對一道課本習題的深入探索_喻青山.pdf

對一道課本習題的深入探索 喻青山 湖北省十堰市竹山縣第二中學 普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修 習 題 組第 題 第 頁 分別以一個直角三 角形的斜邊 兩直角邊所在直線為軸 其余各邊旋 轉一周形成的曲面圍成三個幾何體 畫出它們的 三視圖與直觀圖 并探討它們體積之間的關系 對這道題 體積的計算并沒有多大問題 學生 大多做得比較順利 但到了要探討體積之間的關 系時卻犯了難 一時不知道該怎么前進 一是因為 題中所說的體積之間的關系含義不太明確 是指 等量關系呢還是大小關系呢 學生更多的理解是 討論體積之間的大小關系 或先討論體積之間的 大小關系 在看看體積之間有沒有特別的等量關 系 二是學生不善于變換 使得到的各種結果相互 協(xié)調統(tǒng)一 教師用書上給出的參考答案 學生看懂證明是不難的 三個幾何體的體積之間到底有哪些關系 如 何更自然 更合理地探討體積之間的關系呢 這 些關系又能否推廣到任意三角形呢 另外 三個 幾何體的表面積是否也有類似的關系呢 帶著這 些疑問 筆者對這道習題展開了探究 沒想到卻收 獲了一個又一個意想不到的精彩 不斷感悟和欣 賞數(shù)學那一道道美麗的風景 體驗數(shù)學獨特的 魅力 圖 為了表示得簡便和直觀 約定 中 角 的對邊分別為 邊 上的高分 別為 的面積為 分別以邊 所在直線為軸 其余各邊旋轉一周形成的曲 面圍成三個幾何體的體積分別為 表面 積分別為 圖 圖 旋轉體的體積 直角三角形 三角形是直角三角形時的體積公式 如圖 是直角三角形時 它以邊 或 所在直線為軸 其余各邊旋轉一周形成的曲面 圍成的幾何體是圓錐 以斜邊 所在直線為軸 其 余各邊旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體是對頂 圓錐 兩圓錐的底面在內部疊合 兩錐頂相對 即 在底面的兩側 可得 因為 所以 年 第 卷 第 期 數(shù)學通報 則 這樣就得到了 的表達式 雖然這 些式子不算太復雜 結構上也比較接近 但要根據(jù) 得出 的關系卻并不容易 注 意到 的表達式結構上比較接近 看能 否變換一下 使它們在結構和成分上更加協(xié)調 統(tǒng) 一 注意到 用邊表示的式子最復雜 是分式 且 分母為 于是想到 這樣 就得到了一個優(yōu)美的結論 三個幾何體的體積公式是如此和諧 若再注意到 又可得 若令 則由 可得 由此知旋轉體的體積與作為軸的三角形的邊長成 反比 三角形是直角三角形時的體積關系 由 或 或 可知 若 則 若 則 這樣 就得到結 論 在直角三角形中 以越大的邊為軸生成的旋轉 體的體積越小 沒想到直角三角形有如此和諧的 關系 對這個發(fā)現(xiàn) 筆者一邊是喜悅 一邊是驚訝 由于直角三角形 中 利用 或 或 又可得 這又是一個十分優(yōu)美的結論 其結構很像勾股定 理 它可看成是將 中的 分別換 成了 而得到的 當然 能得到的等量關系并不只有 同樣利 用 或 或 還可得 等 事實上 由 可知對于直角三角形成立的 任何一個邊角關系中 將 分別換成 后也都是成立的 受到對直角三角形的情形的 研究的啟發(fā) 接著繼續(xù)研究斜三角形的情形 銳角三角形 銳角三角形以任意一邊所在直線為軸 其余 各邊旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體都是對頂 圓錐 兩圓錐的底面在內部疊合 兩錐頂相對 即 在底面的兩側 由圖 可知 同理 因為 所以 代入上面的式子 則有 這與直角三角形中的結果 是完全一樣的 鈍角三角形 鈍角三角形以最大邊所在直線為軸 其余各 邊旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體是對頂圓錐 兩圓錐的底面在內部疊合 兩錐頂相對 即在底 面的兩側 以另外兩邊中的任意一邊所在直線為 軸 其余各邊旋轉一周形成的曲面圍成的幾何體 是兩個圓錐的組合體 一種凹幾何體 一個大圓錐 挖去一個小圓錐 兩個圓錐同底 兩錐頂在底面的 同側 由圖 可知 同理 又 因為 所以 數(shù)學通報 年 第 卷 第 期 代入上面的式子 則有 這也與直角三角形中的結果 是完全一樣的 至此 筆者發(fā)現(xiàn)了對任意三角形都成立的一 個結論 分別以邊 所在直線為軸 其余 各邊旋轉一周形成的曲面圍成三個幾何體的體積 分別為 的面積為 則 由 可以得出對任意三角形都成立的一些體積 關系 若 則 即在任意 三角形中 以越大的邊為軸生成的旋轉體的體積 越小 若 中有兩個相等 則相應的體積也相 等 如當 時 必有 等 等對三角形成立的任 何一個邊角關系中 將 分別換成了 后 也 都 是 成 立 的 如 等都是 對的 旋轉體的表面積 經過一番探索發(fā)現(xiàn) 已經收獲了很多 不僅得 到了三個旋轉體的體積統(tǒng)一的計算公式 它們是 那么漂亮 還得到了很多關于三個旋轉體的體積 之間的和諧的關系 既有等量關系 也有大小關 系 它們是那樣的美妙 不過不要因此太滿足而停 下了探索的腳步 既然體積有如此美妙的關系 那 表面積呢 由圖 與圖 可知 無論 是銳角三角 形還是鈍角三角形 都有 當 是直角三角形時 這樣 筆者又得到了一個對任意三角形都成立的 結論 分別以邊 所在直線為軸 其余 各邊旋轉一周形成的曲面圍成三個幾何體的表面 積分別為 的面積為 則 當 時 有 則 當 時 時 當 時 這樣 由 與 就得到了一個更加統(tǒng)一 更加和諧更加優(yōu)美的結論 即在三角形中 以越大 的邊為軸生成的旋轉體的體積越小 表面積也 越小 同樣可得 分別以一個矩形的一邊所在直線 為軸 其余各邊旋轉一周形成的曲面圍成的兩個 圓柱 其中以越大的邊為軸生成的圓柱的體積越 小 表面積也越小 證明就不在這里贅述了 結語 這樣 筆者經歷了一個充滿樂趣的數(shù)學發(fā)現(xiàn) 的過程 從中可以體會如何提出數(shù)學問題 并如何 解決問題的過程與方法 體驗數(shù)學知識發(fā)生 發(fā)展 的