2013年普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案 第4講 基本初等.doc

2013年普通高考數(shù)學(xué)科一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案第4講 基本初等函數(shù)一課標(biāo)要求1指數(shù)函數(shù)（1）通過(guò)具體實(shí)例（如細(xì)胞的分裂，考古中所用的14C的衰減，藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等），了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景；（2）理解有理指數(shù)冪的含義，通過(guò)具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算。（3）理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；（4）在解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。2對(duì)數(shù)函數(shù)（1）理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；通過(guò)閱讀材料，了解對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用；（2）通過(guò)具體實(shí)例，直觀了解對(duì)數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；3知道指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（a0，a1）。二命題走向指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是三類常見的重要函數(shù)，在歷年的高考題中都占據(jù)著重要的地位。從近幾年的高考形勢(shì)來(lái)看，對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的考查，大多以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運(yùn)算推理，能運(yùn)用它們的性質(zhì)解決具體問(wèn)題。為此，我們要熟練掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，明確算理，能對(duì)常見的指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)進(jìn)行變形處理。預(yù)測(cè)2013年對(duì)本節(jié)的考察是：1題型有兩個(gè)選擇題和一個(gè)解答題；2題目形式多以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)來(lái)考察函數(shù)的性質(zhì)。同時(shí)它們與其它知識(shí)點(diǎn)交匯命題，則難度會(huì)加大。三要點(diǎn)精講1指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算（1）根式的概念：定義：若一個(gè)數(shù)的次方等于，則這個(gè)數(shù)稱的次方根。即若，則稱的次方根，1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，次方根記作；2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)沒有次方根，而正數(shù)有兩個(gè)次方根且互為相反數(shù)，記作。性質(zhì)：1）；2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；3）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，。（2）冪的有關(guān)概念規(guī)定：1）N*；2）； n個(gè)3）Q，4）、N* 且。性質(zhì)：1）、Q）；2）、 Q）；3） Q）。（注）上述性質(zhì)對(duì)r、R均適用。（3）對(duì)數(shù)的概念定義：如果的b次冪等于N，就是，那么數(shù)稱以為底N的對(duì)數(shù)，記作其中稱對(duì)數(shù)的底，N稱真數(shù)。1）以10為底的對(duì)數(shù)稱常用對(duì)數(shù)，記作；2）以無(wú)理數(shù)為底的對(duì)數(shù)稱自然對(duì)數(shù)，記作；基本性質(zhì)：1）真數(shù)N為正數(shù)（負(fù)數(shù)和零無(wú)對(duì)數(shù)）；2）；3）；4）對(duì)數(shù)恒等式：。運(yùn)算性質(zhì)：如果則1）；2）；3）R）。換底公式：1）；2）。2指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（1）指數(shù)函數(shù)：定義：函數(shù)稱指數(shù)函數(shù)，1）函數(shù)的定義域?yàn)镽；2）函數(shù)的值域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)為增函數(shù)。函數(shù)圖像：1）指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），且圖象都在第一、二象限；2）指數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當(dāng)時(shí)，圖象向左無(wú)限接近軸，當(dāng)時(shí)，圖象向右無(wú)限接近軸）；3）對(duì)于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱。，函數(shù)值的變化特征：（2）對(duì)數(shù)函數(shù)：定義：函數(shù)稱對(duì)數(shù)函數(shù)，1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?）函數(shù)的值域?yàn)镽；3）當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)為增函數(shù)；4）對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。函數(shù)圖像：1）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），且圖象都在第一、四象限；2）對(duì)數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當(dāng)時(shí)，圖象向上無(wú)限接近軸；當(dāng)時(shí)，圖象向下無(wú)限接近軸）；4）對(duì)于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱。函數(shù)值的變化特征：，.，. 四典例解析題型1：指數(shù)運(yùn)算例1（1）計(jì)算：；（2）化簡(jiǎn)：。解：（1）原式=；（2）原式=。