蘇教版選修22 1.3.2 極大值與極小值(一) 課件（49張）.ppt

1 3 2極大值與極小值 一 第1章1 3導數在研究函數中的應用 學習目標1 了解函數極值的概念 會從幾何方面直觀理解函數的極值與導數的關系 并會靈活應用 2 掌握函數極值的判定及求法 3 掌握函數在某一點取得極值的條件 題型探究 問題導學 內容索引 當堂訓練 問題導學 思考1 知識點一函數的極值點和極值 觀察y f x 的圖象 指出其極大值點和極小值點及極值 答案 答案極大值點為e g i 極大值為f e f g f i 極小值點為d f h 極小值為f d f f f h 思考2 導數為0的點一定是極值點嗎 答案 答案不一定 如f x x3 盡管由f x 3x2 0 得出x 0 但f x 在r上是單調遞增的 不滿足在x 0的左 右兩側符號相反 故x 0不是f x x3的極值點 1 極小值點與極小值若函數y f x 在點x a的函數值f a 比它在點x a附近其他點的函數值都小 f a 而且在點x a附近的左側f x 0 就把點a叫做函數y f x 的極小值點 f a 叫做函數y f x 的極小值 2 極大值點與極大值若函數y f x 在點x b的函數值f b 比它在點x b附近其他點的函數值都大 f b 而且在點x b附近的左側f x 0 右側f x 0 就把點b叫做函數y f x 的極大值點 f b 叫做函數y f x 的極大值 3 極大值點 極小值點統(tǒng)稱為極值點 極大值 極小值統(tǒng)稱為 梳理 0 0 極值 知識點二函數極值的求法與步驟 1 求函數y f x 的極值的方法解方程f x 0 當f x0 0時 1 如果在x0附近的左側函數單調遞增 即f x 0 在x0的右側函數單調遞減 即f x 0 那么f x0 是 2 如果在x0附近的左側函數單調遞減 即f x 0 在x0的右側函數單調遞增 即f x 0 那么f x0 是 極大值 極小值 2 求可導函數f x 的極值的步驟 1 確定函數的定義域 求導數f x 2 求方程的根 3 列表 4 利用f x 與f x 隨x的變化情況表 根據極值點左右兩側單調性的變化情況求極值 f x 0 題型探究 命題角度1不含參數的函數求極值例1求下列函數的極值 并畫出函數的草圖 1 f x x2 1 3 1 解答 類型一求函數的極值點和極值 解f x 6x x2 1 2 6x x 1 2 x 1 2 令f x 0 解得x1 1 x2 0 x3 1 當x變化時 f x f x 的變化情況如下表 當x 0時 f x 有極小值0 函數的草圖如圖所示 解答 令f x 0 解得x e 當x變化時 f x 與f x 的變化情況如下表 函數的草圖如圖所示 1 討論函數的性質時 要樹立定義域優(yōu)先的原則 2 求可導函數f x 的極值的步驟 求導數f x 求方程f x 0的根 觀察f x 在方程根左右的值的符號 如果左正右負 那么f x 在這個方程根處取得極大值 如果左負右正 那么f x 在這個方程根處取得極小值 注意 f x 無意義的點也要討論 可先求出f x 0的根和f x 無意義的點 這些點都稱為可疑點 再用定義去判斷 反思與感悟 跟蹤訓練1求下列函數的極值 1 y 2x3 6x2 18x 3 解答 解函數的定義域為r y 6x2 12x 18 6 x 3 x 1 令y 0 得x 3或x 1 當x變化時 y y的變化情況如下表 從上表中可以看出 當x 3時 函數取得極大值 且y極大值 57 當x 1時 函數取得極小值 且y極小值 7 解函數的定義域為 0 0 令y 0 得x 2或x 2 當x 2時 y 0 當 2 x 0時 y 0 即x 2時 y取得極大值 且極大值為 8 當0 x 2時 y 0 當x 2時 y 0 即x 2時 y取得極小值 且極小值為8 解答 命題角度2含參數的函數求極值例2設函數f x 2x3 3 a 1 x2 1 其中a 1 1 求f x 的單調區(qū)間 解答 解由已知 得f x 6x x a 1 令f x 0 解得x1 0 x2 a 1 當a 1時 f x 6x2 f x 在 上單調遞增 當a 1時 f x 6x x a 1 列表如下 從上表可知 函數f x 在 0 上單調遞增 在 0 a 1 上單調遞減 在 a 1 上單調遞增 2 討論f x 的極值 解由 1 知 當a 1時 函數f x 沒有極值 當a 1時 函數在x 0處取得極大值1 在x a 1處取得極小值1 a 1 3 解答 含參數的函數求極值應從f x 0的兩根x1 x2相等與否入手進行 反思與感悟 