北京市西城區(qū)2015-2016學年九年級上期末數(shù)學試題含答案解析

第 1 頁（共 7 頁） 北京市西城區(qū) 2015年九年級上期末數(shù)學試題含答案解析 一、選擇題（本題共 30分，每小題 3分） 下面各題均有四個選項，其中只有 一個 是符合題意的 1 二次函數(shù) 257 的 最小值 是 A 7 B 7 C 5 D 5 【 考點 】 二次函數(shù)的圖像及其性質 【 試題解析 】 當 x=5時，二次函數(shù)取最小值，最小值是 7，所以選 B 【 答案 】 B 2 如圖，在 ， C=90， ， ，則 值為 A 35B 53C 45D 34【 考點 】 銳角三角函數(shù) 【 試題解析 】 , 選 A 【 答案 】 A 3 如圖， C 與 兩邊分別相切，其中 與 C 相切于點 P 若 0， ，則 長 為 A 12 B 12 2 C 62 D 63 【 考點 】 切線的性質與判定 【 試題解析 】 P=6 0 第 2 頁（共 7 頁） 【 答案 】 C 4 將 二次函數(shù) 2 65y x x 用配方法化成 2()y x h k 的形式 ，下列結果中正確的是 A 2( 6 ) 5 B 2( 3) 5 C 2( 3) 4 D 2( 3) 9 【 考點 】 二次函數(shù)的圖像及其性質 【 試題解析 】 選 C 【 答案 】 C 5 若一個扇形的半徑是 18它的弧長是 12 此扇形的圓心角等于 A 30 B 60 C 90 D 120 【 考點 】 弧長計算 【 試題解析 】 設圓心角為 x，根據(jù)題意得： 解得： x=120 選 D 【 答案 】 D 6 如圖， 在 平面 直角坐標系 ，點 A 的坐標為 ( 1 ， 2)， x 軸于點 B以原點 O 為位似中心， 將 大 為 原來的 2 倍， 得到 且 點 限 ， 則 點 坐標為 A ( 2 ， 4) B ( 12， 1) C (2， 4 ) D (2， 4) 【 考點 】 位似圖形 【 試題解析 】 位似比是 2，所以 ()，橫坐標和縱坐標都擴大 2倍，所以點的坐標為 () 選 A 【 答案 】 A 7 如圖，一艘海輪位于燈塔 P 的 南 偏東 37方向，距離 燈塔 40 海里的 A 處 ， 它 沿正 北 方向航行 一段時間后 ， 第 3 頁（共 7 頁） 到 達位于 燈塔 P 的正東 方向 上 的 B 處 這時， B 處 與 燈塔 P 的距離 長 可 以表示 為 A 40 海里 B 40里 C 40里 D 40里 【 考點 】 解直角三角形 【 試題解析 】 A=37 0(海里 ) 選 D 【 答案 】 D 8 如圖， A， B， C 三點在已知的圓上，在 ， 0 ， 0 ， D 是 的中點， 連接 則 度數(shù)為 A 30 B 45 C 50 D 70 【 考點 】 弦、弧、圓心角的關系 【 試題解析 】 0， 0 弧 00 點 0 【 答案 】 C 9 某商品現(xiàn)在的售價為每件 60 元，每星期可賣出 300 件 市場調查反映， 如果 調整商品售價，每 降價 1 元，每星期可多賣出 20 件 設 每件商品降價 x 元后， 每星期售出商品的 總 銷售額為 y 元， 則 y 與 x 的關系式為 A 6 0 (3 0 0 2 0 ) B ( 6 0 ) ( 3 0 0 2 0 )y x x C 3 0 0 ( 6 0 2 0 ) D ( 6 0 ) ( 3 0 0 2 0 )y x x 【 考點 】 二次函數(shù)的概念及表示方法 【 試題解析 】 y=(60300+20x), 選 B 【 答案 】 B 4 頁（共 7 頁） 10 二次函數(shù) 228y x x m 滿足以下條件：當 21x 時，它的圖象 位于 x 軸的下方 ；當67x 時，它的圖象 位于 x 軸的 上 方 ， 則 m 的值為 A 8 B 10 C 42 D 24 【 考點 】 二次函數(shù)的圖像及其性質 【 試題解析 】 把 x=入得： 8+16+m=0 所以 m= D 【 答案 】 D 二、填空題（本題共 18分，每小題 3分 ） 11 若 34則 值為 【 考點 】 分式的基本性質 【 試題解析 