2.2.2橢圓的幾何性質(zhì).doc

橢圓的幾何性質(zhì)一、選擇題1若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是()A. B.C.D.答案B解析本題考查了離心率的求法，這種題目主要是設(shè)法把條件轉(zhuǎn)化為含a，b，c的方程式，消去b得到關(guān)于e的方程，由題意得：4b2(ac)4b2(ac)23a22ac5c205e22e30(兩邊都除以a2)e或e1(舍)，故選B.2已知橢圓C：1與橢圓1有相同的離心率，則橢圓C的方程可能是()A.m2(m0) B.1C.1 D以上都不可能答案A解析橢圓1中，a28，b24，所以c2a2b24，即a2，c2，離心率e.容易求出B，C項(xiàng)中的離心率均不為此值，A項(xiàng)中，m0，所以m20，有1，所以a28m2，b24m2.所以a2|m|，c2|m|，即e.3將橢圓C12x2y24上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，而橫坐標(biāo)不變，得一新橢圓C2，則C2與C1有()A相等的短軸長(zhǎng) B相等的焦距C相等的離心率 D相同的長(zhǎng)軸長(zhǎng)答案C解析把C1的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即C1：1，從而得C2：y21.因此C1的長(zhǎng)軸在y軸上，C2的長(zhǎng)軸在x軸上e1，e2e1，故離心率相等，選C.4若橢圓的短軸為AB，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，則滿足ABF1為等邊三角形的橢圓的離心率是()A. B. C. D.答案D解析由ABF1為等邊三角形，2ba，c2a2b23b2，e.5我們把離心率等于黃金比的橢圓稱為“優(yōu)美橢圓”設(shè)1(ab0)是優(yōu)美橢圓，F(xiàn)、A分別是它的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，B是它的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，則ABF等于()A60 B75 C90 D120答案C解析cosABF0，ABF90，選C.6橢圓1(mn0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是()A(0，)，(0)B(，0)，(，0)C(0，)，(0，)D(，0)，(，0)答案B解析因?yàn)閙nm0，故焦點(diǎn)在x軸上，所以c，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)，故選B.7(2010福建文，11)若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為()A2 B3 C6 D8答案C解析本題主要考查橢圓和向量等知識(shí)由題易知F(1,0)，設(shè)P(x，y)，其2x2，則(x，y)(x1，y)x(x1)y2x2x3x2x2x3(x2)22當(dāng)x2時(shí)，()max6.8橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成等邊三角形，則它的離心率e為()A. B. C. D.答案A解析由題意知a2c，所以e.9設(shè)橢圓1(ab0)的離心率為e，右焦點(diǎn)為F(c,0)，方程ax2bxc0的兩個(gè)實(shí)根分別為x1和x2，則點(diǎn)P(x1，x2)的位置()A必在圓x2y22內(nèi) B必在圓x2y22上C必在圓x2y22外 D以上三種情形都有可能答案A解析由e知，a2c.由a2b2c2得bc，代入ax2bxc0，得2cx2cxc0，即2x2x10，則x1x2，x1x2，xx(x1x2)22x1x2b0)的焦距為2c，以點(diǎn)O為圓心，a為半徑的圓過點(diǎn)P過P作圓的兩切線又互相垂直，則離心率e_.答案解析如圖，切線PA、PB互相垂直，又半徑OA垂直于PA，所以O(shè)AP是等腰直角三角形，故a，解得e.12過橢圓1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為_答案解析易知直線AB的方程為y2(x1)，與橢圓方程聯(lián)立解得A(0，2)，B，故SABCSAOFSBOF121.13已知F1，F(xiàn)2為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若|F2A|F2B|12，則|AB|_.答案8解析由橢圓的第一定義得|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，兩式相加，得|AB|BF2|AF2|4a20|AB|20128.14在ABC中，A90，tanB.若以A、B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C，則該橢圓的離心率e_.答案解析設(shè)|AC|3x，|AB|4x，又A90，|BC|5x，由橢圓定義：|AC|BC|2a8x，那么2c|AB|4x，e.三、解答題15已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，長(zhǎng)軸在x軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為4和2，且點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)連線所張角的平分線交x軸于點(diǎn)Q(1,0)，求橢圓的方程解析根據(jù)題意，設(shè)所求橢圓方程為1(ab0)，|PF1|4，|PF2|2，2a6，即a3，又根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，得|PF1|PF2|F1Q|QF2|21，即c12(c1)，c3，b2a2c218，故所求橢圓方程為1.16. 設(shè)P是橢圓1(ab0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點(diǎn)，且F1PF290，求證：橢圓的圓心率e.證明證法一：P是橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是焦點(diǎn)，由橢圓的定義，得|PF1|PF2|2a，在RtF1PF2中，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)24c2，由2，得|PF1|22|PF1|PF2|PF2|24a2，|PF1|PF2|2(a2c2)，由和，知|PF1|，|PF2|是方程z22az2(a2c2)0的兩根，且兩根均在(ac，ac)之間令f(z)z22az2(a2c2)則可得()2，即e.證法二：由題意知cb，c2b2a2c2，故e.17橢圓1(ab0)的離心率為，橢圓與直線x2y80相交于P、Q，且|PQ|，求橢圓方程解析e，b2a2.橢圓方程為x24y2a2.與x2y80聯(lián)立消去y得2x216x64a20，由0得a232，由弦長(zhǎng)公式得10642(64a2)a236，b29.橢圓方程為1.18過橢圓1內(nèi)一點(diǎn)M(2,1)的一條直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，如果弦AB被M點(diǎn)平分，那么這樣的直線是否存在？若存在，求其方程；若不存在，說明理由解析設(shè)所求直線存在，方程y1k(x2)，代入橢圓方程并整理，得