數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)研究——植樹問題.doc

課堂學(xué)習(xí)研究植樹問題課堂學(xué)習(xí)研究小組由兩名主管領(lǐng)導(dǎo)和9名小學(xué)數(shù)學(xué)教師組成。整個研究循環(huán)從2012年2月持續(xù)到2012年6月，在這期間，研究小組利用課外時間共召開了10次研討會議。研究過程包括四個階段：選擇課題并初擬學(xué)習(xí)內(nèi)容、設(shè)計課堂前測并根據(jù)前測設(shè)計教學(xué)、教學(xué)實踐及課堂后測、總結(jié)評估研究課的效果。一、第一階段：選擇課題、初擬學(xué)習(xí)內(nèi)容并設(shè)計課堂前測1、選擇課題選擇一個有價值的、有意義的，值得研究的內(nèi)容是課堂學(xué)習(xí)研究的首要環(huán)節(jié)。本次課題內(nèi)容的選擇是在總結(jié)上學(xué)期課堂學(xué)習(xí)研究的經(jīng)驗，延伸上學(xué)期研究重點的基礎(chǔ)上，在解決問題這一大課題下各教研組先根據(jù)自己年級本學(xué)期的教材，討論確定本年級的研究點，再從五個研究點中選擇一個作為本學(xué)期的課題研究點。在2月13日召開的教研組長會議上，各年級確定的研究點分別是：一年級圖文應(yīng)用題；二年級單元教材重構(gòu)，小括號的靈活運用研究；三年級的連乘應(yīng)用題；四年級的植樹問題；五年級的長方體、正方體整理復(fù)習(xí)。最后討論確定“植樹問題”作為本學(xué)期的研究內(nèi)容。植樹問題是一種情況較為復(fù)雜的問題解決，這一教學(xué)內(nèi)容本身具有很高的數(shù)學(xué)思維和很強的探究空間，既需要教師的有效引領(lǐng)，也需要學(xué)生的自主探究。植樹問題包括兩個大的方面，一是在直線上植樹，二是在封閉圖形上植樹。直線上植樹又有三種不同情況：兩端都種、兩端都不種、一端種一端不種，根據(jù)四年級學(xué)生的認(rèn)知實際，選定將兩端都種的情況作為第一課時教學(xué)，定位準(zhǔn)確，關(guān)注了學(xué)生學(xué)習(xí)的起點，符合中段兒童的認(rèn)知規(guī)律。如果一節(jié)課將直線上植樹的三種情況一起來探究學(xué)習(xí)，必然會造成知識容量大，學(xué)生學(xué)得累，掌握效果不佳的后果。在此認(rèn)識基礎(chǔ)上進(jìn)一步確定“植樹問題”的兩個研究點：一是解決植樹問題數(shù)學(xué)思想方法的滲透：猜想驗證應(yīng)用；二是解決植樹問題策略的滲透。我們遇到問題時，可以先給出一個猜測，要判斷這個猜測是否正確，可以先用比較簡單的例子來驗證，從簡單的事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再應(yīng)用找到的規(guī)律來解決原來的問題，最后聯(lián)系實際生活，解決實際生活中運用植樹問題思想方法解決的問題，將數(shù)學(xué)問題生活化，體現(xiàn)生活數(shù)學(xué)的教學(xué)理念。2、初擬學(xué)習(xí)內(nèi)容確定研究課題后，研究小組首先采用同課異構(gòu)的方式進(jìn)行了分組備課，再將各教研組的教學(xué)設(shè)計匯總討論，在討論的基礎(chǔ)上由第一輪授課的教師根據(jù)自己的授課風(fēng)格形成第一輪授課的教學(xué)預(yù)案：情境導(dǎo)入環(huán)節(jié)通過介紹植樹英雄楊善洲老人進(jìn)行情感教育，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；探究環(huán)節(jié)首先借助例題創(chuàng)設(shè)有效問題情境，學(xué)生獨立思考，引發(fā)猜想；然后借助操作材料：泡沫條當(dāng)小路，用自制小樹體驗植樹過程，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后運用規(guī)律，驗證猜想；拓展訓(xùn)練環(huán)節(jié)圍繞植樹問題，加強數(shù)學(xué)模型的變式應(yīng)用訓(xùn)練；最后針對植樹問題進(jìn)行課堂延伸，介紹數(shù)學(xué)世界三大難題之一的“二十棵樹問題”。3、設(shè)計課堂前測1、在全長5米的小路一邊植樹，每隔1米栽一棵（兩端都栽），能栽幾棵樹？請你畫出示意圖。2、如果在全長20米的小路一邊植樹，每隔1米栽一棵（兩端都栽），能栽幾棵樹？請你列式解答。