數(shù)字圖像處理-傅立葉變換.ppt

圖像變換的作用傅立葉變換離散傅立葉變換傅立葉變換的性質(zhì)二維傅立葉變換 圖像變換 一 圖像變換的作用 圖像變換的定義是將圖像從空域變換到其它域 如頻域 的數(shù)學(xué)變換圖像變換的作用我們?nèi)祟愐曈X所感受到的是在空間域和時(shí)間域的信號 但是 往往許多問題在頻域中討論時(shí) 有其非常方便分析的一面 1 方便處理2 便于抽取特性 常用的變換傅立葉變換FourierTransform2 離散余弦變換DiscreteCosineTransform3 沃爾什 哈達(dá)瑪變換Walsh HadamardTransform 二 傅立葉變換 傅立葉變換的作用 1 可以得出信號在各個(gè)頻率點(diǎn)上的強(qiáng)度 2 可以將卷積運(yùn)算化為乘積運(yùn)算 3 傅氏變換和線性系統(tǒng)理論是進(jìn)行圖像恢復(fù)和重構(gòu)的重要手段 4 傅立葉變換能使我們從空間域與頻率域兩個(gè)不同的角度來看待圖像的問題 有時(shí)在空間域無法解決的問題在頻域卻是顯而易見的 傅立葉變換的定義 傅立葉變換 若f x 為一維連續(xù)實(shí)函數(shù) 則它的傅里葉變換可定義為 傅立葉逆變換定義如下 函數(shù)f x 和F u 被稱為傅立葉變換對 即對于任一函數(shù)f x 其傅立葉變換F u 是惟一的 反之 對于任一函數(shù)F u 其傅立葉逆變換f x 也是惟一的 傅里葉變換的條件 傅里葉變換在數(shù)學(xué)上的定義是嚴(yán)密的 它需要滿足如下狄利克萊條件 1 具有有限個(gè)間斷點(diǎn) 2 具有有限個(gè)極值點(diǎn) 3 絕對可積 F u 可以表示為如下形式 F u 稱為F u 的模 也稱為函數(shù)f x 的傅立葉譜 稱為F u 的相角 稱為函數(shù)f x 的能量譜或功率譜 高斯函數(shù)的定義為 例1高斯函數(shù)的傅立葉變換 根據(jù)傅立葉變換的定義可得 令x ju t 上式可以化為 結(jié)論 與 即 高斯函數(shù)的傅立葉變換依然是高斯函數(shù) 為傅立葉變換函數(shù)對 例2 矩形函數(shù) 矩形函數(shù)形式如下 根據(jù)傅立葉變換的定義 其傅立葉變換如下 可得矩形函數(shù)f x 的傅立葉頻譜為 幾何圖形如下頁圖 b 所示 線性系統(tǒng)與傅立葉變換 傅立葉變換在圖像濾波中的應(yīng)用首先 我們來看Fourier變換后的圖像 中間部分為低頻部分 越靠外邊頻率越高 因此 我們可以在Fourier變換圖中 選擇所需要的高頻或是低頻濾波 傅立葉變換在卷積中的應(yīng)用直接進(jìn)行時(shí)域中的卷積運(yùn)算是很復(fù)雜的 傅立葉變換將時(shí)域的卷積變換為頻域的乘積 三 離散傅立葉變換 離散傅立葉變換的定義 要在數(shù)字圖像處理中應(yīng)用傅立葉變換 還需要解決兩個(gè)問題 一是在數(shù)學(xué)中進(jìn)行傅立葉變換的f x 為連續(xù) 模擬 信號 而計(jì)算機(jī)處理的是數(shù)字信號 圖像數(shù)據(jù) 二是數(shù)學(xué)上采用無窮大概念 而計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行有限次計(jì)算 通常 將受這種限制的傅立葉變換稱為離散傅立葉變換 DiscreteFourierTransform DFT 離散傅立葉變換 離散傅立葉變換的定義 離散傅立葉正變換 