數(shù)學(xué)北師大版八年級(jí)下冊(cè)認(rèn)識(shí)分式（1）.doc

第三章 分式單元導(dǎo)航3.1分式第一課時(shí) 分式的概念目標(biāo)導(dǎo)航-學(xué)有目標(biāo)，贏在起點(diǎn)1、了解分式產(chǎn)生的背景和分式的概念，了解分式與整式概念的區(qū)別與聯(lián)系.2、掌握分式有意義，無意義，值為零的條件.3、重難點(diǎn)：了解分式產(chǎn)生的背景和分式的概念，了解分式與整式概念的區(qū)別與聯(lián)系；掌握分式有意義，無意義，值為零的條件.教材詳解-名師點(diǎn)撥，精講精析知識(shí)導(dǎo)入觀察下列代數(shù)式：這些代數(shù)式，它們有什么共同特征？它們與整式有什么不同？知識(shí)講解 知識(shí)點(diǎn)一：分式有意義、無有意義的條件例1（1）當(dāng)a=1，2時(shí)，分別求分式的值 (2)當(dāng)a為何值時(shí)，分式有意義？ (3) 當(dāng)a為何值時(shí)，分式的值為零？ 分析 : 判斷分式有意義的條件與分母有關(guān)，當(dāng)分母為0時(shí)，分式無意義；反之，分式有意義.解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，=1;當(dāng)a=2時(shí)，=.（2）當(dāng)分母的值等于零時(shí)，分式?jīng)]有意義，除此以外，分式都有意義.由分母2a=0，得a=0.所以，當(dāng)a取零以外的任何實(shí)數(shù)時(shí)，分式有意義.（3）分式的值為零，包含兩層意思：首先分式有意義，其次，它的值為零.因此a的取值有兩個(gè)要求：所以，當(dāng)a=1時(shí)，分母不為零，分子為零，分式的值為零.點(diǎn)撥: 分式中的分母是含有字母的代數(shù)式，它的值是隨著式中的字母取值的不同而發(fā)生變化的，字母所取的值有可能使分母的值等于零，分母的值等于零時(shí)，分式就無意義了，分式要明確其是否有意義，就必須分析、討論分母中所含的字母不能取那些值，避免分母的值等于零.知識(shí)探究 1. 分式的概念分式的定義：整式A除以整式B,可以表示成的形式，如果初式B中含有字母，那么稱為分式。其中A稱為分式的分子，B稱為分式的分母.例2 在下列式子中,哪些是整式?哪些是分式? , , , , , , , :分析： 在判斷某式是否是分式時(shí)，關(guān)鍵是抓住分式的定義，特別是注意分式的特征-分母中含有字母；如果分母中不含有字母，就不是分式，是整式。分母不為0是分式的重要組成部分.解: , , , , , 等幾式中分母不含字母，所以是整式。, 分母中含有字母，所以是分式.點(diǎn)撥 : 要判斷一個(gè)有理式是整式還分式，關(guān)鍵是正確理解與區(qū)分整式和分式的概念。分母中含有字母則為分式，若無，則為整式。 特別值得注意的是；判斷是否是分式，只看形式，不能看化解后的結(jié)果. 2.分式有意義、無意義的條件分母為0, 分式無意義；分母不為0, 分式有意義 例3下列分式，對(duì)于任意的x值總有意義的是( )A.B.C.D.分析 :分式有意義無意義，只對(duì)分母而言，分母為0，分式無意義，分母不為0，分式有意義.解: A當(dāng)=1時(shí),分母為0, 分式無意義B.無論取何值，1，分式總有意義.C當(dāng)=0時(shí),分母為0, 分式無意義D當(dāng)=-時(shí),分母為0, 分式無意義.所以只有B正確.3分式值為0的條件分式值為0的含義是分子等于0并且分母不等于0例4已知分式，取什么值時(shí)，分式的值為零？分析 : 分式值為0的含義是分子等于0并且分母不等于0.解: 由題意得 即所以 當(dāng)=-2時(shí)，分式的值為0.點(diǎn)撥 : 分式值為零時(shí)，必須滿足兩個(gè)條件：分子為零，分母不為零，二者缺一不可.4. 分式的值為正（或負(fù)）數(shù)的條件分式的值為正數(shù)，分子、分母同號(hào)；分式的值為負(fù)數(shù)，分子、分母異號(hào).例5當(dāng)取何值時(shí)，分式的值為負(fù)數(shù)？分析：要使分式為負(fù)數(shù)，則分子、分母異號(hào).解：由題意，得（1）或（2）不等式組（1）無解.解不等式組（2）得.故當(dāng)時(shí)，分式的值為負(fù)數(shù).易錯(cuò)辨析例1下列代數(shù)式中，哪些是分式？哪些是整式？， ， ， ，。錯(cuò)解：整式有；分式有， ， ，。錯(cuò)因分析：中的是具體的數(shù)值而不是字母，所以是整式而不是分式.正確解：整式有，；分式有， ， ， 例2若分式的值為零，則x的取值為 .錯(cuò)解：x的取值為1錯(cuò)因分析：忽略了分母不能為零，當(dāng)x=1時(shí)，分式無意義.要使分式的值為零，根據(jù)題意，得 所以x=1正確解：x的取值為 1 .融會(huì)貫通課堂訓(xùn)練，輕松過關(guān)1.已知分式有意義，則x的取值為( )A.x1B.x3C.x1且x3D.x1或x32.若分式的值為零，則m取值為( )A.m=1B.m=1C.m=1D.m的值不存在3當(dāng)x=2時(shí)，下列分式中，值為零的是( )A.B.C.D.4下列各式：中，是分式的為_.5.當(dāng)x_時(shí)，分式有意義。6.當(dāng)x=_時(shí)，分式的值為1.7. 當(dāng)時(shí)，分式的值是.觸類旁通-知識(shí)巧用，思維拓展 例 若+=0，求代數(shù)式的值.分析：根據(jù)非負(fù)數(shù)和為0，可得，=0，再根據(jù)分式值為0的條件，可求出的值，然后代入求代數(shù)式的值.解：因?yàn)?=0，所以，=0.所以， 所以，而且當(dāng)時(shí)，所以=2點(diǎn)撥：若幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和為零，則這幾個(gè)數(shù)都為零.思維拓展練習(xí)1、已知，求分式的值.