跟蹤訓練2已知函數f x x alnx a r 1 當a 2時 求曲線y f x 在點a 1 f 1 處的切線方程 因而f 1 1 f 1 1 所以曲線y f x 在點a 1 f 1 處的切線方程為y 1 x 1 即x y 2 0 解答 2 求函數f x 的極值 當a 0時 f x 0 函數f x 為 0 上的增函數 函數f x 無極值 當a 0時 令f x 0 解得x a 又當x 0 a 時 f x 0 從而函數f x 在x a處取得極小值 且極小值為f a a alna 無極大值 綜上 當a 0時 函數f x 無極值 當a 0時 函數f x 在x a處取得極小值a alna 無極大值 解答 例3 1 已知函數f x x3 3ax2 bx a2在x 1處有極值0 求a b的值 類型二已知函數極值求參數 解答 解 f x 3x2 6ax b 且函數f x 在x 1處有極值0 當a 1 b 3時 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 此時函數f x 在r上為增函數 無極值 故舍去 當a 2 b 9時 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 當x 3 時 f x 0 此時f x 為增函數 當x 3 1 時 f x 0 此時f x 為增函數 故f x 在x 1時取得極小值 a 2 b 9 2 若函數f x x3 x2 ax 1有極值點 求a的取值范圍 解f x x2 2x a 由題意 方程x2 2x a 0有兩個不等的實數根 所以 4 4a 0 解得a 1 解答 引申探究1 若本例 2 中函數的極大值點是 1 求a的值 解f x x2 2x a 由題意得f 1 1 2 a 0 解得a 3 則f x x2 2x 3 經驗證可知 f x 在x 1處取得極大值 解答 2 若本例 2 中函數f x 有兩個極值點 均為正值 求a的取值范圍 解由題意 方程x2 2x a 0有兩個不等正根 解答 解得0 a 1 故a的取值范圍是 0 1 已知函數極值的情況 逆向應用 確定函數的解析式時 應注意兩點 1 根據極值點處導數為0和極值兩個條件列方程組 利用待定系數法求解 2 因為導數值等于零不是此點為極值點的充要條件 所以利用待定系數法求解后 必須驗證根的合理性 反思與感悟 跟蹤訓練3 1 函數f x x3 ax2 bx c的圖象如圖所示 且與直線y 0在原點處相切 函數的極小值為 4 求a b c的值 解答 解 函數圖象過原點 c 0 即f x x3 ax2 bx f x 3x2 2ax b 又函數f x 的圖象與直線y 0在原點處相切 f 0 0 解得b 0 f x 3x2 2ax x 3x 2a a 3 b c 0 求函數的遞減區(qū)間 解答 解由 知 f x x3 3x2 且f x 3x x 2 由f x 0 得3x x 2 0 0 x 2 函數f x 的遞減區(qū)間是 0 2 解答 當00 當x 1時 f x 0 f x 在 0 1 上單調遞增 在 1 上單調遞減 函數f x 在x 1處取得極大值 當堂訓練 1 函數f x x3 15x2 33x 6的單調減區(qū)間為 答案 2 3 4 5 1 1 11 2 函數f x 的定義域為r 導函數f x 的圖象如圖所示 則關于函數f x 的極值點的說法中 正確的為 填序號 無極大值點 有四個極小值點 有三個極大值點 兩個極小值點 有兩個極大值點 兩個極小值點 有四個極大值點 無極小值點 答案 2 3 4 5 1 解析 解析在x x0的兩側 f x 的符號由正變負 則f x0 是極大值 f x 的符號由負變正 則f x0 是極小值 由圖象易知有兩個極大值點 兩個極小值點 3 已知函數f x x3 ax2 3x 9在x 3處取得極值 則a 2 3 4 5 1 答案 解析 5 解析由題意 得f 3 3 3 2 2a 3 3 0 所以a 5 4 已知曲線f x x3 ax2 bx 1在點 1 f 1 處的切線斜率為3 且x 是y f x 的極值點 則a b 2 3 4 5 1 答案 解析 2 解析f x 3x2 2ax b 5 已知函數f x ax2 blnx在x 1處有極值 1 求a b的值 2 3 4 5 1 解答 2 判斷f x 的單調區(qū)間 并求極值 2 3 4 5 1 解答 又f x 的定義域為 0 令f x 0 解得x 1 列表如下 2 3 4 5 1 f x 的單調減區(qū)間為 0 1 單調增區(qū)間為 1 規(guī)律與