建模案例—飛行管理問題PPT參考課件.ppt

報(bào)告人 魯勝強(qiáng) 數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)講座 溫州醫(yī)學(xué)院 數(shù)學(xué)建模競賽中的優(yōu)化問題 95A 飛行管理問題 1 一個(gè)飛行管理問題 1 1問題描述1995年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中的A題 一個(gè)飛行管理問題 在約10000米高空的某邊長為160km的正方形區(qū)域內(nèi) 經(jīng)常有若干架飛機(jī)做水平飛行 區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度向量均由計(jì)算機(jī)記錄其數(shù)據(jù) 以便進(jìn)行飛行管理 當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)區(qū)域邊緣時(shí) 記錄其數(shù)據(jù)后 要立即計(jì)算并判斷是否會(huì)與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞 2 2020 3 20 現(xiàn)假定條件如下 不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為任意兩架飛機(jī)的距離大于8km 飛機(jī)飛行方向角調(diào)整幅度不應(yīng)超過30 所有飛機(jī)飛行速度均為800km h 進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)該區(qū)域邊緣時(shí) 與區(qū)域內(nèi)飛機(jī)的距離應(yīng)在60km以上 最多需考慮6架飛機(jī) 不必考慮飛機(jī)離開此區(qū)域后的情況 3 2020 3 20 請(qǐng)你對(duì)這個(gè)避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學(xué)模型 列出計(jì)算步驟 對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算 方向角誤差不超過0 01 要求飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小 該區(qū)域四個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為 0 0 160 0 160 160 0 160 記錄數(shù)據(jù)見表2 1 4 2020 3 20 表2 1飛機(jī)位置和方向角記錄數(shù)據(jù) 飛機(jī)編號(hào)橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)方向角 飛機(jī)編號(hào)橫坐標(biāo)x縱坐標(biāo)y方向角 說明 方向角指飛行方向與x軸正向的夾角 試根據(jù)實(shí)際應(yīng)用背景對(duì)你的模型進(jìn)行評(píng)價(jià)和推廣 5 2020 3 20 對(duì)問題仔細(xì)閱讀 首先抓住題目中的關(guān)鍵詞 管理 進(jìn)行聯(lián)想 抓住諸如 碰撞 調(diào)整 避免碰撞 立即 判斷 等等詞語 聯(lián)系解決問題的方案 不加約束繼續(xù)聯(lián)想 再將關(guān)鍵詞搭配起來 1 問題的前期分析 6 2020 3 20 160km 160km 飛行位置示意圖 7 2020 3 20 立即判斷 碰撞 條件 實(shí)時(shí) 算法 避免碰撞 調(diào)整方向角 實(shí)時(shí) 幅度盡量小 相對(duì) 距離 優(yōu)化問題 優(yōu)化算法 優(yōu)化調(diào)整方案 8 2020 3 20 問題的初步理解和想法 飛行管理問題是優(yōu)化問題 在調(diào)整方向角的幅度盡量小的同時(shí) 還必須注意調(diào)整方案及算法的實(shí)時(shí)性 9 2020 3 20 2 問題探究 1 優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)為何 方向角調(diào)整的盡量小 方向角如何表示 方向角的概念是什么 方向角的平方和 目標(biāo)函數(shù) 10 2020 3 20 任意兩架飛機(jī)的距離大于8公里 飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超過30 2 優(yōu)化問題的約束條件為何 兩點(diǎn)間距離表示方法 判斷避免碰撞的依據(jù) 把飛機(jī)視為點(diǎn) 總結(jié) 目標(biāo)函數(shù)和約束條件中都含有方向角 11 2020 3 20 3 分析6架飛機(jī)目前碰撞情況 描點(diǎn)作圖 分析飛機(jī)在飛行區(qū)域的時(shí)間 判斷5架飛機(jī)此刻的情況 判斷新進(jìn)入飛機(jī)與其他5架飛機(jī)碰撞的情況 12 2020 3 20 4 求解方法 特殊到一般 先考慮2架 然考慮3架 優(yōu)化問題為非線性規(guī)劃問題 編程求解 總結(jié) 初等算法和高等算法都可 創(chuàng)新之處 算法 13 2020 3 20 模型一及求解 模型建立這個(gè)問題顯然是一個(gè)優(yōu)化問題 設(shè)第i架飛機(jī)在調(diào)整時(shí)的方向角為 題目中已給出 調(diào)整后的方向?yàn)?