3、有9個同學(xué)站成一行做操，每兩個同學(xué)之間有1米，9個同學(xué)之間一共有多少米？請你列式解答。接下來我們對學(xué)生進(jìn)行了前測和訪談。課堂前測的目的是為了了解學(xué)生對植樹問題的已有認(rèn)識及認(rèn)識水平。經(jīng)過討論確定了課堂前測的兩個方面：一是測試學(xué)生能否通過畫示意圖找到答案；二是了解學(xué)生能否遷移第一題通過畫圖對植樹問題形成的認(rèn)知以及畫圖解決問題的方法列式計算解答第二、三題。最終測試內(nèi)容設(shè)定如下：選取高、中、低學(xué)業(yè)成績的小學(xué)四年級學(xué)生各3名，共9名學(xué)生參加了課堂前測，測試結(jié)果總結(jié)如下表： 第一次前測情況統(tǒng)計題目第一題第二題第三題正確人數(shù)121百分比11%22%11%綜合分析前測情況，學(xué)生能借助畫示意圖解決問題，對植樹問題有一定的認(rèn)知，但大多數(shù)學(xué)生對間隔數(shù)與棵數(shù)的關(guān)系認(rèn)識不清晰，更不能靈活、合理運用到解題中，不會通過列式表達(dá)解題思路。這就提醒我們教學(xué)兩端都栽的植樹問題時要首先采取措施強化棵數(shù)比間隔數(shù)多1的認(rèn)識，其次要運用變易理論引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建植樹問題的數(shù)學(xué)模型，再運用數(shù)學(xué)模型解決問題。4、課堂前測的修改通過第一次前測發(fā)現(xiàn)學(xué)生能借助畫圖解決問題，只是忘記將問題做總結(jié)性表述導(dǎo)致錯誤，而這并不是前測的目標(biāo)，為了避免這一問題造成的困擾，將前測第一題改為畫圖填空方式；另外從前測訪談中了解到“每隔1米栽一棵”和“每兩個同學(xué)之間有1米”的數(shù)學(xué)信息對學(xué)生有一定困擾，作為前測不合適，也對這樣的數(shù)學(xué)信息進(jìn)行了相應(yīng)的修改。修改后的測試內(nèi)容如下：1、在全長10米的小路一邊植樹，每隔2米栽一棵（兩端都栽），能栽（ ）棵樹。請你畫出示意圖，再填空。2、如果在全長100米的小路一邊植樹，每隔2米栽一棵（兩端都栽），能栽幾棵樹？請你列式解答。3、有9個同學(xué)站成一行做操，每兩個同學(xué)之間有2米，9個同學(xué)之間一共有多少米？請你列式解答。接下來的兩輪教學(xué)都采用了這樣的前測，前測情況如下表： 題目第二次前測情況第三次前測情況正確人數(shù)百分比正確人數(shù)百分比第一題667%889%第二題444%556%第三題444%667%這一前測結(jié)果使我們意識到：學(xué)生對植樹問題的認(rèn)識并不是空白，如何在學(xué)生對植樹問題的已有認(rèn)識的基礎(chǔ)上使學(xué)生的認(rèn)識有所提升是教學(xué)的重點，教學(xué)的目標(biāo)絕不僅僅是會做植樹問題的題目，更重要的是借助學(xué)生畫圖解決問題的已有功底制造認(rèn)知沖突，滲透數(shù)形結(jié)合、化繁為簡的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生在解決植樹問題的過程中掌握解決問題的方法，提升學(xué)生解決問題的能力。二、第二階段：教學(xué)設(shè)計及三輪教學(xué)實踐根據(jù)前測、訪談情況研究小組的教師開始教學(xué)設(shè)計：首先我們對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了進(jìn)一步的確認(rèn)：學(xué)習(xí)內(nèi)容關(guān)鍵特征情境導(dǎo)入激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，感知植樹問題來源于生活。探究新知（1）聯(lián)系生活實際，創(chuàng)設(shè)有效問題情境，引發(fā)猜想。（2）借助操作材料，滲透化繁為簡的思想，探究規(guī)律。（3）運用規(guī)律，驗證猜想。拓展訓(xùn)練（1）回顧數(shù)學(xué)模型：棵數(shù)=路長間距+1，同時聚焦變化點“小路兩旁”。（2）引導(dǎo)數(shù)學(xué)模型變式：路長=（棵數(shù)1）間距；間距=路長（棵數(shù)1）?？偨Y(jié)延伸針對植樹問題進(jìn)行課堂延伸。