2009年全國高考文科數(shù)學試題及答案-遼寧卷.pdf

2009 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 重慶卷 數(shù)學試題卷 文史類 2009 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 重慶卷 數(shù)學試題卷 文史類 本試卷滿分 150 分 考試時間 120 分鐘 本試卷滿分 150 分 考試時間 120 分鐘 第 卷 第 卷 考生注意 考生注意 1 答題前 務必將自己的姓名 準考證號 填寫清楚 并貼好條形碼 請認真核準條 形碼上的準考證號 姓名和科目 2 每小題選出答案后 用 2 鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑 如需改動 用橡皮擦干凈后 再選涂其他答案標號 在試題卷上作答無效 3 本卷共 12 小題 每小題 5 分 共 60 分 在每小題給出的四個選項中 只有一項是 符合題目要求的 4 所有題目必須在答題卡上作答 在試題卷上答題無效 5 考試結束后 將試題卷和答題卡一并交回 參考公式 參考公式 如果事件AB 互斥 那么 P ABP AP B 如果事件AB 相互獨立 那么 P A BP A P B 如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P 那么n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的 概率 1 01 2 kkn k nn P kC PPkn 以R為半徑的球體積 3 4 3 VR 一 選擇題 本大題共 10 小題 每小題 5 分 共 50 分 在每小題給出的四個備選項中 只有一項是符合題目要求的 一 選擇題 本大題共 10 小題 每小題 5 分 共 50 分 在每小題給出的四個備選項中 只有一項是符合題目要求的 1 圓心在y軸上 半徑為 1 且過點 1 2 的圓的方程為 A 22 2 1xy B 22 2 1xy C 22 1 3 1xy D 22 3 1xy 答案 A 解法 1解法 1 直接法 設圓心坐標為 0 b 則由題意知 2 1 2 1ob 解得2b 故圓的方程為 22 2 1xy 解法 2解法 2 數(shù)形結合法 由作圖根據(jù)點 1 2 到圓心的距離為 1 易知圓心為 0 2 故 圓的方程為 22 2 1xy 解法 3解法 3 驗證法 將點 1 2 代入四個選擇支 排除 B D 又由于圓心在y軸上 排除 C 2 命題 若一個數(shù)是負數(shù) 則它的平方是正數(shù) 的逆命題是 A 若一個數(shù)是負數(shù) 則它的平方不是正數(shù) B 若一個數(shù)的平方是正數(shù) 則它是負數(shù) C 若一個數(shù)不是負數(shù) 則它的平方不是正數(shù) D 若一個數(shù)的平方不是正數(shù) 則它不是負數(shù) 答案 B 解析 因為一個命題的逆命題是將原命題的條件與結論進行交換 因此逆命題為 若 一個數(shù)的平方是正數(shù) 則它是負數(shù) 3 6 2 x 的展開式中 3 x的系數(shù)是 A 20 B 40 C 80 D 160 答案 D 解法 1 設含 3 x的為第1r 則1Tr 6 2 rrr n C x 令63r 得3r 故展開 式中 3 x的系數(shù)為 33 6 2160C 解法 2 根據(jù)二項展開式的通過公式的特點 二項展開式每一項中所含的x與 2 分得 的次數(shù)和為 6 則根據(jù)條件滿足條件 3 x的項按 3 與 3 分配即可 則展開式中 3 x的系數(shù) 為 33 6 2160C 4 已知向量 1 1 2 x ab若a b與 4b2a平行 則實數(shù)x的值是 A 2 B 0 C 1 D 2 答案 D 解法 1 因為 1 1 2 abx 所以 3 1 42 6 42 abxbax 由于 ab 與42ba 平行 得6 1 3 42 0 xx 解得2x 解法 2 因為ab 與42ba 平行 則存在常數(shù) 使 42 abba 即 21 41 ab 根據(jù)向量共線的條件知 向量a與b共線 故2x 5 設 n a是公差不為 0 的等差數(shù)列 1 2a 且 136 a a a成等比數(shù)列 則 n a的前n項和 n S A 2 7 44 nn B 2 5 33 