題目中就是要求飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小 因此有化的目的函數(shù)可以是 1 14 2020 3 20 為了建立這個(gè)問題的優(yōu)化模型 只需要明確約束條件就可以了 一個(gè)簡單的約束是飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度不應(yīng)超過30 即 2 15 2020 3 20 題目中要求進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)在到達(dá)該區(qū)域邊緣時(shí) 與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)的距離應(yīng)在60km以上 這個(gè)條件是個(gè)初始條件 很容易驗(yàn)證目前所給的數(shù)據(jù)是滿足的 因此本模型中可以不予考慮 剩下的關(guān)鍵是要滿足題目中描述的任意兩架位于該區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)的距離應(yīng)該大于8km 但這個(gè)問題的難點(diǎn)在于飛機(jī)是動(dòng)態(tài)的 這個(gè)約束不好直接描述 為此我們首先需要描述每架飛機(jī)的飛行軌跡 16 2020 3 20 記飛機(jī)飛行速率為 800km h 以當(dāng)前時(shí)刻為0時(shí)刻 設(shè)第架飛機(jī)在調(diào)整時(shí)的位置坐標(biāo)為 已知條件 時(shí)刻的位置坐標(biāo)為 則 3 17 2020 3 20 如果要嚴(yán)格表示兩架位于該區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)的距離應(yīng)大于8km 則需要考慮每架飛機(jī)在區(qū)域內(nèi)的飛行時(shí)間的長度 記Ti為第架飛機(jī)飛出區(qū)域的時(shí)間 即 4 18 2020 3 20 記時(shí)刻第架飛機(jī)與第架飛機(jī)的距離為 并記 這時(shí)在區(qū)域內(nèi)飛機(jī)不相撞的約束條件就變成了 5 其中 6 此外 經(jīng)過計(jì)算可以得到 19 2020 3 20 7 8 9 10 20 2020 3 20 所以是一個(gè)關(guān)于t的二次函數(shù) 表示的是一條開口向上的拋物線 當(dāng)即 記為 時(shí) 函數(shù)取最小值 注意到 初始時(shí)刻不相撞 如果 即 則此時(shí)約束條件 5 一定成立 所以如果且 只要在右端點(diǎn)的函數(shù)值非負(fù)即可 即 21 2020 3 20 11 如果且 只需要求最小值即可 即 12 實(shí)際上 約束 11 表示的是在右端點(diǎn)的函數(shù)值非負(fù) 這個(gè)約束在 12 的條件下也是自然成立的 所以可以是對(duì)約束 11 不再附加且的條件 22 2020 3 20 于是我們的模型就是 13 14 15 16 23 2020 3 20 模型求解 上面這是一個(gè)非線性規(guī)劃模型 雖然是嚴(yán)格滿足題目要求的模型 但得到的模型邏輯關(guān)系比較復(fù)雜 約束 16 是在一定條件下才成立的約束 而且其中的計(jì)算式 4 也含有相當(dāng)復(fù)雜的關(guān)系式 使用LINGO軟件不太容易將模型很方便的輸入 因?yàn)檫壿嬏幚聿皇荓INGO的優(yōu)勢(shì)所在 即使想辦法把這個(gè)模型輸入到LINGO 也不一定能求出好的解 筆者嘗試過 但是LINGO運(yùn)行時(shí)有時(shí)會(huì)出現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)部錯(cuò)誤 可能是系統(tǒng)有問題 無法繼續(xù)求解 而且 在實(shí)時(shí)飛行調(diào)度中顯然需要快速求解 所以下面我們想辦法簡化模型 24 2020 3 20 這個(gè)模型麻煩之處就在于 要求嚴(yán)格表示兩架飛機(jī)的飛行距離應(yīng)大于8km 所以需要考慮每架飛機(jī)在區(qū)域內(nèi)的飛行時(shí)間的長度 比較繁瑣 注意到區(qū)域?qū)蔷€的長度只有 任何一架飛機(jī)在所考慮的區(qū)域內(nèi)停留的時(shí)間不會(huì)超過 因此這里我們簡化一下問題 25 2020 3 20 不再單獨(dú)考慮每架飛機(jī)在區(qū)域內(nèi)停留的時(shí)間 而是以最大時(shí)間 這是已經(jīng)是一個(gè)常數(shù) 