點(diǎn)評(píng)：根式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題就是將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解，對(duì)化簡(jiǎn)求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式保留；一般的進(jìn)行指數(shù)冪運(yùn)算時(shí)，化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)運(yùn)算，同時(shí)兼顧運(yùn)算的順序。例2已知，求的值。解：，又，。點(diǎn)評(píng)：本題直接代入條件求解繁瑣，故應(yīng)先化簡(jiǎn)變形，創(chuàng)造條件簡(jiǎn)化運(yùn)算。題型2：對(duì)數(shù)運(yùn)算例3計(jì)算（1）；（2）；（3）。解：（1）原式 ；（2）原式 ；（3）分子=；分母=；原式=。點(diǎn)評(píng)：這是一組很基本的對(duì)數(shù)運(yùn)算的練習(xí)題，雖然在考試中這些運(yùn)算要求并不高，但是數(shù)式運(yùn)算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功，通過(guò)這樣的運(yùn)算練習(xí)熟練掌握運(yùn)算公式、法則，以及學(xué)習(xí)數(shù)式變換的各種技巧。例4設(shè)、為正數(shù)，且滿足 （1）求證：；（2）若，求、的值。證明：（1）左邊；解：（2）由得，由得 由得由得，代入得， 由、解得，從而。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于含對(duì)數(shù)因式的證明和求值問(wèn)題，還是以對(duì)數(shù)運(yùn)算法則為主，將代數(shù)式化簡(jiǎn)到最見形式再來(lái)處理即可。題型3：指數(shù)、對(duì)數(shù)方程例5設(shè)關(guān)于的方程R），（1）若方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（2）當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，并求出方程的解。解：（1）原方程為，時(shí)方程有實(shí)數(shù)解；（2）當(dāng)時(shí)，方程有唯一解；當(dāng)時(shí)，.的解為；令的解為；綜合、，得1）當(dāng)時(shí)原方程有兩解：；2）當(dāng)時(shí)，原方程有唯一解；3）當(dāng)時(shí)，原方程無(wú)解。點(diǎn)評(píng)：具有一些綜合性的指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題，問(wèn)題的解答涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)、參數(shù)討論、方程討論等各種基本能力，這也是指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的特點(diǎn)，題型非常廣泛，應(yīng)通過(guò)解題學(xué)習(xí)不斷積累經(jīng)驗(yàn)。例6（2006遼寧 文13）方程的解為 。解：考察對(duì)數(shù)運(yùn)算。原方程變形為，即，得。且有。從而結(jié)果為。點(diǎn)評(píng)：上面兩例是關(guān)于含指數(shù)式、對(duì)數(shù)式等式的形式，解題思路是轉(zhuǎn)化為不含指數(shù)、對(duì)數(shù)因式的普通等式或方程的形式，再來(lái)求解。題型4：指數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)例7設(shè)（ ）A0 B1 C2 D3解：C；，。點(diǎn)評(píng)：利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，求解函數(shù)的值。例8已知試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。解：令，則x=，tR。所以即，（xR）。因?yàn)閒(x)=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，故只需討論f(x)在0，+）上的單調(diào)性。任取，且使，則（1）當(dāng)a1時(shí)，由，有，所以，即f(x)在0，+上單調(diào)遞增。（2）當(dāng)0a1時(shí)，由，有，所以，即f(x)在0，+上單調(diào)遞增。綜合所述，0，+是f(x)的單調(diào)增區(qū)間，（，0）是f(x)的單調(diào)區(qū)間。點(diǎn)評(píng)：求解含指數(shù)式的函數(shù)的定義域、值域，甚至是證明函數(shù)的性質(zhì)都需要借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)處理。特別是分兩種情況來(lái)處理。題型5：指數(shù)函數(shù)的圖像與應(yīng)用例9若函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（ ）Am1 B1m0 Cm1 D0m1解：，畫圖象可知1m1時(shí)，函數(shù)y=logax和y=(1a)x的圖象只可能是( )解：當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)y=logax的圖象只能在A和C中選，又a1時(shí)，y=(1a)x為減函數(shù)。答案：B點(diǎn)評(píng)：要正確識(shí)別函數(shù)圖像，一是熟悉各種基本函數(shù)的圖像，二是把握?qǐng)D像的性質(zhì)，根據(jù)圖像的性質(zhì)去判斷，如過(guò)定點(diǎn)、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性。例14設(shè)A、B是函數(shù)y= log2x圖象上兩點(diǎn), 其橫坐標(biāo)分別為a和a+4, 直線l: x=a+2與函數(shù)y= log2x圖象交于點(diǎn)C, 與直線AB交于點(diǎn)D。（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）當(dāng)ABC的面積大于1時(shí), 求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：（1）易知D為線段AB的中點(diǎn), 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4)，所以由中點(diǎn)公式得D(a+2, log2 )。（2）SABC=S梯形AACC+S梯形CCBB- S梯形AABB= log2, 其中A,B,C為A,B,C在x軸上的射影。由SABC= log21, 得0 a22。點(diǎn)評(píng)：解題過(guò)程中用到了對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，注意底數(shù)分類來(lái)處理，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)處理復(fù)雜問(wèn)題。