第二課時(shí) 分式的基本性質(zhì)目標(biāo)導(dǎo)航-學(xué)有目標(biāo)，贏在起點(diǎn)1、熟練掌握分式的基本性質(zhì).2、利用分式的基本性質(zhì)對(duì)分式進(jìn)行“等值”變形.3、了解分式約分的步驟和依據(jù)，掌握分式約分的方法.4、重難點(diǎn)：分式的基本性質(zhì)、利用分式的基本性質(zhì)約分.教材詳解-名師點(diǎn)撥，精講精析知識(shí)導(dǎo)入（1）=的依據(jù)是什么？（2）你認(rèn)為分式與相等嗎？與呢？與同伴交流.知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)一：分式的基本性質(zhì)例1 ：下列等式的右邊是怎樣從左邊得到的？（1）=（y0）； （2）=.分析 ： 在（1）中，觀察等號(hào)兩邊分子和分母之可以看出，右邊的分子和分母都比左邊的分子和分母多了字母“y”.解： 因?yàn)閥0，利用分式的基本性質(zhì)，在的分子、分母中同乘以y，即可得到右邊，即=；點(diǎn)撥 ： 題目告訴y0，因此我們可用分式的基本性質(zhì)直接求得。分析 : 在（2）中，右邊的分子和分母都比左邊的分子和分母多了字母“x”.解: 可以分子、分母同除以x得到，即 =；“x”如果等于“0”，就不行.點(diǎn)撥 : 在中，x不會(huì)為“0”，如果是“0”，中分母就為“0”，分式將無意義，所以，雖然沒有直接告訴我們x0，但要由得到，必須有意義，即bx0由此可得b0且x0.知識(shí)點(diǎn)二：分式的約分例2化簡下列各式（1）; （2）分析 : 在（1）中根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子、分母都除以ab，約去分子、分母中的公因式.解: a2bc可分解為ac（ab）、分母中也含有因式ab,因此利用分式的基本性質(zhì)：=ac.點(diǎn)撥 : 分式中的分子、分母都是單項(xiàng)式，把公有的因式分離出來，然后利用分式的基本性質(zhì)，把公因式約去即可。如果分子、分母是單項(xiàng)式，公因式應(yīng)取系數(shù)的最大公約數(shù)，相同的字母取它們中最低次冪.分析 : （2）分式中的，分子、分母都是多項(xiàng)式，又如何化簡？通過對(duì)分子、分母因式分解，找到它們的公因式.解: x21可分解為（x+1）（x-1），x22 x+1可分解為（x-1）（x-1）它們都含有（x-1）的項(xiàng).即=，即分子、分母同時(shí)約去了整式x1.把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去.點(diǎn)撥 : 找公因式的方法：當(dāng)分子、分母都是單項(xiàng)式時(shí)，先找出分子、分母的系數(shù)的最大公約數(shù)，再找相同字母的最低次冪，它們的積就是公因式；當(dāng)分子、分母都是多項(xiàng)式時(shí)，先把多項(xiàng)式分解因式，再找出分子、分母的公因式.知識(shí)探究 1最簡分式（1）定義：分式的分子、分母中不含有公因式的分式叫做最簡分式.（2）化簡分式的方法：把分子、分母是多項(xiàng)式的分式化成最簡分式，先分解因式，確定公因式，然后再約分.例3：寫出下列等式中的分子或分母(1)=，（2）=分析 : （1）先觀察等式左邊分式的分子為12，而等式右邊分式的分子為3，由于123=4m（n-m），顯然3是由124m（n-m）得到的，由分式的基本性質(zhì)，等式左邊的分母也要除以4m（n-m），左邊的分母是16mn（nm），所以右邊的分母為4m。（2）先觀察等式左邊分式的分母為9-m，而等式右邊分式的分母m+3顯然m+3是由（9-m）（）得到的，由分式的基本性質(zhì)，等式左邊的分子也要除以（），所以右邊的分子為2m.解：(1)=，（2）=例4 把下列各式化成最簡分式或整式（1） （2） （3） （4）分析 : （1）中， 1x2=（1）（1+），而x1=（1）解: =點(diǎn)撥：化簡分式時(shí)，先把分子、分母分解因式，提出公因式，把公因式約去.分析 : （2） 中，24 +4=（-2）2，而22 =（-2）解: = = 點(diǎn)撥: 約分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，約分時(shí)要先找出分子、分母的公因式.分析: （3）中根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子、分母都乘以12就可以把各項(xiàng)的系數(shù)化為整數(shù).解: =點(diǎn)撥：當(dāng)一個(gè)分式的分子、分母中含有分?jǐn)?shù)時(shí)，先把分式中的分子、分母化為整式，然后看有沒有公因式.分析 : （4）中分子、分母同乘以100或者同乘以20都可以.解 : =點(diǎn)撥：若分式的分子、分母中含有小數(shù)時(shí)，先同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)，把它們化為整數(shù)，再化簡.易錯(cuò)辨析：例1 ： 不改變分式的值，把分式的分子、分母中的各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)；錯(cuò)解：錯(cuò)解分析：錯(cuò)解的分子、分母所乘的不是同一個(gè)數(shù)，而是兩個(gè)不同的數(shù)，雖然把各項(xiàng)系數(shù)化成了整數(shù)，但分式的值改變了；正解：例2：約分錯(cuò)解：原式=錯(cuò)解分析：為約分須改變分子的因式，即，故分子變?yōu)椋e(cuò)解卻把因式的符號(hào)也給改變了，事實(shí)上，分式仍然為負(fù).正解：原式=融會(huì)貫通課堂訓(xùn)練，輕松過關(guān)1、利用方式的基本性質(zhì)填空（1） ； （2）；（3）； （4）2、若把中的a 和b都擴(kuò)大4倍，那么分式的值 （ ）（1）擴(kuò)大4倍 （2）不變 （3）縮小4倍 （4）擴(kuò)大16倍3、下列變形正確的是 （ ）（1） （2）（3） （4）4、當(dāng) 時(shí)，分式無意義.5、當(dāng) 時(shí)，分式有意義.