】 【 答案 】 12 點 A( 3 ，1y)， B(2 ，2y)在 拋物線 2 5y x x 上 ，則1（填 “ ” ， “ 答案 】 13 三邊長分別為 5， 12， 13， 與它相似的 最 小 邊長 為 15，則 周長為 【 考點 】 相似三角形的應用 【 試題解析 】 根據(jù)相似比等于周長比 第 5 頁（共 7 頁） 所以 15： 5=3 0 所以 90 【 答案 】 90 14 如圖，線段 射 線 于點 A， A=30 ， 0 點 D 在射線 ，且 鈍角， 寫出一個滿足條件 的 長 度值： 【 考點 】 三角形的性質及其分類 【 試題解析 】 當 所以 0 ， 所以 以等于 10. 【 答案 】 10 15 程大位所著 算法統(tǒng)宗是 一部 中國傳統(tǒng)數(shù)學重要的著作在算法統(tǒng)宗中記載： “平地秋千未起，踏板 離 地一尺 送行二步與人齊，五尺人高曾記 仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉 良工高士素好奇，算出索長有幾？ ” 【注釋】 1步 =5尺 譯文： “當秋千靜止時，秋千上的踏板離地有 1尺高，如將秋千的踏板往前推動兩步（ 10尺）時，踏板就和人一樣高，已知這個人身高是 5尺 美麗的姑娘 和才子們 ，每天都來爭蕩秋千， 歡聲笑語終日不斷 好奇的能工巧匠，能算出這秋千的繩索長是多少嗎？ ” 如圖， 假 設 秋千的繩索長始終保 持直線狀態(tài)， 秋千的靜止狀態(tài)，A 是 踏 板， 地面，點 B 是 推動兩步 后 踏 板的位置，弧 踏板移動的軌跡 已知 尺， B=10 尺，人 的身 高 尺 設繩索 長 B=x 尺 ，則可列方程為 【 考點 】 垂徑定理及推論 【 試題解析 】 根據(jù)題意得： OE=直角三角形 【 答案 】 第 6 頁（共 7 頁） 16 閱讀下 面 材料： 在學習圓這一章時 ，老師 給同學們布置了一道尺規(guī)作圖題： 小敏 的作法 如下 ： 老師認為 小 敏 的作法 正確 請回答 ： 連接 可證 0， 其依據(jù)是 ；由此 可證明 直線 是 O 的切線 ， 其依據(jù)是 【 考點 】 切線的性質與判定 【 試題解析 】 根據(jù)定理，直徑所對的圓周角是直角， 直徑所對的圓周角 0 過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 【 答案 】 直徑所對的圓 周角是直角；經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 三、 解答題 （本題共 72分， 第 17 26題，每小題 5分，第 27題 7分，第 28題 7分，第 29題 8分 ） 解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程 17 計算： 24 c o s 3 0 t a n 6 0 s i n 4 5 【 考點 】 特殊角的三角函數(shù)值 尺規(guī)作圖：過圓外一點作圓的 切線 已知 ： 求作 ： 經過點 （ 1） 連接 作線段 N 交 ； （ 2） 以點 交 ， （ 3） 作直線 所以直線 求作 的切線 第 7 頁（共 7 頁） 【 試題解析 】 原式 = = = 【 答案 】 18 如圖， ， 2， 5， 點 D， 0 求 值 【 考點 】 銳角三角函數(shù) 【 試題解析 】 ， 0 在 2， 0， ， B 12 = 5， 5 6=9 在 = = 【 答案 】 19 已知拋物線 2 23y x x 與 x 軸交于 A， B 兩點，點 A 在點 B 的左側 （ 1）求 A， B 兩點的坐標和 此拋物線的 對稱軸； （ 2） 設 此拋物線的頂點為 C，點 D 與點 C 關于 x 軸對稱，求四邊形 面積 【 考點 】 二次函數(shù)的圖像及其性質 【 試題解析 】 （ 1）令 ，則 解得 ， 點 的左側， 第 8 頁（共 7 頁） A（ ， 0）， B（ 3， 0） 對稱軸為直線 （ 2）當 時， ， 頂點 1， 4） 點 C， 點 1， ） ， 【 答案 】 (1)x=1;(2)16. 