲線的綜合性問題高考對圓錐曲線的考查是綜合性的，這種綜合性體現(xiàn)在圓錐曲線、直線、圓、平面向量、不等式等知識的相互交匯，高考對圓錐曲線的綜合考查主要是在解答題中進(jìn)行，一般以橢圓或者拋物線為依托，全面考查圓錐曲線與方程的求法、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查函數(shù)、方程、不等式、平面向量等在解決問題中的綜合應(yīng)用【示例5】(2011北京)已知橢圓G：y21.過點(m,0)作圓x2y21的切線l交橢圓G于A，B兩點(1)求橢圓G的焦點坐標(biāo)和離心率；(2)將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值解(1)由已知得a2，b1，所以c.所以橢圓G的焦點坐標(biāo)為(，0)，(，0)，離心率為e.(2)由題意知，|m|1.當(dāng)m1時，切線l的方程為x1，點A，B的坐標(biāo)分別為，此時|AB|.當(dāng)m1時，同理可得|AB|.當(dāng)|m|1時，設(shè)切線l的方程為yk(xm)由得(14k2)x28k2mx4k2m240.設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1x2，x1x2.又由l與圓x2y21相