觸類旁通-知識(shí)巧用，思維拓展1、 已知，求的值.分析：因?yàn)楦鶕?jù)分式的基本性質(zhì)可得，而可化為，而兩邊同時(shí)乘方可得.解法一：解： =解法二：解：=點(diǎn)撥：解此題的關(guān)鍵是根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把高次化為低次，然后利用配方的方法，找出它們的內(nèi)在聯(lián)系，再把值代入可得。思維拓展練習(xí)1.如果試求的值。2.若2+5+1=0, 試求的2+值。3.2 分式的乘除法目標(biāo)導(dǎo)航-學(xué)有目標(biāo)，贏在起點(diǎn)1、分式乘除法的運(yùn)算法則，會(huì)進(jìn)行分式的乘除法的運(yùn)算.2、在分式乘除法運(yùn)算過程中，體會(huì)因式分解在分式乘除法中的作用，發(fā)展有條理的思考和語言表達(dá)能力.3、用分式的乘除法解決生活中的實(shí)際問題，提高“用數(shù)學(xué)”的意識(shí),讓學(xué)生掌握分式乘除法的法則及其應(yīng)用.4、重難點(diǎn)：讓學(xué)生掌握分式乘除法的法則及其應(yīng)用.，分子、分母是多項(xiàng)式的分式的乘除法的運(yùn)算.教材詳解-名師點(diǎn)撥，精講精析知識(shí)導(dǎo)入觀察下列運(yùn)算：，猜一猜？ ？ 與同伴交流分?jǐn)?shù)的乘除法法則與分式的乘除法法則類似嗎？知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)一 分式的乘法法則例1 ：計(jì)算（1）； （2）分析：（1）中各因式的分子、分母都是單項(xiàng)式，根據(jù)分式的乘法法則直接進(jìn)行計(jì)算。（2）中的兩個(gè)分式相乘，分子與分母都是多項(xiàng)式的，觀察分式，第二個(gè)分式=然后按分式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，化簡為最簡分式解： （1） = =（2）=點(diǎn)撥：兩個(gè)分式相乘時(shí)，分子與分母都是單項(xiàng)式，可以按照分式的乘法法則計(jì)算。也可以先化簡，然后按分式的乘法法則去計(jì)算；分子與分母都是多項(xiàng)式時(shí)，可以先分解因式，然后約分，再按照分式的乘法法則去計(jì)算.知識(shí)點(diǎn)二 分式的除法法則例2 ：計(jì)算下列各式（1）； （2） 3xy2； （3）分析：第（1）題的兩個(gè)分式，它們的分子與分母都是單項(xiàng)式，除以一個(gè)分式等于乘以這個(gè)分式的倒數(shù)；（2）題被除式是整式，而除式是分式，將被除式當(dāng)作分母是1的分式來看待，然后按照分式的除法法則進(jìn)行計(jì)算；第（3）兩個(gè)分式的分子、分母都是多項(xiàng)式，看被除式，除式中的分子、分母能分解因式的先分解因式，再按分式除法飛計(jì)算法則計(jì)算.解： （1）=（2） 3xy2= （3）=點(diǎn)撥 分式乘分式，用分子相乘的積作為積的分子，用分母相乘的積作分母.如果得到的不是最簡分式，有關(guān)通過約分進(jìn)行化簡。分式除以分式，除式的分子，分母顛倒位置后與被除式相乘。分式的分子分母是多項(xiàng)式的要先分解因式，便于約分.知識(shí)的探究 1、分式的乘法法則兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母；由絕對(duì)值與算術(shù)平方根的非負(fù)性求出所含字母的值再代入化簡后的分式中進(jìn)行求值，是解這類問題的一般方法.用式子表示為 即=;例3：已知+=0 求的值分析：由 且+=0得2=0 9=0即可求出、，再約分化簡，最后求分式的值.解： =因?yàn)?+=0所以2=0 且9=0所以=2 、=9 所以原式=2.分式除法法則兩個(gè)分?jǐn)?shù)相除把除數(shù)的分子和分母顛倒位置后，再與被除數(shù)相乘，用式子表示為 =.例4：化簡求值.，其中分析：計(jì)算分式的除法時(shí)，要先把除法轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔?，除式的分子、分母要調(diào)換位子.把分式的分子、分母先分解因式，再約分化簡，最后求值.解：原式= = =當(dāng)時(shí)，原式=+1=3. 分式乘除混合運(yùn)算的應(yīng)用例:5：先將化簡再選取一個(gè)你認(rèn)為合適的的值代入求值.分析：根據(jù)分式的乘除法的法則化簡，注意所選取的的值應(yīng)使原式有意義，如的值不能取-1、1、0、-2. 解： =當(dāng)=6時(shí)，原式=4、分式運(yùn)算在生活中的實(shí)際運(yùn)用例6：東街文明村為了解決喝水問題，需要開拓一眼深井，這項(xiàng)工程由甲工程隊(duì)的 人完成，預(yù)計(jì)需 天，現(xiàn)又有工程隊(duì)乙加入，人數(shù)為甲工程隊(duì)的2倍。求預(yù)計(jì)多少天可以完成？分析： 設(shè)總工程為整體“1”則每天每人完成總工程的所乙隊(duì)加入后每天可完成解： 預(yù)計(jì)的天數(shù)為=（天）易錯(cuò)辨析1 、 計(jì)算錯(cuò)解 ： =辨析：分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，但結(jié)果卻忘了約分。正解 ： =2、 計(jì)算錯(cuò)解：原式=辨析 ： 運(yùn)算順序出現(xiàn)錯(cuò)誤，乘除法是同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按照從左往右的順序計(jì)算.正解 ： =融會(huì)貫通課堂訓(xùn)練，輕松過關(guān)1.下列等式正確的是( )A.(1)0=1B.(1)1=1 C.2x2=D.x2y2=2.