20 如圖， 四邊形 ， A= （ 1）求證： （ 2） 若 2， ， 5， 求 長 【 考點 】 相似三角形判定及性質 【 試題解析 】 （ 1）證明： A= （ 2） 2， ， 5， 0 【 答案 】 （ 1）見解析（ 2） 0 21 某小區(qū)有一塊長 21 米，寬 8 米的矩形空地， 如圖 所示 社區(qū)計劃在其中修建兩塊 完全 相同的矩形綠地， 并且 兩塊綠地之間 及 四周 都 留有寬度 為 x 米 的人行通道 如果 這 兩塊 綠地的 面積之和為 60 平方米 ， 人行通道的寬度 應 是多少 米 ？ 第 9 頁（共 7 頁） 【 考點 】 一元二次方程的應用 【 試題解析 】 根據(jù)題意，得 整理得 解得 ， 不符合題意，舍去， 答：人行通道的寬 度是 2米 【 答案 】 2米 22 已知拋物線1C： 21 24y x x k 與 x 軸只有一個公共點 （ 1） 求 k 的值； （ 2） 怎樣平移拋物線122 2 ( 1) 4y x k ？請寫出具體的平移方法； （ 3） 若點 A（ 1， t ）和點 B（ m ， n ）都 在拋物線2C： 22 2 ( 1) 4y x k 上，且 ，直接寫出 m 的取值范圍 【 考點 】 二次函數(shù)的圖像及其性質 【 試題解析 】 （ 1）拋物線 ： 與 方程 有兩個相等的實數(shù)根 解得 （ 2）拋物線 ： ，頂點坐標為（ 1， 0）， 拋物線 ： 的頂點坐標為（ 將拋物線 向左平移 2個單位長度，再向下平移 8個單位長度就可以得到拋物線 （ 3） 【 答案 】 （ 1） （ 2）見解析（ 3） 23 如圖， O 的一條弦，且 3 點 C， E 分別在 O 上，且 點 D， E=30， 連接 （ 1）求 長 ； 第 10 頁（共 7 頁） （ 2） 若 O 的另一條弦，且點 O 到 距離為 22， 直接寫出 度數(shù) 【 考點 】 圓的綜合題 【 試題解析 】 （ 1） ， B， 0 ， E， E=30， 0 在 ， =4 （ 2） 5或 15 【 答案 】 （ 1） 4;（ 2） 75或 15 24 奧林匹克公園觀光塔 由 五 座高度不等、錯落有致的獨立塔組成 在綜合實踐活動課中， 某小組的同學決定 利用測角儀測量 這五座塔中最高塔的高度 （ 測角儀 高度 忽略不計 ） 他們的 操作 方法 如下 ： 如圖， 他們 先在 B 處測得 最高塔塔 頂 A 的仰角為 45， 然后 向 最高塔的塔基 直行 90 米到達 C 處，再 次 測得 最高塔 塔 頂 A 的仰角為 58 請 幫助 他們 計算出 最高塔 的高度 為多少米 （ 參考數(shù)據(jù) ： 【 考點 】 解直角三角形 第 11 頁（共 7 頁） 【 試題解析 】 在 0， B=45， 0 B=45 B B 設 AD=x， 在 ， 8， D， 0， +90=x 將 解得 x 240 答：最高塔的高度 為 240米 【 答案 】 240m 25 如圖， 接于 O， O 的直徑 O 的切線， C 為切點 ， 點 D， 交 點 E （ 1） 求證： （ 2） 若 0， 2， 5，求 長 【 考點 】 圓的綜合題 【 試題解析 】 （ 1）證明：連接 圖 1 1+ 2=90 ， 0 第 12 頁（共 7 頁） A+ 3=90 C， A= 1 2= 3 3= 4， 2= 4 即 （ 2）作 ，如圖 2 0 在 0， ， B =8 在 ， = C 2= 4， C ， ， 0 2+ 5=90 A+ 2= 1+ 2=90 A= 5 5 = 在 = 第 13 頁（共 7 頁） 【 答案 】 見解析 26 閱讀下 面 材料： 如圖 1，在平面直角坐標系 線1y ax b與 雙曲線2 ky x交于 A（ 1， 3）和 B（ 3 ， 1 ）兩點 觀察圖象可知 ： 當 3x 或 1時，12 當 30x 或 1x 時，12即 通過 觀察 函 數(shù)的 圖象，可以得到不等式 的解集 有這樣一個問題：求不等式 324 4 0x x x 的解集 某同學根據(jù)學習以上知識的經驗，對求 不等式 324 4 0x x x 的解集進行了探究 下面是他的探究過程，請 將（ 2）、（ 