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12999數(shù)學(xué)網(wǎng) 2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試江蘇卷數(shù)學(xué)試題參考公式:錐體的體積公式: V錐體=Sh,其中S是錐體的底面積,h是高。一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分。請(qǐng)把答案填寫在題中橫線上。1、設(shè)集合A=-1,1,3,B=a+2,a2+4,AB=3,則實(shí)數(shù)a=_ _.解析 考查集合的運(yùn)算推理。3B, a+2=3, a=1.檢驗(yàn)滿足題意。2、設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(2-3i)=6+4i(其中i為虛數(shù)單位),則z的模為_ _.解析 考查復(fù)數(shù)運(yùn)算、模的性質(zhì)。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i與3+2 i的模相等,故z的模為2。3、盒子中有大小相同的3只白球,1只黑球,若從中隨機(jī)地摸出兩只球,兩只球顏色不同的概率是_ _.解析考查古典概型知識(shí)。.4、某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量,從中隨機(jī)抽取了100根棉花纖維的長(zhǎng)度(棉花纖維的長(zhǎng)度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)),所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間5,40中,其頻率分布直方圖如圖所示,則其抽樣的100根中,有_ _根在棉花纖維的長(zhǎng)度小于20mm.解析考查頻率分布直方圖的知識(shí).100(0.01+0.01+0.04)5=30.5、設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函數(shù),則實(shí)數(shù)a=_解析考查函數(shù)的奇偶性的知識(shí)。g(x)=ex+ae-x為奇函數(shù),由g(0)=0,得a=1。6、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線上一點(diǎn)M,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3,則M到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是_ _解析考查雙曲線的定義。,為點(diǎn)M到右準(zhǔn)線的距離,=2,MF=4。7、下面是一個(gè)算法的流程圖,則輸出S的值是_ _解析考查流程圖理解。輸出。8、函數(shù)y=x2(x0)的圖象在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1,k為正整數(shù),a1=16,則a1+a3+a5=_ _解析考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項(xiàng)。在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線方程為:當(dāng)時(shí),解得,所以。9、在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓上有且僅有4個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是_ _解析考查圓與直線的位置關(guān)系。 圓半徑為2,圓心(0,0)到直線12x-5y+c=0的距離小于1,的取值范圍是(-13,13)。10、定義在區(qū)間上的函數(shù)y=6cosx的圖象與y=5tanx的圖象的交點(diǎn)為P,過(guò)點(diǎn)P作PP1x軸于點(diǎn)P1,直線PP1與y=sinx的圖象交于點(diǎn)P2,則線段P1P2的長(zhǎng)為_。解析 考查三角函數(shù)的圖象、數(shù)形結(jié)合思想。線段P1P2的長(zhǎng)即為sinx的值,且其中的x滿足6cosx=5tanx,解得sinx=。線段P1P2的長(zhǎng)為.11、已知函數(shù),則滿足不等式的x的范圍是_ _。解析 考查分段函數(shù)的單調(diào)性.12、設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足38,49,則的最大值是 。解析 考查不等式的基本性質(zhì),等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。,的最大值是27.13、在銳角三角形ABC,A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,則=_ _。解析 考查三角形中的正、余弦定理三角函數(shù)知識(shí)的應(yīng)用,等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.,由正弦定理,得:上式=.14、將邊長(zhǎng)為1m正三角形薄片,沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊,其中一塊是梯形,記,則S的最小值是_ _。解析 考查函數(shù)中的建模應(yīng)用,等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。一題多解。設(shè)剪成的小正三角形的邊長(zhǎng)為,則:(方法一)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值。,當(dāng)時(shí),遞減;當(dāng)時(shí),遞增;故當(dāng)時(shí),S的最小值是。(方法二)利用函數(shù)的方法求最小值。令,則:故當(dāng)時(shí),S的最小值是。二、解答題:本大題共6小題,共計(jì)90分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明或演算步驟.15、(本小題滿分14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(1,2),B(2,3),C(2,1)。(1) 求以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng);(2) 設(shè)實(shí)數(shù)t滿足()=0,求t的值。解析本小題考查平面向量的幾何意義、線性運(yùn)算、數(shù)量積,考查運(yùn)算求解能力。(1)(方法一)由題設(shè)知,則所以故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為,。(方法二)設(shè)該平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為D,兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為E,則:E為B,C的中點(diǎn),E(0,1)又E(0,1)為A,D的中點(diǎn),所以D(1,4) 故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為BC=,AD=.