下列變形錯(cuò)誤的是( )A.B.C.D.3.等于( )A. B. b2x C.D.4、= 5、= 觸類旁通-知識(shí)巧用，思維拓展例：若，求的值.分析：先把的關(guān)系找出來，然后代入中可求出值.解： 可設(shè)原式=24點(diǎn)撥：此類問題一般是根據(jù)已知條件將用一個(gè)輔助參數(shù)表示出來，然后代入求值，也可以由“”變形為“”代入求值.拓展練習(xí)1若=，則的值等于_2. 已知=2004, =2005, =2006,且abc=6021,求的值.3.3 分式的加減法第一課時(shí) 同分母分式加減法目標(biāo)導(dǎo)航-學(xué)有目標(biāo)，贏在起點(diǎn)1、能進(jìn)行同分母的分式的加減法的運(yùn)算法則及其應(yīng)用.2、經(jīng)歷用字母表示數(shù)量關(guān)系的過程，發(fā)展符號(hào)感.3、重難點(diǎn)：掌握同分母的分式加減法，簡單的異分母的分式加減法；當(dāng)分式的分子是多項(xiàng)式時(shí)的分式的減法.教材詳解-名師點(diǎn)撥，精講精析知識(shí)導(dǎo)入從甲地到乙地有兩條路，每條路都是3 km，其中第一條是平路，第二條有1 km的上坡路、2 km的下坡路.小麗在上坡路上的騎車速度為v km/h,在平路上的騎車速度為2 v km/h,在下坡路上的騎車速度為3v km/h,那么（1）當(dāng)走第二條路時(shí)，她從甲地到乙地需多長時(shí)間？（2）她走哪條路花費(fèi)的時(shí)間少？少用多長時(shí)間？想一想（1） 同分母的分?jǐn)?shù)如何加減？（2） 你認(rèn)為應(yīng)該等于什么？（3） 猜一猜，同分母的分式應(yīng)該如何加減？同分母分式加減法的法則與同分母分?jǐn)?shù)加減法的法則類似嗎？知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)一 ：同分母分式的加減法例1： 計(jì)算： （1）+ （2）+分析： （1）+中分母的最小公倍數(shù)為5a；（2）+中分母的最小公倍數(shù)為x1；解： （1）+ =+ = = （2）+=+=點(diǎn)撥 ： 分子相加時(shí)，要把每個(gè)分子看成一個(gè)整體而加上括號(hào)，把分子相加后，所得結(jié)果如果不是最簡分式，要約分.知識(shí)點(diǎn)二 ： 分式的通分例2 ： 通分，分析： 分母中各系數(shù)的絕對(duì)值分別為3,2,5它們的最小公倍數(shù)是30，各字母因式，的最高次冪分別是，故最簡公分母是30.解： =點(diǎn)撥 ： 通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的最簡公分母，通分是把分式的分子、分母都乘以同一個(gè)不等于零的整式，使分式的值不變.根據(jù)分式的基本性質(zhì)，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過程稱為分式的通分。但通分時(shí)為了簡便，也應(yīng)該像分?jǐn)?shù)的通分一樣，找各個(gè)分母的最小公倍數(shù)作為它們的共同分母.知識(shí)探究 1. 同分母分式的加減法法則：同分母分式相加減法，分母不變，只把分子相加減法（如），能約分的要化成最簡分式或整式.例3 ： 計(jì)算：（1）+ ； （2）+分析：（1）雖然分母的形式看起來不相同，但是利用乘法的交換律變形以后，這幾個(gè)分式的分母都是3；（2）分母與互為相反數(shù)，因此可以把化為變?yōu)橥帜阜质? 同分母分式相加減的法則與同分母分?jǐn)?shù)相加減的法則類似，注意分式相加減，其運(yùn)算結(jié)果要化為最簡.解：（1）+= =（2）+= = =1 2、分式的通分 化異分母分式為同分母分式的過程稱為分式的通分.通分的難點(diǎn)是尋找最簡公分母，確定最簡公分母的一般方法：（1） 把各分式分母系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的系數(shù)；（2） 把相同字母（或因式分解后得到的相同因式）的最高次冪作為最簡公分母的一個(gè)因式；（3） 把只在一個(gè)分式的分母中出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個(gè)因式.例4：通分：（1），；（2）， 分析：（1）的最簡公分母是；（2）先分解因式，再確定最簡公分母為.解：（1）最簡公分母是，=，=，= （2）最簡公分母是 = = =易錯(cuò)辨析： 例1： 先化簡代數(shù)式（+）然后選擇一個(gè)；你喜歡的數(shù)代入求值錯(cuò)解：原式= 當(dāng)=0時(shí)，原式=0辨析：本題屬于開放型題目，盡管的取值自己去選擇，但字母的取值應(yīng)遵循原則：使分式中各分母都不為零。所以和.正確解：原式= 當(dāng)=2時(shí)，原式=2 例2： 計(jì)算：（+）錯(cuò)解：原式=+ =+ =+ = =辨析：錯(cuò)誤的運(yùn)用是不存在除法分配律，導(dǎo)致錯(cuò)解.正確解：原式=() = =融會(huì)貫通課堂訓(xùn)練，輕松過關(guān)1.分式的最簡公分母是（ ）A.5abx B.15ab C.15abx D.15ab2.在分式；中分母相同的分式是（ ）A. B. C. D.3.下列算式中正確的是（ ）A.; B.; C.; D.4. ;5. ;觸類旁通-知識(shí)巧用，思維拓展例：化簡求值：，其中 分析：先把各分式化簡后，再把代入求值.解：= = = =把代入，原式=思維拓練習(xí)1先化簡，再求值：（）其中x=-2已知+（）2=0求（）（）的值 第二課時(shí) 異分母分式的加減法目標(biāo)導(dǎo)航-學(xué)有目標(biāo)，贏在起點(diǎn)1、掌握異分母的分式加減法的法則，能進(jìn)行分式的通分.2、重難點(diǎn)：（1）掌握異分母的分式加減運(yùn)算，理解通分的意義;（2）化異分母分式為同分母分式的過程，符號(hào)法則、去括號(hào)法則的應(yīng)用.