3）、（ 4） 補充完整： （ 1）將不等式按條 件進行轉化 當 0x 時，原不等式不成立； 當 0x 時，原不等式可以轉化為 2 441 ； 當 0x 時，原不等式可以轉化為 2 441 ； （ 2）構造函數(shù)，畫出圖象 設 23 41y x x ，4 4y x，在同 一坐標系 中分別畫出這兩個函數(shù)的圖象 雙曲線4 4y x如圖 2 所示，請在此坐標系中 畫出拋物線 23 41y x x ； （不 用 列表） （ 3）確定兩個函數(shù)圖象公共點的橫坐標 圖 1 圖 2 第 14 頁（共 7 頁） 觀察所畫兩個函數(shù)的圖象，猜想并通過代入函數(shù)解析式驗證可知： 滿足34所有 x 的值為 ； （ 4）借助圖象，寫出解集 結合（ 1）的討論結果，觀察兩個函數(shù) 的圖象可知：不等式 324 4 0x x x 的解集為 【 考點 】 反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合 【 試題解析 】 （ 2）拋物線如圖所示； （ 3）根據(jù)圖像，兩個函數(shù)的相交時 到 ， 或 ； （ 4）根據(jù)函數(shù)圖像 或 在 上面，成立 【 答案 】 見解析 27 如圖，在平面直角坐標系 ， 二次函數(shù) 212y x b x c 的圖象 經過點 A（ 1 ， 0 ） ，且當 0x 和 5x 時 所 對應 的函數(shù)值相等 一次函數(shù) 3 與 二次函數(shù)212y x b x c 的圖象 分別交于 B， C 兩點，點 B 在第 一 象限 （ 1） 求 二次函數(shù) 212y x b x c 的 表達 式； （ 2） 連接 求 長 ； （ 3） 連接 M 是線段 中點， 將點 B 繞點 M 旋轉 180得到點 N，連接 斷四邊形 形狀 ， 并 證明你的結論 第 15 頁（共 7 頁） 【 考點 】 二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合 【 試題解析 】 （ 1）二次函數(shù) ， 當 和 時所對應的函數(shù)值相等， 二次函數(shù) 的圖象的對稱軸是直線 二次函數(shù) 的圖象經過點 A（ ， ）， 解得 二次函數(shù)的表達式為 （ 2）過點 D ，如圖 1 一次函數(shù) 與二次函數(shù) 的圖象分別交于 B， 解得 ， 交點坐標為（ 2， 1），（ 5， ） 點 點 2， 1） 點 2， ） 在 ， ， = （ 3）結論：四邊形 證明：設一次函數(shù) 的圖象與 ，連接 圖 2 點 旋轉 180得到點 N， 第 16 頁（共 7 頁） 四邊形 一次函數(shù) 的圖象與 ， 當 時， 點 3， 0） = 在 5 同理 5 0 四邊形 【 答案 】 見解析 28 在 ， 0， C= 4， M 為 中點 D 是 射線 一個動點，連接線段 點 A 逆時針旋轉 90得到線段 接 N 為 中點，連接 （ 1） 如圖 1，當 時， _， 位置關系是 _； （ 2） 當 4 時， 依題意補全圖 2； 判斷 （ 1） 中 位置關系是否發(fā)生變化，并證明你的結論； （ 3） 連接 點 D 運動的過程中， 當 長為何值時， 長 最小？ 最小值 是多 第 17 頁（共 7 頁） 少？請直接寫出結果 圖 1 圖 2 備用圖 【 考點 】 圖形的旋轉 【 試題解析 】 （ 1） ，垂直； （ 2）補全圖形如圖所示； 結論：（ 1）中 證明： 0， C， B=45 5 逆時針旋轉 90得到線段 E， 0 5， 45， 0 在 = 在 = 第 18 頁（共 7 頁） 點 80 90 0 （ 3）當 6 時， 為 2 【 答案 】 見解析 29 在平面直角坐標系 ， 過 C 上一點 P 作 C 的 切線 l 當入射光線照射在點 P 處時，產生反射，且滿足：反射光線與切線 l 的夾角 和 入射光線與切線 l 的夾角相等，點 P 稱為反射點 規(guī)定 ： 光線不能 “ 穿 過” C，即 當入射光線 在 C 外時 ，只在 圓 外 進行反射；當入射光線 在 C 內 時 ，只在