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 答案 A 解析 設數(shù)列 n a的公差為d 則根據(jù)題意得 22 22 25 dd 解得 1 2 d 或 0d 舍去 所以數(shù)列 n a的前n項和 2 1 17 2 2244 n n nnn Sn 6 下列關系式中正確的是 A 000 sin11cos10sin168 B 000 sin168sin11cos10 C 000 sin11sin168cos10 D 000 sin168cos10sin11 答案 C 解析因為sin160sin 18012 sin12 cos10cos 9080 sin80 由于 正弦函數(shù)sinyx 在區(qū)間 0 90 上為遞增函數(shù) 因此sin11sin12sin80 即 sin11sin160cos10 7 已知0 0ab 則 11 2ab ab 的最小值是 A 2 B 2 2 C 4 D 5 答案 C 解析因為 1111 2222 4ababab ababab 當且僅當 11 ab 且 1 ab ab 即ab 時 取 號 8 12 個籃球隊中有 3 個強隊 將這 12 個隊任意分成 3 個組 每組 4 個隊 則 3 個強隊恰 好被分在同一組的概率為 A 1 55 B 3 55 C 1 4 D 1 3 答案 B 解析 因為將 12 個組分成 4 個組的分法有 444 1284 3 3 C C C A 種 而 3 個強隊恰好被分在同一組 分 法 有 3144 3984 2 2 C C C C A 故 各 強 隊 恰 好 被 分 在 同 一 組 的 概 率 為 314424443 9984212843 3 C C C C A C C C A 55 9 在正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 頂點 1 B到對角線 1 BD和到平面 11 ABCD的距離分別 為h和d 則下列命題中正確的是 A 若側棱的長小于底面的變長 則 h d 的取值范圍為 0 1 B 若側棱的長小于底面的變長 則 h d 的取值范圍為 2 2 3 23 C 若側棱的長大于底面的變長 則 h d 的取值范圍為 2 3 2 3 D 若側棱的長大于底面的變長 則 h d 的取值范圍為 2 3 3 答案 C 解析 設底面邊長為 1 側棱長為 0 過 1 B作 1111 B HBD BGAB 在 11 Rt BB D 中 2 111 2 2B DB D 由 三 角 形 面 積 關 系 得 111 1 2 1 2 2 B D BB hB H B D 設在正四棱柱中 由于 1 BCAB BCBB 所以BC 平面 11 AAB B 于是 1 BCBG 所以 1 BG 平面 11 ABCD 故 1 BG 為點到平面 11 ABCD 的距離 在 11 Rt AB B 中 又由三角形面積關系得 111 1 2 11 AB BB dBG AB 于是 2 2 2 211 21 2 2 h d 于 是當1 所以 2 2 21 23 11 32 所以 2 3 1 3 h d 10 把函數(shù) 3 3f xxx 的圖像 1 C向右平移u個單位長度 再向下平移v個單位長度后得 到圖像 2 C 若對任意的0u 曲線 1 C與 2 C至多只有一個交點 則v的最小值為 A 2 B 4 C 6 D 8 答案 B 解 析 根 據(jù) 題 意 曲 線C的 解 析 式 為 3 3 yxuxuv 則 方 程 33 3 3xuxuvxx 即 23 3 3 0ux uuv 即 3 1 3 4 vuu 對任意0u 恒成立 于是 3 1 3 4 vuu 的最大值 令 3 1 3 0 4 g uuu u 則 2 33 3 2 2 44 g uuuu 由此知 函數(shù) g u在 0 2 上為增函數(shù) 在 2 上為減函數(shù) 所以當2u 時 函數(shù) g u取最大值 即為 4 于是4v 二 填空題 本大題共 5 小題 每小題 5 分 共 25 分 把答案寫在答題卡相應位置上 二 填空題 本大題共 5 小題 每小題 5 分 共 25 分 把答案寫在答題卡相應位置上 11 若 Un n 是小于 9 的正整數(shù) AnU n 是奇數(shù) BnU n 是 3 的倍數(shù) 則 U AB 答案 2 4 8 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 U 則 1 3 5 7 3 6 AB 所以 1 3 5 6 7 AB 所以 2 