教材詳解-名師點(diǎn)撥，精講精析知識(shí)導(dǎo)入1、嘗試完成下列各題（1）=_ （2）+=_（3）=_ （4）+=_知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)一：異分母分式的加減法例1： 計(jì)算（1） （2）（3）+ ； （4）分析： 異分母分式的加減法必須轉(zhuǎn)化為同母分式的加減法，然后按同母分式加減法的法則計(jì)算，轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是通分.分析：（1）題的最簡公分母是（2）題的最簡公分母是（3）題的最簡公分母是24；（4）題中+（），=（）（），因此最簡公分母是2（）（）.解： （1）=（2）=（3）原式=+=（4）原式= = = =點(diǎn)撥：異分母分式的加減法，一定要先通分，再加減。分母是多項(xiàng)式的異分母分式相加減，要先將分母分解因式，確定最簡公分母再通分.知識(shí)點(diǎn)二：分式的混合運(yùn)算例2：化簡分析：本題是分式的四則混合運(yùn)算的應(yīng)用，有括號(hào)時(shí)，要先算括號(hào)里的，再進(jìn)行除法運(yùn)算.解：=點(diǎn)撥：分式的混合運(yùn)算 ，要注意運(yùn)算順序，有括號(hào)時(shí)，要先算括號(hào)里的， 計(jì)算結(jié)果的分子或分母的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，要把 “ ”號(hào)提到分式分?jǐn)?shù)線的前面，且結(jié)果要化為最簡分式或整式.知識(shí)探究 1異分母分式加減的計(jì)算法則.計(jì)算法則：異分母分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算.用式子表示為：例3：計(jì)算（1） （2）分析：（1）中分式的最簡公分母為 （2）中先分解因式，可得最簡公分母為解：（1）原式=(2)原式=2.分式加減的實(shí)際應(yīng)用例4：從甲地到乙地有兩條路，每條路都是3 km，其中第一條是平路，第二條有1 km的上坡路、2 km的下坡路.小麗在上坡路上的騎車速度為v km/h,在平路上的騎車速度為2 v km/h,在下坡路上的騎車速度為3v km/h,那么（1）當(dāng)走第二條路時(shí)，她從甲地到乙地需多長時(shí)間？（2）她走哪條路花費(fèi)的時(shí)間少？少用多長時(shí)間？分析： 問題一：根據(jù)題意可得下列線段圖：（1）當(dāng)走第二條路時(shí)，她從甲地到乙地需要的時(shí)間為（+）h.（2）走第一條路，小麗從甲地到乙地需要的時(shí)間為h.但要求出小麗走哪條路花費(fèi)的時(shí)間少.就需要比較（+）與的大小，少用多少時(shí)間，就需要用它們中的較大者減去較小者，便可求出.解：（1）當(dāng)走第二條路時(shí)，她從甲地到乙地需要的時(shí)間為h.（2）走第一條路，小麗從甲地到乙地需要的時(shí)間為h， 當(dāng)走第二條路時(shí)，她從甲地到乙地需要的時(shí)間為h；所以走第一條路花費(fèi)的時(shí)間少，少用 h.例5：根據(jù)規(guī)劃設(shè)計(jì),某市工程隊(duì)準(zhǔn)備在開發(fā)區(qū)修建一條長1120m的盲道. 由于采用新的施工方式 , 實(shí)際每天修建盲道的長度比原計(jì)劃增加10m, 從而縮短了工期. 假設(shè)原計(jì)劃每天修建盲道 x m , 那么(1) 原計(jì)劃修建這條盲道需要多少天?(2) 實(shí)際修建這條盲道的工期比原計(jì)劃縮短了幾天?分析：(1) 原計(jì)劃修建這條盲道需要的時(shí)間=盲道的總長原計(jì)劃每天修建盲道的速度.(2) 實(shí)際每天修建盲道的長度為（）m.此題中的等量關(guān)系為：原計(jì)劃修建這條盲道所需的時(shí)間實(shí)際修建這條盲道所需的時(shí)間=縮短工期的時(shí)間（1）解：原計(jì)劃修建這條盲道需要 天; 實(shí)際每天修建盲道的長度 = （）m , 實(shí)際修建這條盲道用了天 .（2）因此 , 實(shí)際修建這條盲道的工期比原計(jì)劃縮短了=天3、求分式的值例6 ： 先化簡分式。然后再從1，2中選一個(gè)你認(rèn)為合適的值，代人求值.分析： 根據(jù)分式運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，代值時(shí)，代入的值要使原分式有意義.解析：原式= = =因?yàn)槿?，原分式均無意義，故取。代人得原式=點(diǎn)撥： 分式化簡時(shí)，若分子或分母是多項(xiàng)式的，則一般先將多項(xiàng)式分解因式;代入求值時(shí)，代入的值必須使原分式有意義.例7： 已知x=,求的值 解析: 由已知 x=，得2x=+1,2x1=.所以（2x1）2=5,x2x1=0即x2=x+1.我們利用x2=x+1可以使降次從而求出它的值.所以 =.易錯(cuò)辨析： 例1 ： 計(jì)算 錯(cuò)解：原式= = = =辨析：分式的加減法不能去掉分母，這與分?jǐn)?shù)的加減法類似。如錯(cuò)誤地將分母不變理解為去掉分母. 正確解： = = = = = =例2 ： 計(jì)算： 錯(cuò)解： 原式= = 辨析： 是錯(cuò)誤的運(yùn)算，應(yīng)添加括號(hào)，分子是多項(xiàng)式時(shí)要把它看成整體，添加括號(hào)，即. 正確解：原式= = = =融會(huì)貫通課堂訓(xùn)練，輕松過關(guān)1、下列各式計(jì)算正確的是( )A.B.C.D.2、化簡+1等于( )A. B. C. D.3、若ab=2ab，則的值為( )A. B. C.2 D.24、如果m+n=2，mn=4，那么的值為_.5、甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地到乙地按每小時(shí)v千米的速度行駛，可按時(shí)到達(dá)；若每小時(shí)多行駛a千米，則可提前_小時(shí)到達(dá)(保留最簡結(jié)果).