(2)由題設(shè)知:=(2,1),。由()=0,得:,從而所以?;蛘?,16、(本小題滿分14分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC,BCD=900。(1) 求證:PCBC;(2) 求點(diǎn)A到平面PBC的距離。解析 本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系,考查幾何體的體積,考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力。(1)證明:因?yàn)镻D平面ABCD,BC平面ABCD,所以PDBC。由BCD=900,得CDBC,又PDDC=D,PD,DC平面PCD,所以BC平面PCD。因?yàn)镻C平面PCD,故PCBC。(2)(方法一)分別取AB,PC的中點(diǎn)E,F(xiàn),連結(jié)DE,DF,則:易證DECB,DE平面PBC,點(diǎn)D,E到平面PBC的距離相等。又點(diǎn)A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。由(1)知:BC平面PCD,所以平面PBC平面PCD于PC,因?yàn)镻D=DC,PF=FC,所以DFPC,所以DF平面PBC于F.易知DF=,故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于.(方法二)體積法:連結(jié)AC. 設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h.因?yàn)锳BDC,BCD=900,所以ABC=900。從而AB=2,BC=1,得的面積。由PD平面ABCD及PD=1,得三棱錐P-ABC的體積。因?yàn)镻D平面ABCD,DC平面ABCD,所以PDDC。又PD=DC=1,所以.由PCBC,BC=1,得的面積.由,得,故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于。17、(本小題滿分14分)某興趣小組測(cè)量電視塔AE的高度H(單位:m),如示意圖,垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m,仰角ABE=,ADE=。(1) 該小組已經(jīng)測(cè)得一組、的值,tan=1.24,tan=1.20,請(qǐng)據(jù)此算出H的值;(2) 該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后,認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d(單位:m),使與之差較大,可以提高測(cè)量精確度。若電視塔的實(shí)際高度為125m,試問d為多少時(shí),-最大?解析 本題主要考查解三角形的知識(shí)、兩角差的正切及不等式的應(yīng)用。(1),同理:,。 ADAB=DB,故得,解得:。因此,算出的電視塔的高度H是124m。(2)由題設(shè)知,得,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào))故當(dāng)時(shí),最大。因?yàn)?,則,所以當(dāng)時(shí),-最大。故所求的是m。18、(本小題滿分16分)在平面直角坐標(biāo)系中,如圖,已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A,B,右焦點(diǎn)為F。設(shè)過(guò)點(diǎn)T()的直線TA,TB與橢圓分別交于點(diǎn)M,,其中m0,。(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡;(2)設(shè),求點(diǎn)T的坐標(biāo);(3)設(shè),求證:直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān))。解析 本小題主要考查求簡(jiǎn)單曲線的方程,考查直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)??疾檫\(yùn)算求解能力和探究問題的能力。(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),則F(2,0),B(3,0),A(-3,0)。由,得 化簡(jiǎn)得.故所求點(diǎn)P的軌跡為直線。(2)將分別代入橢圓方程,以及得:M(2,),N(,)直線TMA方程為:,即,直線NTB 方程為:,即。聯(lián)立方程組,解得:,所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為。(3)點(diǎn)T的坐標(biāo)為直線MTA方程為:,即,直線NTB 方程為:,即。分別與橢圓聯(lián)立方程組,同時(shí)考慮到,解得:、。(方法一)當(dāng)時(shí),直線MN方程為: 令,解得:。此時(shí)必過(guò)點(diǎn)D(1,0);當(dāng)時(shí),直線MN方程為:,與x軸交點(diǎn)為D(1,0)。所以直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)D(1,0)。(方法二)若,則由及,得,此時(shí)直線MN的方程為,過(guò)點(diǎn)D(1,0)。若,則,直線MD的斜率,直線ND的斜率,得,所以直線MN過(guò)D點(diǎn)。因此,直線MN必過(guò)軸上的點(diǎn)(1,0)19、(本小題滿分16分)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知,數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(用表示);(2)設(shè)為實(shí)數(shù),對(duì)滿足的任意正整數(shù),不等式都成立。求證:的最大值為。解析 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和以及基本不等式等有關(guān)知識(shí),考查探索、分析及論證的能力。(1)由題意知:, ,化簡(jiǎn),得:,當(dāng)時(shí),適合情形。故所求(2)(方法一), 恒成立。 又,故,即的最大值為。(方法二)由及,得,。于是,對(duì)滿足題設(shè)的,有。所以的最大值。另一方面,任取實(shí)數(shù)。設(shè)為偶數(shù),令,則符合條件,且。于是,只要,即當(dāng)時(shí),。所以滿足條件的,從而。因此的最大值為。20、(本小題滿分16分)設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為。如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù),其中對(duì)任意的都有0,使得,則稱函數(shù)具有性質(zhì)。(1)設(shè)函數(shù),其中為實(shí)數(shù)。