其次根據(jù)確定的教學(xué)內(nèi)容及其關(guān)鍵特征，經(jīng)過兩次研討會議確立了教學(xué)預(yù)案：情境導(dǎo)入環(huán)節(jié)通過介紹植樹英雄楊善洲老人進(jìn)行情感教育，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；探究環(huán)節(jié)首先借助例題創(chuàng)設(shè)有效問題情境，學(xué)生獨立思考，引發(fā)猜想；然后借助操作材料：泡沫條當(dāng)小路，用自制小樹體驗植樹過程發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后運用規(guī)律，驗證猜想；拓展訓(xùn)練環(huán)節(jié)圍繞植樹問題，加強數(shù)學(xué)模型的變式應(yīng)用訓(xùn)練；最后針對植樹問題進(jìn)行課堂延伸，介紹數(shù)學(xué)世界三大難題之一的“二十棵樹問題”。最后確定了一位授課教師用三個循環(huán)在四年級分別教授研討課，其他教師進(jìn)行觀察，每次授課結(jié)束后馬上召開課后會議。在會議上首先授課教師進(jìn)行教后反思，然后其他聽課教師分享聽課心得和觀察結(jié)果。下面是三輪教學(xué)實踐的教學(xué)設(shè)計、變易圖式，以及授課教師、觀課教師反思：1、第一輪教學(xué)實踐（1）第一輪教學(xué)設(shè)計及變易的使用：情境導(dǎo)入：介紹2011年度感動中國人物楊善洲，楊善洲老人創(chuàng)造了使一座光山變成綠海的奇跡，留下的是一片綠蔭和一種精神！借此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。探究新知：聯(lián)系生活實際，創(chuàng)設(shè)有效問題情境，引發(fā)猜想：為了美化校園環(huán)境，學(xué)校準(zhǔn)備在操場邊上的一條100米長的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端都栽） ，需要準(zhǔn)備多少棵樹苗？猜猜看。預(yù)設(shè)學(xué)生猜20棵或21棵。借助操作材料，滲透化繁為簡的思想方法，探究規(guī)律：研究報告提供路長、間距，學(xué)生用泡沫條當(dāng)小路與自制的小樹模型操作植樹，通過植樹體驗活動研究間隔數(shù)和棵數(shù)的關(guān)系，觀察發(fā)現(xiàn)“棵數(shù)比間隔數(shù)多1”的規(guī)律。運用規(guī)律，驗證猜想：1005+1=21（棵）拓展訓(xùn)練：在全長2千米的小路兩旁栽樹，每隔5米栽一棵（兩端都栽），一共需要多少棵樹苗？借此題回顧數(shù)學(xué)模型：棵數(shù)=路長間距+1，同時聚焦變化點“小路兩旁”。園林工人沿公路一側(cè)植樹，每隔6米種一棵，一共種了36棵，從第1棵到最后一棵的距離有多遠(yuǎn)？借此題引導(dǎo)數(shù)學(xué)模型變式：路長=（棵數(shù)1）間距。園林工人在長2千米的小路一邊栽樹（兩端都栽），一共栽了41棵，平均每隔幾米栽一棵？借此題引導(dǎo)數(shù)學(xué)模型變式：間距=路長（棵數(shù)1）?？偨Y(jié)延伸：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了植樹問題，發(fā)現(xiàn)了植樹的規(guī)律，并能運用規(guī)律解決生活中的實際問題。在數(shù)學(xué)世界有三大難題，“二十棵樹問題”就是其中之一，有興趣的同學(xué)可以在課余時間查閱相關(guān)資料。變易圖式：關(guān)鍵特征不變變教學(xué)活動CF1獨立思考，提出猜想，對比猜想結(jié)論。 需要解決的問題解題結(jié)論：20棵或21棵活動一：學(xué)生在獨立解題過程中出現(xiàn)了兩種猜想結(jié)論，造成認(rèn)知沖突。CF2探究規(guī)律，驗證猜想。間隔數(shù)=路長間距棵數(shù)=間隔數(shù)+1教師提供三組不同的探究事例活動二：借助操作材料，滲透化繁為簡的思想方法，探究規(guī)律，驗證猜想。CF3拓展訓(xùn)練，靈活運用。兩端都栽的植樹問題數(shù)學(xué)模型變式：棵數(shù)=路長間距+1路長=（棵數(shù)1）間距間距=路長（棵數(shù)1）活動三：通過拓展訓(xùn)練，提高運用規(guī)律解決問題的能力。（2）第一輪授課教師反思學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，我認(rèn)為在教學(xué)的探究活動中讓學(xué)生動手操作、親身體驗這一環(huán)節(jié)最能體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。