觸類旁通-知識(shí)巧用，思維拓展例：已知=，求A、B的值分析： 因?yàn)檫@是一個(gè)等式，它們有必然的聯(lián)系，通過觀察得出，而=.解： 因?yàn)? = = 所以，所以 解得 點(diǎn)撥：解答此類問題，只需將右式與左式的多項(xiàng)式中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)加以比較，就可得到A，B的值。這里的A，B是有待于確定的系數(shù)，這種解決問題的方法就稱作待定系數(shù)法。待定系數(shù)法的特點(diǎn)是先根據(jù)數(shù)量之間的關(guān)系所具有的形式，假定一個(gè)含有待定系數(shù)的恒等式，然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)列出幾個(gè)方程，解這個(gè)方程組，求出各待定系數(shù)的值或從方程組中消去這些待定系數(shù)，找出原來那些已知系數(shù)之間的關(guān)系，從而使問題得到解決。思維拓展練習(xí)1已知兩個(gè)分式：A=，B=+，其中x2，下面有三個(gè)結(jié)論：A=B；AB=1；A+B=0請(qǐng)問哪個(gè)正確？為什么？3.4 分式方程第一課時(shí) 分式方程概念及其解法目標(biāo)導(dǎo)航-學(xué)有目標(biāo)，贏在起點(diǎn)1、了解分式方程的概念和，會(huì)解一元一次方程的分式方程.2、知道增根的意義，了解增根產(chǎn)生的原因.3、重難點(diǎn)：分式方程的概念、解法.教材詳解-名師點(diǎn)撥，精講精析知識(shí)導(dǎo)入有兩塊面積相同的小麥試驗(yàn)田，第一塊使用原品種，第二塊使用新品種，分別收獲小麥9000kg和15000kg。已知第一塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量比第二塊少3000kg，分別求出這兩塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量. 你能找出這一問題中的所有等量關(guān)系嗎？如果設(shè)第一塊實(shí)驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量為，那么第二塊實(shí)驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量是 kg. 根據(jù)題意，可得方程： .從甲地到乙地有兩條長路：一條是全長600的普通公路，另一條是全長480的高速公路。某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上快45，由高速公路從甲地到乙地所需的時(shí)間是由普通公路從甲地到乙地所需時(shí)間的一半，求該客車由高速公路從甲地到乙地所需的時(shí)間.這一問題中有哪些等量關(guān)系？ 如果設(shè)客車由高速公路從甲地到乙地所需的時(shí)間為 ，那么它由普通公路從甲地到乙地所需時(shí)間 .根據(jù)題意，可得方程：_.上面所得到的方程有什么共同特點(diǎn)？知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)一：分式方程的概念例1：在方程（1），（2），（3），（4），（5）中，分式方程有（ ）A 2個(gè) B 3個(gè) C 4個(gè) D5個(gè)分析：分式方程分母必須含未知數(shù)。（1），（5）兩式中分母都不含未知數(shù)，所以不是分式方程.（2），（3），（4）中分母都含未知數(shù)，所以是分式方程.解：B1分式方程的概念（1）定義：分母中含未知數(shù)的方程叫分式方程.（2）特征：A、是方程；B、含分式；C、分式的分母中含未知數(shù).同時(shí)滿足這三個(gè)條件的等式才是分式方程.例2：下列各式：，其中分式方程有 ；整式方程有 分析：分母中含未知數(shù)的方程叫分式方程，判斷一個(gè)方程是否是分式方程關(guān)鍵是看分母中是否含有未知數(shù)，若有，則是分式方程；若沒有，則是整式方程。所以正確答案為分式方程有、；整式方程有、2. 分式方程的解解法解分式方程的基本思想是轉(zhuǎn)化，即把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解。而轉(zhuǎn)化的一般方法是去分母.解分式方程的一般步驟：（1）去分母，將分式方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母，化分式方程為整式方程；（2）解整式方程；（3）驗(yàn)根，即把整式方程的根代入最簡公分母，使最簡公分母不等于零的根是原方程的根，使最簡公分母等于零的根不原方程的根，必須舍去.例3：解方程：=分析： 解分式方程的關(guān)鍵是去分母，因此首先要找出各分式的最簡公分母x（x2），將分式方程化為整式方程.解： 方程兩邊同乘以x（x2）,得x（x2）=x（x2）化簡，得x=3（x2） x=3需要檢驗(yàn)：把x=3代入方程的左邊=1，右邊=1，左邊=右邊，所以x=3是原方程的解.點(diǎn)撥：解分式方程分三大步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，化分式方程為整式方程；（2）解這個(gè)整式方程；（3）把整式方程的根代入最簡公分母，看結(jié)果是否為零，使最簡公分母為零的根是原方程的增根，應(yīng)舍去，使最簡公分母不為零的根才是原方程的根；所以解分式方程必須驗(yàn)根.知識(shí)探究知識(shí)點(diǎn)二：分式方程的解法例4： 解方程：=4分析： 解題的關(guān)鍵是去分母，將分式方程化為整式方程，首先要找出它們的最簡公分母2x，將方程兩邊同時(shí)乘以2x化為整式方程.