代替之 此時(shí)所有 這實(shí)際上強(qiáng)化了問題的要求 即考慮了有些飛機(jī)可能已經(jīng)飛出區(qū)域 但仍不允許兩架飛機(jī)的距離小于8km 26 2020 3 20 程序 MODEL TITLE飛行管理問題的非線性規(guī)劃模型 SETS Plane 1 6 x0 y0 cita0 cita1 d cita cita0表示初始角度 cita1為調(diào)整后的角度 d cita為調(diào)整的角度 link plane plane ENDSETSDATA 27 2020 3 20 x0y0cita0 28 max cita 30 T max 0 283 V 800 ENDDATAINIT d cita 000000 ENDINIT for plane cita1 cita0 d cita for link i j b i j 2 x0 i x0 j sin cita1 i cita1 j 3 14159265 360 2 y0 i y0 j cos cita1 i cita1 j 3 14159265 360 c i j x0 i x0 j 2 y0 i y0 j 2 64 避免碰撞的條件 右端點(diǎn)非負(fù) for link i j Right 29 2020 3 20 2 V T max sin cita1 i cita1 j 3 14159265 360 2 b i j 2 V T max sin cita1 i cita1 j 3 14159265 360 c i j 0 最小點(diǎn)非負(fù) for link i j Minimum if b i j lt 0 and b i j 4 V sin cita1 i cita1 j 3 14159265 360 gt 0 and b i j 4 V sin cita1 i cita1 j 3 14159265 360 lt T max b i j 2 4 c i j 1 0 for link i j if b i j lt 0 b i j 2 4 c i j 1 0 for link free b 調(diào)整角度上下限 單位為角度 for plane bnd max cita d cita max cita obj MIN SUM plane d cita 2 obj MIN SUM plane abs d cita END 30 2020 3 20 運(yùn)行這個(gè)程序 結(jié)果得到的是一個(gè)局部極小點(diǎn) 調(diào)整角度較大 能找到更好的解嗎 如果不用全局求解程序 通常很難得到稍大規(guī)模的非線性規(guī)劃問題的全局最優(yōu)解 所以我們啟動(dòng)LINGO全局求解程序求解這個(gè)模型 過程省略 可以得到全局最優(yōu)解 可以看出 在0 01度的誤差要求下 需要調(diào)整第3 4 6三架飛機(jī)的角度 分別調(diào)整2 06度 0 5度 1 57度 調(diào)整量的平方和為6 95 其實(shí) 使用全局變量求解程序 通常也不一定要等到全局最優(yōu)解 而是觀察求解狀態(tài)窗口 看到一個(gè)較好的當(dāng)前解 或當(dāng)前最好解在較長時(shí)間內(nèi)不發(fā)生變化 時(shí) 就可以中止程序 用當(dāng)前最好的局部最優(yōu)解作為最后結(jié)果 例如對(duì)于本例 LINGO求出最優(yōu)解大約需要一分 而實(shí)際上5秒內(nèi)LINGO得到了與全局最優(yōu)解類似的解 31 2020 3 20 此外 上面的模型還可以進(jìn)一步簡化 例如可以假設(shè)要求飛機(jī)永遠(yuǎn)不相撞 即認(rèn)為為無窮大 這時(shí)顯然約束條件 15 是多余的 而且約束 16 中只需要的條件就可以了 也就是說上面程序中的對(duì)應(yīng)部分 約束和可以改寫為更簡單的形式 右端點(diǎn)非負(fù) 不再需要 最小點(diǎn)非負(fù) 需化為以下形式 實(shí)際計(jì)算結(jié)果顯示 此時(shí)得到的結(jié)果與前面計(jì)算的結(jié)果幾乎沒有差別 32 2020 3 20 備注 優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)除了外 也可以假定為或等 用LINGO求解的過程的是完全類似的 計(jì)算結(jié)果略有差異 這里就不再對(duì)這個(gè)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算了 甚至可以考慮讓參與調(diào)整的飛機(jī)的數(shù)量盡量少 這種想法在實(shí)際中也不能說沒有道理 但與題目的要求不符 而且解題難度并沒有減小 意義似乎不大 在實(shí)際調(diào)度中 由于計(jì)算上面的調(diào)度方案 需要時(shí)間將調(diào)度信息告知飛機(jī)駕駛員并做出調(diào)整方向角的操作也需要時(shí)間 因此如果考慮一定的反應(yīng)滯后時(shí)間應(yīng)該是比較合理的 也就是說 如果反應(yīng)時(shí)間是10秒 則計(jì)算中應(yīng)采用飛機(jī)沿當(dāng)前方向角飛行10秒以后的位置作為計(jì)算的基礎(chǔ) 