4 8 U AB 12 記 3 log 1 f xx 的 反 函 數(shù) 為 1 yfx 則 方 程 1 8fx 的 解 x 答案 2 解法 1 由 3 log 1 yf xx 得 1 3yx 即 1 31fxx 于是由318x 解得2x 解法 2 因為1 8fx 所以 3 8 log 8 1 2xf 13 5 個人站成一排 其中甲 乙兩人不相鄰的排法有 種 用數(shù)字作答 答案 72 解析 可分兩個步驟完成 第一步驟先排除甲乙外的其他三人 有 3 3 A種 第二步將甲 乙二人插入前人形成的四個空隙中 有 2 4 A種 則甲 乙兩不相鄰的排法有 32 34 A A72 種 14 從一堆蘋果中任取 5 只 稱得它們的質量如下 單位 克 125 124 121 123 127 則該樣本標準差s 克 用數(shù)字作答 答案 2 解析 因為 樣 本 平均 數(shù) 1 125 124 121 123 127 124 5 x 則 樣 本 方 差 222222 1 10313 4 5 s 所以2s 15 已知橢圓 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右焦點分別為 12 0 0 FcF c 若橢圓上存 在一點P使 1221 sinsin ac PFFPF F 則該橢圓的離心率的取值范圍為 答案 21 1 解法 1 因為在 12 PFF 中 由正弦定理得 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 則由已知 得 1211 ac PFPF 即 12 aPFcPF 設點 00 xy由焦點半徑公式 得 1020 PFaex PFaex 則 00 a aexc aex 記得 0 1 1 a caa e x e cae e 由橢圓的幾何性質知 0 1 1 a e xaa e e 則 整理得 2 210 ee 解得2121 0 1 eee 或 又 故橢圓的離心率 21 1 e 解法 2 由解析 1 知 12 c PFPF a 由橢圓的定義知 2 12222 2 22 ca PFPFaPFPFaPF aca 則即 由橢圓的幾何性質知 2 22 2 2 20 a PFacaccca ca 則既 所以 2 210 ee 以下同解析 1 三 解答題 本大題共 6 小題 共 75 分 解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟 三 解答題 本大題共 6 小題 共 75 分 解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟 16 本小題滿分 13 分 小問 7 分 小問 6 分 設函數(shù) 22 sincos 2cos 0 f xxxx 的最小正周期為 2 3 求 的最小正周期 若函數(shù) yg x 的圖像是由 yf x 的圖像向右平移 2 個單位長度得到 求 yg x 的單調增區(qū)間 解 22 sincos 2cosf xxxx 22 sincossin212cos2xxxx sin2cos222sin 2 2 4 xxx 依題意得 22 23 故 的最小正周期為 3 2 依題意得 5 2sin 3 22sin 3 2 244 g xxx 由 5 232 242 kxkkZ 解得 227 34312 kxkkZ 故 yg x 的單調增區(qū)間為 227 34 312 kkkZ 17 本小題滿分 13 分 問 7 分 問 6 分 某單位為綠化環(huán)境 移栽了甲 乙兩種大樹各 2 株 設甲 乙兩種大樹移栽的成活率分 別為 5 6 和 4 5 且各株大樹是否成活互不影響 求移栽的 4 株大樹中 至少有 1 株成活的概率 兩種大樹各成活 1 株的概率 解 設 k A表示第k株甲種大樹成活 1 2k 設 l B表示第l株乙種大樹成活 1 2l 則 1212 A A B B獨立 且 1212 54 65 P AP AP BP B 至少有 1 株成活的概率為 22 12121212 11899 1 1 1 65900 P A AB BP AP AP BP B 由獨立重復試驗中事件發(fā)生的概率公式知 兩種大樹各成活 1 株的概率為 11 22 5 14 11084 6 65 5362545 PCC 18 本小題滿分 13 分 問 7 分 問 6 分 如題 18 圖 在五面體ABCDEF中 AB DC 2 BAD 2CDAD 四邊形ABFE為平行四邊形 FA 平面ABCD 3 7FCED 