解析：方程兩邊同乘以2x，得600480=8x解這個(gè)方程，得x=15檢驗(yàn)：將x=15代入原方程，得左邊=4，右邊=4，左邊=右邊,所以x=15是原方程的根.知識(shí)點(diǎn)三：分式方程的增根在將分式方程變形為整式方程時(shí)，方程兩邊同時(shí)乘以一個(gè)含有未知數(shù)的整式，并約去了分母，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原分式方程的解（或根），這種根通常稱為增根.例5：當(dāng)x為何值時(shí)，關(guān)于m的分式方程會(huì)產(chǎn)生增根？分析：根據(jù)增根能使最簡公分母為零，可以找出所有可能的增根，再利用增根滿足整式方程，例出關(guān)于x的分式方程，求出x的值即可.解：方程兩邊都乘以，得.由最簡公分母=0，得或，所以方程的增根可能是2或2.（1） 當(dāng)增根為2時(shí)，把代人整式方程，得2（2+2）+=30，解得.（2） 當(dāng)增根為2時(shí)，把代人整式方程，得20+=3(4)，解得.所以當(dāng)或時(shí)，原方程會(huì)產(chǎn)生增根。易錯(cuò)辨析： 例1： 解分式方程：=1錯(cuò)解：原方程可變?yōu)?1去分母，得 解得經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根。辨析：最簡公分母也應(yīng)與方程右邊的1相乘，漏乘造成了錯(cuò)誤.正確解：原方程可變?yōu)?1去分母，得 解得經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根.融會(huì)貫通課堂訓(xùn)練，輕松過關(guān)1.下列各式中，是分式的是A.B. x2C.D.2.當(dāng)a為任何實(shí)數(shù)時(shí)，下列分式中一定有意義的一個(gè)是A.B.C.D.3.計(jì)算：+，結(jié)果為A.1B.1C.2x+yD.x+y4.下列分式中，計(jì)算正確的是A.=B.C. =1D.5.若已知分式的值為0，則x2的值為A.或1B. 或1C.1D.16、某班組織學(xué)生參觀科技館，科技館為支持學(xué)校開展科普活動(dòng)，決定按最低標(biāo)準(zhǔn)對(duì)學(xué)生進(jìn)行一次性收費(fèi)，全班共計(jì)200元，開展活動(dòng)時(shí)有10名學(xué)生因病未能參加，結(jié)果平均每人比計(jì)劃多支出1元錢，問該班原計(jì)劃有多少名同學(xué)參加？觸類旁通-知識(shí)巧用，思維拓展例：如果關(guān)于x的方程1+=的解也是不等式組的一個(gè)解，求的取值范圍. 分析： 這是一道關(guān)于異分母分式的方程，先用含的代數(shù)式表示的值.解：解分式方程，得 且解不等式組，得 又 綜上可得點(diǎn)撥： 解分式方程 ，首先要注意分母不能為零，分母為零分式無意義，其次，解不等式組，要注意不等式組的解集，取其公共部分的解集.思維拓展練習(xí)1:設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，與的值相等？2.當(dāng)a為任何實(shí)數(shù)時(shí)，下列分式中一定有意義的一個(gè)是（ ）A.B.C.D.第二課時(shí) 分式方程的應(yīng)用目標(biāo)導(dǎo)航-學(xué)有目標(biāo)，贏在起點(diǎn)1、能將實(shí)際問題中的等量關(guān)系用分式方程表示，列出分式方程解決簡單的實(shí)際問題，并能根據(jù)實(shí)際問題的意義檢驗(yàn)所得的結(jié)果是否合理.2、發(fā)展學(xué)生分析問題、解決問題的能力，滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想人體，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí);如何結(jié)合實(shí)際分析問題，列出分式方程;分析過程，得到等量關(guān)系.3、重難點(diǎn)：如何結(jié)合實(shí)際分析問題，列出分式方程,分析過程，得到等量關(guān)系.教材詳解-名師點(diǎn)撥，精講精析知識(shí)導(dǎo)入某單位將沿街的一部分房屋出租.每間房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年為9.6萬元，第二年為10.2萬元.（1）你能找出這一情境的等量關(guān)系嗎？（2）根據(jù)這一情境，你能提出哪些問題？（3）你能利用方程求出這兩年每年房屋的租金各是多少嗎？知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)一：分式方程的應(yīng)用解分式方程應(yīng)用題的一般步驟：（1）審題（2）設(shè)未知數(shù)（3）根據(jù)題意列方程（4）解方程（5）檢驗(yàn)（6）寫答語例1.某市從今年1月1日起調(diào)整居民用水價(jià)格,每噸水費(fèi)上漲,小麗家去年12月的水費(fèi)是15元,今年7月的水費(fèi)是30元.已知今年7月的用水量比去年12月的用水量多,求該市今年居民用水的價(jià)格?分析：此題的主要等量關(guān)系是:小麗家今年7月份用水量-小麗家去年12月份用水量=水費(fèi)=用水量單價(jià)解:設(shè)該市去年用水的價(jià)格為元/.根據(jù)等量關(guān)系，得解這個(gè)方程，得x=1.5.經(jīng)檢驗(yàn)x=1.5.是所列方程的根.1.5（1+）=2(元/).所以，該市今年居民用水的價(jià)格為2元/.點(diǎn)撥：在解分式方程的應(yīng)用題時(shí)，不僅要檢驗(yàn)所求的解是否為方程的解，還要注意所求的解是否符合實(shí)際意義. 知識(shí)探究1.列分式方程解決應(yīng)用題的一般步驟：（1）根據(jù)題意設(shè)末知數(shù)；（2）分析題意，尋找等量關(guān)系，列方程；（3）解所列方程；（4）檢驗(yàn)所列方程的解是否符合題意；（5）寫出的答案和答語.