所以在第一輪授課中的探究活動環(huán)節(jié)我設(shè)計讓學(xué)生分別用10厘米、20厘米、40厘米長的泡沫條當(dāng)做小路，牙簽當(dāng)做小樹動手栽一栽，以期通過動手操作得到正確的答案和結(jié)論。但是實踐表明泡沫條具有一定的局限性，比如說當(dāng)學(xué)生將兩條20厘米長的泡沫條合成40厘米長的小路時，由于泡沫條的斷口不齊或者學(xué)生之前操作不當(dāng)將泡沫條損壞，學(xué)生就不能正確的操作。從而我們并沒有完全達(dá)到探究活動的目的。只有部分學(xué)生得到了正確的答案，少數(shù)學(xué)生從三個正確的答案中歸納出植樹問題中兩端都栽的數(shù)學(xué)模型：棵數(shù)=間隔數(shù)+1。在授課之后我認(rèn)為探究活動的方式需要改動，四年級的學(xué)生已經(jīng)具備了基本的畫圖能力，可以將學(xué)生的動手栽一栽改為動手畫一畫，這也體現(xiàn)了本節(jié)課的數(shù)學(xué)思想方法數(shù)形結(jié)合。（3）第一輪觀課教師反思倫孝榮老師：通過前測和訪談，我們發(fā)現(xiàn)孩子們分析植樹問題時對間隔數(shù)和間距及棵數(shù)之間的關(guān)系不能很好的建立聯(lián)系，感覺無從下手。我們分析認(rèn)為孩子們由于對間距和間隔數(shù)這兩個概念不理解，造成整體上對題意的不理解。間距是相鄰兩棵樹之間的距離，間隔數(shù)是間隔的個數(shù)。這兩個概念都和間隔有關(guān)系，一個是間隔的長度，一個是間隔的個數(shù)。怎樣讓孩子們對這些概念建立聯(lián)系呢？我們一致認(rèn)為利用課件演示生活中的多個間隔的例子，喚起學(xué)生的認(rèn)知感覺。張老師執(zhí)教過程中出現(xiàn)了路燈、成排的大樹、線段圖等例子，生動的畫面讓學(xué)生很好的理解了間隔數(shù)和間距的概念，為后面的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。個人認(rèn)為如果同時更多的出現(xiàn)排隊、旗桿、鋸木頭、敲鐘等植樹問題的例子，學(xué)生能更好的理解間隔問題。并且只有讓學(xué)生在這兒更好的理解點與間隔的關(guān)系，在今后的教學(xué)中才會明白為什么植樹問題有三種情況。大王芳老師：作為一名從高中教學(xué)一線下來，走進(jìn)小學(xué)課堂的一名年輕的老師，張麗麗老師在課堂上體現(xiàn)出了自己扎實的基本功。無論是語言的準(zhǔn)確，對課堂的把控能力，還是跟學(xué)生之間的交流，都有較好地處理。導(dǎo)課部分，從我們熟知的人物楊善洲的事跡入手，利用手指和間隔的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生明確，棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系。這是本節(jié)課的重點所在，教師利用實物、畫圖、多媒體等多種形式，幫助學(xué)生理解。在此基礎(chǔ)上，利用所學(xué)解決問題。環(huán)節(jié)清晰，思路明確。如果在各個教學(xué)環(huán)節(jié)的過渡、語言的組織，跟學(xué)生的共識等方面再做進(jìn)一步的雕琢，會讓整節(jié)課有一個更高層次的感覺。小王芳老師：本節(jié)課的導(dǎo)入過于冗長，而且利用楊善洲進(jìn)行導(dǎo)入沒有起到好的作用，不能引起學(xué)生的共鳴。利用泡沫條進(jìn)行的操作活動效果欠佳，關(guān)鍵是學(xué)生在操作中泡沫條的拼接造成了認(rèn)識上的混淆，不如直接用線段圖來解決更加適合高年級的學(xué)生認(rèn)知特點。宋淑紅老師：植樹問題是一種情況較為復(fù)雜的問題解決，這一教學(xué)內(nèi)容本身具有很高的數(shù)學(xué)思維和很強的探究空間，既需要教師的有效引領(lǐng)，也需要學(xué)生的自主探究。張老師執(zhí)教的這一堂課，主線明朗清晰，目標(biāo)定位準(zhǔn)確，練習(xí)設(shè)計巧妙，主要表現(xiàn)在： 關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，合理安排教學(xué)內(nèi)容：植樹問題應(yīng)是兩個大的方面，一是在直線上植樹，二是在封閉圖形上植樹。