題型8：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)綜合問(wèn)題例15在xOy平面上有一點(diǎn)列P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn)，對(duì)每個(gè)自然數(shù)n點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=2000()x(0a1)的圖象上，且點(diǎn)Pn,點(diǎn)(n,0)與點(diǎn)(n+1,0)構(gòu)成一個(gè)以Pn為頂點(diǎn)的等腰三角形。(1)求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；(2)若對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n，以bn,bn+1,bn+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，求a的取值范圍；(3)設(shè)Cn=lg(bn)(nN*),若a取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問(wèn)數(shù)列Cn前多少項(xiàng)的和最大？試說(shuō)明理由。解：(1)由題意知：an=n+,bn=2000()。(2)函數(shù)y=2000()x(0abn+1bn+2。則以bn,bn+1,bn+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是bn+2+bn+1bn，即()2+()10，解得a5(1)。 5(1)a10。(3)5(1)a10，a=7bn=2000()。數(shù)列bn是一個(gè)遞減的正數(shù)數(shù)列，對(duì)每個(gè)自然數(shù)n2,Bn=bnBn1。于是當(dāng)bn1時(shí)，BnBn1，當(dāng)bn1時(shí)，BnBn1，因此數(shù)列Bn的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)n滿足不等式bn1且bn+11，由bn=2000()1得：n20。n=20。點(diǎn)評(píng)：本題題設(shè)從函數(shù)圖像入手，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性，最終還是根據(jù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合數(shù)列知識(shí)，以及三角形的面積解決了實(shí)際問(wèn)題。例16已知函數(shù)為常數(shù)）（1）求函數(shù)f(x)的定義域；（2）若a=2，試根據(jù)單調(diào)性定義確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性。（3）若函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)，求a的取值范圍。解：（1）由a0，x0 f(x)的定義域是。（2）若a=2，則設(shè) ， 則故f(x)為增函數(shù)。（3）設(shè) f(x)是增函數(shù)，f(x1)f(x2)即 聯(lián)立、知a1，a(1，+)。點(diǎn)評(píng)：該題屬于純粹的研究復(fù)合對(duì)函數(shù)性質(zhì)的問(wèn)題，我們抓住對(duì)數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)，結(jié)合一般函數(shù)求定義域、單調(diào)性的解題思路，對(duì)“路”處理即可。題型9：課標(biāo)創(chuàng)新題例17對(duì)于在區(qū)間上有意義的兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x)，如果對(duì)任意的，均有，則稱f(x)與g(x)在上是接近的，否則稱f(x)與g(x)在上是非接近的，現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)與，給定區(qū)間。（1）若與在給定區(qū)間上都有意義，求a的取值范圍；（2）討論與在給定區(qū)間上是否是接近的。解：（1）兩個(gè)函數(shù)與在給定區(qū)間有意義，因?yàn)楹瘮?shù)給定區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在給定區(qū)間上恒為正數(shù)，故有意義當(dāng)且僅當(dāng)；（2）構(gòu)造函數(shù)，對(duì)于函數(shù)來(lái)講， 顯然其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。且在其定義域內(nèi)一定是減函數(shù)。由于，得所以原函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，只需保證當(dāng)時(shí)，與在區(qū)間上是接近的； 當(dāng)時(shí)，與在區(qū)間上是非接近的。點(diǎn)評(píng)：該題屬于信息給予的題目，考生首先理解“接近”與“非接近”的含義，再對(duì)含有對(duì)數(shù)式的函數(shù)的是否“接近”進(jìn)行研究，轉(zhuǎn)化成含有對(duì)數(shù)因式的不等式問(wèn)題，解不等式即可。例18設(shè)，且，求的最小值。解：令 ，。 由得， ，即， ， ，當(dāng)時(shí)，。點(diǎn)評(píng)：對(duì)數(shù)函數(shù)結(jié)合不等式知識(shí)處理最值問(wèn)題，這是出題的一個(gè)亮點(diǎn)。同時(shí)考察了學(xué)生的變形能力。五思維總結(jié)1（其中）是同一數(shù)量關(guān)系的三種不同表示形式，因此在許多問(wèn)題中需要熟練進(jìn)行它們之間的相互轉(zhuǎn)化，選擇最好的形式進(jìn)行運(yùn)算.在運(yùn)算中，根式常常化為指數(shù)式比較方便，而對(duì)數(shù)式一般應(yīng)化為同應(yīng)化為同底；2要熟練運(yùn)用初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式各種乘法公式；進(jìn)行數(shù)式運(yùn)算的難點(diǎn)是運(yùn)用各種變換技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆項(xiàng)、添項(xiàng)、換元等等，這些都是經(jīng)常使用的變換技巧，必須通過(guò)各種題型的訓(xùn)練逐漸積累經(jīng)驗(yàn)；3解決含指數(shù)式或?qū)?shù)式的各種問(wèn)題，要熟練運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)，更關(guān)鍵是熟練運(yùn)用指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，其中單調(diào)性是使用率比較高的知識(shí)；4指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)值的變化特點(diǎn)