例2：如圖，小剛家、李老師家、學(xué)校在同一條路上. 小剛家到李老師家路程為3 km，李老師家到學(xué)校的路程為0.5 km,由于小剛父母參加抗洪搶險(xiǎn)，“戰(zhàn)斗”在第一線，為了使他能按時(shí)到校，李老師每天騎自行車接小剛上學(xué).已知李老師騎自行車的速度是步行速度的3倍，每天比平時(shí)步行上班多用了20分鐘，問李老師的步行速度及騎自行車的速度各是多少？ 分析：找出題目中的等量關(guān)系：（1）李老師騎車速度=李老師步行速度3;（2）李老師從家出發(fā)騎車接小剛所用的時(shí)間=平時(shí)步行上學(xué)所用時(shí)間+20分鐘.解析：設(shè)李老師步行速度為x km/h，則騎自行車的速度為3x km/h.依題意，得=+解得x=5經(jīng)檢驗(yàn)x=5是原方程的根，這時(shí)3x=15答：李老師步行速度為5 km/h,騎自行車的速度為15 km/ h.易錯(cuò)辨析：例：某鄉(xiāng)村相距90千米，甲騎自行車從村子出發(fā)，出發(fā)3小時(shí)后，乙騎摩托車也從村子出發(fā)到鄉(xiāng)里，比甲早到1.5小時(shí)，已知乙的速度是甲的速度的2倍，求甲、乙兩人的速度？錯(cuò)解：設(shè)甲的速度為千米小時(shí)，則乙的速度為2千米小時(shí)。由題意得， 解方程得 =30經(jīng)檢驗(yàn)=30是原方程的根,所以2=230=60（千米小時(shí)）。答：甲的速度為30千米小時(shí)，則乙的速度為60千米小時(shí)。錯(cuò)因分析：本題是利用時(shí)間例出等量關(guān)系，甲比乙早出發(fā)3小時(shí)，甲比乙多用3小時(shí)，乙早到1.5小時(shí)，則甲又比乙多用1.5小時(shí)，故等量關(guān)系為：甲用的時(shí)間=乙用的時(shí)間+3+1.5正確解：設(shè)甲的速度為千米小時(shí)，則乙的速度為2千米小時(shí)。由題意得， 解方程得 =10經(jīng)檢驗(yàn)=10是原方程的解,而且符合題意，所以2=210=20（千米小時(shí)）.答：甲的速度為10千米小時(shí)，則乙的速度為20千米小時(shí).融會(huì)貫通課堂訓(xùn)練，輕松過關(guān)1、王軍同學(xué)準(zhǔn)備在課外活動(dòng)時(shí)間組織部分同學(xué)參加電腦網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)，按原定的人數(shù)估計(jì)共需費(fèi)用300元。后因人數(shù)增加到原定人數(shù)的2倍，費(fèi)用享受了優(yōu)惠，一共只需要480元，參加活動(dòng)的每個(gè)同學(xué)平均分?jǐn)偟馁M(fèi)用比原計(jì)劃少4元，原定的人數(shù)是多少？ 如果設(shè)原定是人，根據(jù)題意，可得方程為（ ）A. B. C. D. 2、為迎接市中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，計(jì)劃由某校八年級(jí)（1）班的3個(gè)小組制作240面彩旗，后因一個(gè)小組另有任務(wù)，改由另外兩個(gè)小組完成制作彩旗的任務(wù)。這樣，這兩個(gè)小組的每個(gè)同學(xué)就要比原計(jì)劃多做4面。如果這3個(gè)小組的人數(shù)相等，那么每個(gè)小組有多少名學(xué)生？ 3、甲、乙兩公司各為“見義勇為基金會(huì)”捐款30000元，已知乙公司比甲公司人均多捐款20元，且甲公司的人數(shù)比乙公司的人數(shù)多20%。問甲、乙兩公司各有多少人？ 4、輪船在順?biāo)泻叫?0千米與逆水中航行10千米所用時(shí)間相同，水流速度為2.5千米/小時(shí)，求輪船的靜水速度？觸類旁通-知識(shí)巧用，思維拓展例：某縣城在道路改造過程中，需要鋪設(shè)一條長1500米的管道，決定由A 、B兩個(gè)工程隊(duì)來完成這一任務(wù)，已知A工程隊(duì)比B工程隊(duì)每天多鋪設(shè)20米，且A工程隊(duì)鋪設(shè)360米所需的天數(shù)與B工程隊(duì)鋪設(shè)260米的天數(shù)相同.（1）A 、B兩個(gè)工程隊(duì)每天各能鋪設(shè)多少米？（2）如果要求完成該項(xiàng)工程的工期不超過10天，那么為兩工程隊(duì)分配工程量（以百米為單位）的方案有幾種？請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來.分析：此題的關(guān)鍵是找好等量關(guān)系，A工程隊(duì)比B工程隊(duì)每天多鋪設(shè)20米，且A工程隊(duì)鋪設(shè)360米所需的天數(shù)與B工程隊(duì)鋪設(shè)260米的天數(shù)相同.解：（1）設(shè)A個(gè)工程隊(duì)每天能鋪設(shè)米，則B工程隊(duì)每天能鋪設(shè)米.根據(jù)題意，得，解得。經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解且符合題意，。所以=52，故A 、B兩個(gè)工程隊(duì)每天分別能鋪設(shè)72米和52米.（2）設(shè)分配給A 工程隊(duì)米，則分配給B工程隊(duì)（）米. 根據(jù)題意，得 解得所以分配方案有3種，方案一：分配給A工程隊(duì)500米，乙工程隊(duì)500米：方案二：分配給A工程隊(duì)600米，乙工程隊(duì)400米：方案三：分配給A工程隊(duì)700米，乙工程隊(duì)300米：點(diǎn)撥：列分式方程解應(yīng)用題，關(guān)鍵是找出相等關(guān)系，分析出數(shù)量關(guān)系，從而恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出未知數(shù)，列出分式方程，解出結(jié)果.思維拓展練習(xí)1炎炎夏日，甲安裝隊(duì)為A