33 2020 3 20 問題分析 根據(jù)題目的條件 可將飛機(jī)飛行的空域視為二維平面xoy中的一個(gè)正方形 頂點(diǎn)在 0 0 160 0 160 160 0 160 各架飛機(jī)的飛行方向角為飛行方向與x軸正向夾角 轉(zhuǎn)角 根據(jù)兩飛機(jī)不碰撞的標(biāo)準(zhǔn)為二者距離大于8km 可將每架飛機(jī)視為一個(gè)以飛機(jī)為圓心 以4為半徑的圓狀物體 每架飛機(jī)在空域中的狀態(tài)由圓心的位置矢量和飛行速度矢量確定 這樣兩架飛機(jī)是否碰撞就化為兩圓在運(yùn)動(dòng)中是否相交的問題 兩圓是否相交只要討論它們的相對(duì)運(yùn)動(dòng)即可 C 34 2020 3 20 建模時(shí)補(bǔ)充假定條件 1 飛機(jī)在所定區(qū)域內(nèi)作直線飛行 不偏離航向 2 飛機(jī)管理系統(tǒng)內(nèi)不發(fā)生意外 如發(fā)動(dòng)機(jī)失靈 或其他意外原因迫使飛機(jī)改變航向 4 飛機(jī)管理系統(tǒng)發(fā)出的指令應(yīng)被飛機(jī)立即執(zhí)行 即認(rèn)為轉(zhuǎn)向是瞬間完成的 忽略飛機(jī)轉(zhuǎn)向的影響 即轉(zhuǎn)彎半徑和轉(zhuǎn)彎時(shí)間的影響 3 飛機(jī)進(jìn)入?yún)^(qū)域邊緣時(shí) 立即作出計(jì)算 每架飛機(jī)按照計(jì)算后的指示立即作方向角改變 5 每架飛機(jī)在在整個(gè)過程中指點(diǎn)改變一次方向 6 新飛機(jī)進(jìn)入?yún)^(qū)域時(shí) 已在區(qū)域內(nèi)部的飛機(jī)的飛行方向已調(diào)整合適 不會(huì)碰撞 7 對(duì)每架飛機(jī)方向角的相同調(diào)整量的滿意程度是一樣的 建模方案二 35 2020 3 20 模型的建立 1 圓狀模型 采用相對(duì)速度作為研究對(duì)象 符號(hào)說明 i j 第i 第j架飛機(jī)的圓心 ij 第i 第j架飛機(jī)的碰撞角 ij ji vij 第i架飛機(jī)相對(duì)第j架飛機(jī)的相對(duì)飛行速度 lij 第i 第j架飛機(jī)的圓心距 i 第i架飛機(jī)的飛行方向與x軸正向夾角 逆時(shí)針為正 xi 第i架飛機(jī)的位置矢量 vi 第i架飛機(jī)的的速度矢量 ij 第i飛機(jī)對(duì)第j架飛機(jī)的相對(duì)速度與兩架飛機(jī)圓心連線的夾角 逆時(shí)針為正 不碰撞 ij ij 36 2020 3 20 2 由圓狀模型導(dǎo)出的方程 討論 ij的改變量與第i第j兩架飛機(jī)飛行方向角改變量 i j的關(guān)系 由題目條件知 vi A 800 可用復(fù)數(shù)表示速度 設(shè)第i j飛機(jī)飛行方向改變前的速度分別為 改變后的速度分別為 改變前后相對(duì)速度分別為 兩者之商的幅角就是 ij 37 2020 3 20 定理 對(duì)第i 第j兩架飛機(jī) 其相對(duì)速度方向 ij的改變量 ij等于兩飛機(jī)飛行方向角改變量之和的一半 即 38 2020 3 20 模型 目標(biāo)函數(shù) Min 其中 為各飛機(jī)方向角調(diào)整量的最大值 或?yàn)?約束條件 調(diào)整方向角時(shí)不能超過300 調(diào)整飛行方向后飛機(jī)不能碰撞 模型為 39 2020 3 20 化為線性規(guī)劃模型 由于 i可正可負(fù) 為使各變量均非負(fù) 引入新變量 模型化為 40 2020 3 20 模型求解 ij的計(jì)算 model sets plane 1 6 x0 y0 link plane plane alpha sin2 endsets for link i j i ne j sin2 i j 64 x0 i x0 j 2 y0 i y0 j 2 for link i j i ne j sin alpha 3 14159265 180 0 2 sin2 data x0 150 85 150 145 130 0 y0 140 85 155 50 150 0 enddataend 41 2020 3 20 ALPHA 1 1 1 234568ALPHA 1 2 5 391190ALPHA 1 3 752 2310ALPHA 1 4 5 091816ALPHA 1 5 2000 963ALPHA 1 6 2 234507ALPHA 2 1 5 391190ALPHA 2 2 1 234568ALPHA 2 3 4 804024ALPHA 2 4 6 613460ALPHA 2 5 5 807866ALPHA 2 6 3 815925ALPHA 3 1 752 2310ALPHA 3 2 4 804024ALPHA 3 3 1 234568ALPHA 3 4 4 364672ALPHA 3 5 1102 834ALPHA 3 6 2 125539ALPHA 4 1 5 091816 ALPHA 4 2 6 613460ALPHA 4 3 4 364672ALPHA 4 4 1 234568ALPHA 