離散傅立葉逆變換 四 傅立葉變換的性質(zhì) 加法定理位移定理相似性定理卷積定理能量保持定理 加法定理 位移定理 相似性定理結(jié)論 一個(gè) 窄 的函數(shù)有一個(gè) 寬 的頻譜 旋轉(zhuǎn)不變性 由旋轉(zhuǎn)不變性可知 如果時(shí)域中離散函數(shù)旋轉(zhuǎn) 角度 則在變換域中該離散傅立葉變換函數(shù)也將旋轉(zhuǎn)同樣的角度 離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)不變性如圖所示 圖離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)不變性 a 原始圖像 b 原始圖像的傅立葉頻譜 c 旋轉(zhuǎn)45 后的圖像 d 圖像旋轉(zhuǎn)后的傅立葉頻譜 卷積定理 能量保持定理 五 二維傅立葉變換 1 二維連續(xù)函數(shù)傅立葉變換的定義 二維傅立葉正變換 二維傅立葉逆變換 2 二維離散函數(shù)傅立葉變換的定義 根據(jù)一維離散傅立葉變換的定義和二維連續(xù)傅立葉變換理論 對于一個(gè)具有M N個(gè)樣本值的二位離散序列f x y x 0 1 2 3 M 1 y 0 1 2 3 N 1 其傅立葉變換為 1 二維離散傅立葉正變換 2 二維離散傅立葉逆變換 若已知頻率二維序列F u v u 0 1 2 3 M 1 v 0 1 2 3 N 1 則二維離散序列F u v 的傅立葉逆變換定義為 x y和 u v 分別為空間域采樣間隔和頻率域采樣間隔兩者之間滿足如下關(guān)系 式中序列R u v 和I u v 分別表示離散序列F u v 的實(shí)序列和虛序列 二維序列f x y 的頻譜 傅立葉幅度譜 相位譜和能量譜 功率譜 分別如下 F u v 可以表示為如下形式 1 線性特性 3 二維離散傅立葉變換的性質(zhì) 2 比例性質(zhì) 3 平移性質(zhì) 二維傅立葉變換的移位特性表明 當(dāng)用乘以f x y 然后再進(jìn)行乘積的離散傅里葉變換時(shí) 可以使空間頻率域u v平面坐標(biāo)系的原點(diǎn)從 0 0 平移到 u0 v0 的位置 4 可分離性 二維傅立葉變換的可分離特性表明 一個(gè)二維傅立葉變換可通過二次一維傅立葉變換來完成 即 第一次先對y進(jìn)行一維傅立葉變換 在此基礎(chǔ)上對x進(jìn)行一維傅立葉變換 變量分離步驟如圖所示 若已知頻率二維序列F u v 則二維可分離性對傅立葉逆變換同樣適應(yīng) 逆變換的分離性也同樣可以分解為兩次一維傅立葉變換 5 周期性 如果二維離散函數(shù)f x y 的傅里葉變換為F u v 則傅立葉變換及其逆變換存在如下周期特性 6 共軛對稱性 半周期的傅里葉頻譜 全周期的傅里葉頻譜 一幅二維圖像的傅里葉頻譜 中心化的傅里葉頻譜 7 旋轉(zhuǎn)不變性 圖像f x y 可以表示為f r 同樣 空間頻率域的F u v 采用極坐標(biāo)可以表示為F 二維離散傅立葉存在如下旋轉(zhuǎn)特性 a 原始圖像 b DFT變換 c 原始圖像旋轉(zhuǎn)45 d 旋轉(zhuǎn)之后DFT變換結(jié)果 8 微分性質(zhì) 9 平均值性質(zhì)平均值定義如下 平均值性質(zhì)如下 即 結(jié)論 二維離散函數(shù)的平均值等于其傅立葉變換在頻率原點(diǎn)處值的1 MN 10 卷積定理 f x y h x y F u v H u v f x y h x y F u v H u v 二維傅立葉變