求證:函數(shù)具有性質(zhì); 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(2)已知函數(shù)具有性質(zhì)。給定設(shè)為實(shí)數(shù),且,若|0,所以對(duì)任意的都有,在上遞增。又。當(dāng)時(shí),且, 綜合以上討論,得:所求的取值范圍是(0,1)。(方法二)由題設(shè)知,的導(dǎo)函數(shù),其中函數(shù)對(duì)于任意的都成立。所以,當(dāng)時(shí),從而在區(qū)間上單調(diào)遞增。當(dāng)時(shí),有,得,同理可得,所以由的單調(diào)性知、,從而有|,符合題設(shè)。當(dāng)時(shí),于是由及的單調(diào)性知,所以|,與題設(shè)不符。當(dāng)時(shí),同理可得,進(jìn)而得|,與題設(shè)不符。因此綜合、得所求的的取值范圍是(0,1)。數(shù)學(xué)(附加題)21.選做題本題包括A,B,C,D四小題,請(qǐng)選定其中兩題,并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答。若多做,則按作答的前兩題評(píng)分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。A 選修4-1:幾何證明選講(本小題滿分10分)AB是圓O的直徑,D為圓O上一點(diǎn),過(guò)D作圓O的切線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,若DA=DC,求證:AB=2BC。解析 本題主要考查三角形、圓的有關(guān)知識(shí),考查推理論證能力。(方法一)證明:連結(jié)OD,則:ODDC, 又OA=OD,DA=DC,所以DAO=ODA=DCO, DOC=DAO+ODA=2DCO,所以DCO=300,DOC=600,所以O(shè)C=2OD,即OB=BC=OD=OA,所以AB=2BC。(方法二)證明:連結(jié)OD、BD。因?yàn)锳B是圓O的直徑,所以ADB=900,AB=2 OB。因?yàn)镈C 是圓O的切線,所以CDO=900。又因?yàn)镈A=DC,所以DAC=DCA,于是ADBCDO,從而AB=CO。即2OB=OB+BC,得OB=BC。故AB=2BC。B 選修4-2:矩陣與變換(本小題滿分10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(0,0),B(-2,0),C(-2,1).設(shè)k為非零實(shí)數(shù),矩陣M=,N=,點(diǎn)A、B、C在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn)分別為A1、B1、C1,A1B1C1的面積是ABC面積的2倍,求k的值。解析 本題主要考查圖形在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下的變化特點(diǎn),考查運(yùn)算求解能力。滿分10分。解:由題設(shè)得由,可知A1(0,0)、B1(0,-2)、C1(,-2)。計(jì)算得ABC面積的面積是1,A1B1C1的面積是,則由題設(shè)知:。所以k的值為2或-2。C 選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本小題滿分10分)在極坐標(biāo)系中,已知圓=2cos與直線3cos+4sin+a=0相切,求實(shí)數(shù)a的值。解析 本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基本知識(shí),考查轉(zhuǎn)化問題的能力。滿分10分。解:,圓=2cos的普通方程為:,直線3cos+4sin+a=0的普通方程為:,又圓與直線相切,所以解得:,或。D 選修4-5:不等式選講(本小題滿分10分)設(shè)a、b是非負(fù)實(shí)數(shù),求證:。解析 本題主要考查證明不等式的基本方法,考查推理論證的能力。滿分10分。(方法一)證明:因?yàn)閷?shí)數(shù)a、b0,所以上式0。即有。(方法二)證明:由a、b是非負(fù)實(shí)數(shù),作差得當(dāng)時(shí),從而,得;當(dāng)時(shí),從而,得;所以。必做題第22題、第23題,每題10分,共計(jì)20分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。22、 (本小題滿分10分)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,甲產(chǎn)品的一等品率為80%,二等品率為20%;乙產(chǎn)品的一等品率為90%,二等品率為10%。生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品,若是一等品則獲得利潤(rùn)4萬(wàn)元,若是二等品則虧損1萬(wàn)元;生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品,若是一等品則獲得利潤(rùn)6萬(wàn)元,若是二等品則虧損2萬(wàn)元。設(shè)生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨(dú)立。(1) 記X(單位:萬(wàn)元)為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn),求X的分布列;(2) 求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元的概率。解析 本題主要考查概率的有關(guān)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力。解:(1)由題設(shè)知,X的可能取值為10,5,2,-3,且 P(X=10)=0.80.9=0.72, P(X=5)=0.20.9=0.18, P(X=2)=0.80.1=0.08, P(X=-3)=0.20.1=0.02。 由此得X的分布列為:X1052-3P0.720.180.080.02(2)設(shè)生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有件,則二等品有件。 由題設(shè)知,解得, 又,得,或。所求概率為答:生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元的概率為0.8192。23、 (本小題滿分10分)已知ABC的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)。(1) 求證cosA是有理數(shù);(2)求證:對(duì)任意正整數(shù)n,cosnA是有理數(shù)。解析 本題主要考查余弦定理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力。(方法一)(1)證明:設(shè)三邊長(zhǎng)分別為,因?yàn)槭怯欣頂?shù),是有理數(shù),分母為正有理數(shù),又有理數(shù)集對(duì)于除法的具有封閉性,所以必為有理數(shù),所以cosA是有理數(shù)。(2)當(dāng)時(shí),顯然co

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