4 5 4 537692ALPHA 4 6 2 989819ALPHA 5 1 2000 963ALPHA 5 2 5 807866ALPHA 5 3 1102 834ALPHA 5 4 4 537692ALPHA 5 5 1 234568ALPHA 5 6 2 309841ALPHA 6 1 2 234507ALPHA 6 2 3 815925ALPHA 6 3 2 125539ALPHA 6 4 2 989819ALPHA 6 5 2 309841ALPHA 6 6 1 234568 42 2020 3 20 整理可得 ij的值 單位角度 也可以用MATLAB計(jì)算 ij的值 43 2020 3 20 x 150 85 150 145 130 0 y 140 85 155 50 150 0 k length x alpha zeros k fori 1 kforj 1 kifi jalpha i j 0 elsealpha i j 180 3 14159265 asin 8 sqrt x i x j 2 y i y j 2 endendendalpha 計(jì)算 ij的值程序?yàn)?計(jì)算結(jié)果為 44 2020 3 20 05 3911902372235 391190237223032 2309526723314 8040239337975 0918164485506 61346048987220 9633608931285 8078662434212 2345067369953 815924775399 32 2309526723315 0918164485504 8040239337986 61346048987204 3646718991114 364671899111022 8336542040094 5376924624022 1255388575512 989819139045 20 9633608931282 2345067369955 8078662434213 81592477539922 8336542040092 1255388575514 5376924624032 98981913904502 3098413654052 3098413654050 ij的計(jì)算 a 150 85 150 145 130 0 b 140 85 155 50 150 0 x a b i c 243 236 220 5 159 230 52 pi 180 v exp i c k length a fori 1 kforj 1 kbeita i j angle v i v j angle x j x i 180 pi endendbeita 用matlab程序編寫 45 2020 3 20 beita 0109 2636 128 250024 1798 186 934914 4749109 26360 88 8711 42 2436 92 30489 0000231 7500271 1289012 4763301 21380 310824 1798 42 243612 476305 9692 3 5256173 0651267 6952 58 78625 969201 914414 47499 00000 3108 3 52561 91440 運(yùn)算結(jié)果 最優(yōu)解的計(jì)算 用LINGO求解 程序如下 46 2020 3 20 model sets plane 1 6 cita link plane plane alpha beta endsetsmin sum plane abs cita for plane i bnd 30 cita i 30 for link i j i ne j abs beta i j 0 5 cita i 0 5 cita j alpha i j 47 2020 3 20 data alpha 0 000000 5 391190 32 230953 5 091816 20 963361 2 234507 5 391190 0 000000 4 8040024 6 813460 5 807866 3 815925 32 230953 4 804024 0 000000 4 364672 22 833654 2 125539 5 091816 6 613460 4 363673 0 000000 4 537692 2 989819 20 963361 5 807866 22 833654 4 537692 0 000000 2 309841 2 234507 3 815925 2 125539 2 989819 2 309841 0 000000 beta 0 000000109 263642 128 25000024 179830173 06505113 474934109 2636420 000000 88 871096 42 243563 92 3048479 000000 128 250000 88 870960 00000012 476311 58 7862430 31080924 179830 42 24356312 4763110 0000005 969234 3 525606174 065051 92 304846 58 7862445 9692340 0000001 91438314 4749349 0000000 310809 