求 直線AB到平面EFCD的距離 二面角FADE 的平面角的正切值 解法一 ABDC DC 平面EFCD AB 到面EFCD的距離 等于點 A 到面EFCD的距離 過點 A 作AGFD 于 G 因 2 BAD AB DC 故 CDAD 又 FA 平面ABCD 由三垂線定理可知 CDFD 故CDFAD 面 知CDAG 所以 AG 為所求直線 AB 到面EFCD的距離 在RtABC 中 22 945FDFCCD 由FA 平面ABCD 得FA AD 從而在Rt FAD中 22 541FAFDAD 22 5 55 FA AD AG FD 即直線AB到平面EFCD的距離為 2 5 5 由己知 FA 平面ABCD 得FA AD 又由 2 BAD 知ADAB 故AD 平面 ABFE DAAE 所以 FAE 為二面角FADE 的平面角 記為 在RtAED 中 22 743AEEDAD 由ABCD 得 FEBA 從 而 2 AFE 在RtAEF 中 22 3 12FEAEAF 故tan2 FE FA 所以二面角FADE 的平面角的正切值為2 解法二 如圖以 A 點為坐標原點 AB AD AF 的 方向為 x y z的正方向建立空間直角坐標系數(shù) 則 A 0 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 設 00 0 0 0 Fzz 可得 0 2 2 FCz 由 3FC 即 222 0 223z 解得 0 0 1 F AB DC DC 面EFCD 所以直線 AB 到面EFCD的 距離等于點 A 到面EFCD的距離 設 A 點在平面EFCD上的射影點為 111 G xy z 則 111 AGxy z 因0AG DF 且0AG CD 而 0 2 1 DF 2 0 0 CD 此即 11 1 20 20 yz x 解得 1 0 x 知 G 點在yoz面上 故 G 點在 FD 上 GFDF 111 1 GFxyz 故有 1 1 1 2 y z 聯(lián)立 解得 2 4 0 5 5 G AG 為直線 AB 到面EFCD的距離 而 2 4 0 5 5 AG 所以 2 5 5 AG 因四邊形ABFE為平行四邊形 則可設 00 0 1 0 E xx 0 2 1 EDx A B C D E F x y z G 由 7ED 得 22 0 217x 解 得 0 2x 即 2 0 1 E 故 2 0 1 AE 由 0 2 0 AD 0 0 1 AF 因0AD AE 0AD AF 故FAE 為二面角 FADE 的 平 面 角 又 2 0 0 EF 2EF 1AF 所 以 tan2 EF FAE FA 19 本小題滿分 12 分 問 7 分 問 5 分 已知 2 f xxbxc 為偶函數(shù) 曲線 yf x 過點 2 5 g xxa f x 求曲線 yg x 有斜率為 0 的切線 求實數(shù)a的取值范圍 若當1x 時函數(shù) yg x 取得極值 確定 yg x 的單調區(qū)間 解 2 f xxbxc 為偶函數(shù) 故 fxf x 即有 22 xbxcxbxc 解得0b 又曲線 yf x 過點 2 5 得 2 25 c 有1c 32 g xxa f xxaxxa 從而 2 321g xxax 曲線 yg x 有斜率為 0 的切線 故有 0g x 有實數(shù)解 即 2 3210 xax 有實數(shù)解 此時有 2 4120a 解得 33 a 所以實數(shù)a的取值范圍 33 a 因1x 時函數(shù) yg x 取得極值 故有 1 0g 即3210a 解得 2a 又 2 341 31 1 g xxxxx 令 0g x 得 12 1 1 3 xx 當 1 x 時 0g x 故 g x在 1 上為增函數(shù) 當 1 1 3 x 時 0g x 故 g x在 1 1 3 上為減函數(shù) 當 1 3 x 時 0g x 故 g x在 1 3 上為增函數(shù) 20 本小題滿分 12 分 問 5 分 問 7 分 已知以原點O為中心的雙曲線的一條準線方程為 5 5 x 離心 率5e 求該雙曲線的方程 如題 20 圖 點A的坐標為 5 0 B是圓 22 5 1xy 上的點 點M在雙曲線右支上 求MAMB 的 最小值 并求此時M點的坐標 解 由題意 可 知 雙曲 線的焦 點 在x軸上 故可設 雙 曲線的 方 程為 22 22 1 0 0 xy ab ab 設 22 cab 由準線方程為 5 5 x 得 2 5 5 a c 由 5e 得5 c a 解得1 5ac 從而2b 該雙曲線的