3 5256061 9133830 000000 enddataend 用MATLAB計(jì)算編程如下 48 2020 3 20 function f g plane x alph 0 000000 5 391190 32 230953 5 091816 20 963361 2 234507 5 391190 0 000000 4 8040024 6 813460 5 807866 3 815925 32 230953 4 804024 0 000000 4 364672 22 833654 2 125539 5 091816 6 613460 4 363673 0 000000 4 537692 2 989819 20 963361 5 807866 22 833654 4 537692 0 000000 2 309841 2 234507 3 815925 2 125539 2 989819 2 309841 0 000000 bet 0 000000109 263642 128 25000024 179830173 06505113 474934109 2636420 000000 88 871096 42 243563 92 3048479 000000 128 250000 88 870960 00000012 476311 58 7862430 31080924 179830 42 24356312 4763110 0000005 969234 3 525606174 065051 92 304846 58 7862445 9692340 0000001 91438314 4749349 0000000 310809 3 5256061 9133830 000000 f abs x 1 abs x 2 abs x 3 abs x 4 abs x 5 abs x 6 g 1 alpha 1 2 abs beta 1 2 0 5 x 1 0 5 x 2 g 2 alpha 1 3 abs beta 1 3 0 5 x 1 0 5 x 3 g 3 alpha 1 4 abs beta 1 4 0 5 x 1 0 5 x 4 g 4 alpha 1 5 abs beta 1 5 0 5 x 1 0 5 x 5 49 2020 3 20 g 5 alpha 1 6 abs beta 1 6 0 5 x 1 0 5 x 6 g 6 alpha 2 3 abs beta 2 3 0 5 x 2 0 5 x 3 g 7 alpha 2 4 abs beta 2 4 0 5 x 2 0 5 x 4 g 8 alpha 2 5 abs beta 2 5 0 5 x 2 0 5 x 5 g 9 alpha 2 6 abs beta 2 6 0 5 x 2 0 5 x 6 g 10 alpha 3 4 abs beta 3 4 0 5 x 3 0 5 x 4 g 11 alpha 3 5 abs beta 3 5 0 5 x 3 0 5 x 5 g 12 alpha 3 6 abs beta 3 6 0 5 x 3 0 5 x 6 g 13 alpha 4 5 abs beta 4 5 0 5 x 4 0 5 x 5 g 14 alpha 4 6 abs beta 4 6 0 5 x 4 0 5 x 6 g 15 alpha 5 6 abs beta 5 6 0 5 x 5 0 5 x 6 執(zhí)行程序 x0 0 0 0 0 0 0 v1 30 ones 1 6 v2 30 ones 1 6 opt x constr plane x0 opt v1 v2 50 2020 3 20 結(jié)果 x 0 00000576637983 0 000005766379832 58794980234726 0 000012434879850 000036204730951 04151019765274 最優(yōu)解 51 2020 3 20 模型檢驗(yàn) 各飛行方向按此方案調(diào)整后 系統(tǒng)各架飛機(jī)均滿足 ij I j 2 ij 結(jié)果是正確的 模型的評(píng)價(jià)與推廣 1 此模型采用圓狀模型分析碰撞問題是合理的 同時(shí)采用相對(duì)速度作為判別標(biāo)準(zhǔn) 既體現(xiàn)了碰撞的本質(zhì) 相對(duì)運(yùn)動(dòng) 又簡化了模型的計(jì)算 2 建模中用了適當(dāng)?shù)暮喕?將一個(gè)復(fù)雜的非線性規(guī)劃問題簡化為線性規(guī)劃問題 既求到合理的解 又提高了運(yùn)算速度 這對(duì)解決高速飛行的飛機(jī)碰撞問題是十分重要的 此模型對(duì)題目所提供的例子計(jì)算得出的結(jié)果是令人滿意的 3 由對(duì)稱性知模型中的約束個(gè)數(shù)是 n是飛機(jī)數(shù) 所有約束條件數(shù)是 計(jì)算量增加不大 52 2020 3 20 建模方案二 1 問題分析目的 不碰撞手段 調(diào)整飛行方向角要求 調(diào)整的幅度盡量小求解思路 1 找出不碰撞的條件 可用matlab畫出各架飛機(jī)在t 0時(shí)刻的位置和飛行方向 2 求調(diào)整幅度的極小值 53 題目的條件 1 飛機(jī)在正方形區(qū)域內(nèi)水平飛行 根據(jù)