直線上植樹又有三種不同情況：兩端都種、兩端都不種、一端種一端不種，老師根據(jù)四年級學(xué)生的認(rèn)知實際，選定將兩端都種的情況作為第一課時教學(xué)，定位很準(zhǔn)確，關(guān)注了學(xué)生學(xué)習(xí)的起點，符合中段兒童的認(rèn)知規(guī)律。如果一節(jié)課將直線上植樹的三種情況一起來探究學(xué)習(xí)，必然會造成知識容量大，學(xué)生學(xué)得累，掌握效果不佳的后果。聯(lián)系生活實際，創(chuàng)設(shè)問題情境：教師通過介紹2011年度“感動中國”人物楊善洲，導(dǎo)入新課，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)問題來源于生活實踐。（楊善洲老人1988年從地委書記崗位退休后，主動放棄城市優(yōu)越的生活條件，帶領(lǐng)家人和群眾扎根大亮山，義務(wù)植樹造林20多年，逐步建成了占地面積約5.6萬畝的大亮山林場，創(chuàng)造了使一座光山變成綠海的奇跡。楊善洲留下的是一片綠蔭和一種精神?。┰诖嘶A(chǔ)上出示例1：為了美化校園環(huán)境，學(xué)校準(zhǔn)備在操場邊上的一條100米長的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。需要準(zhǔn)備多少棵樹苗？學(xué)生獨立思考，對學(xué)生可能出現(xiàn)的猜想結(jié)論采用延遲評價方式，造成認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生尋求可行性的方法驗證自己的數(shù)學(xué)猜想。圍繞數(shù)學(xué)模型設(shè)計變式練習(xí)，訓(xùn)練靈活應(yīng)用能力：變式練習(xí)一：在全長2千米的小路兩旁栽樹，每隔5米栽一棵（兩端都栽），一共需要多少棵樹苗？（側(cè)重檢測審題能力）；變式練習(xí)二：園林工人沿公路一側(cè)植樹，每隔6米種一棵，一共種了36棵，從第1棵到最后一棵的距離有多遠(yuǎn)？（側(cè)重檢測數(shù)學(xué)模型變式應(yīng)用能力：路長=（棵數(shù)1）間距）；變式練習(xí)三：園林工人在長2千米的小路一邊栽樹（兩端都栽），一共栽了41棵，平均每隔幾米栽一棵？（側(cè)重檢測數(shù)學(xué)模型變式應(yīng)用能力：間距=路長（棵數(shù)1）。當(dāng)然，本堂課也有一些值得商榷的地方，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：導(dǎo)課的有效性有待商榷：從植樹造林英雄人物楊善洲導(dǎo)課對本節(jié)課教學(xué)沒有太多實際意義，而且導(dǎo)課時間過長，造成后面的探究學(xué)習(xí)不充分，練習(xí)時間沒有保障。探究的有效性有待商榷：探究應(yīng)該是發(fā)自學(xué)生內(nèi)心的一種探究欲望，而不是跟隨老師探究的步伐，本堂課張老師似乎給學(xué)生安排好了探究之路，僅僅是讓學(xué)生按照老師的預(yù)設(shè)進(jìn)行探究，而不是學(xué)生根據(jù)自己的意愿進(jìn)行真正意義上的自主探究。再就是根據(jù)中高年級段學(xué)生的思維特點和學(xué)習(xí)能力建議放棄操作材料，改用畫線段圖的方法探究植樹問題的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)思想方法的滲透有待商榷：植樹問題的教學(xué)應(yīng)定位于通過數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的思想方法，學(xué)會運用數(shù)學(xué)思想方法嘗試解決問題，體驗解決問題的策略、方法。因此數(shù)學(xué)體驗活動是很重要的，特別是化繁為簡的數(shù)學(xué)思想要讓學(xué)生自己通過活動深切的感受到，而不是教師直接告知。劉新愛老師：優(yōu)點： 注重了數(shù)學(xué)思想方法的滲透，以感知探究應(yīng)用為主線，猜想、驗證貫穿始終。例題設(shè)計降低了難度，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，通過改小數(shù)據(jù)，從簡單例子入手研究，體現(xiàn)了復(fù)雜問題簡單化的思想?？傞L一定多次更改間隔和間距，從不同結(jié)果發(fā)現(xiàn)棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系，應(yīng)用了不完全歸納法得出了結(jié)論，建立了數(shù)學(xué)模型。不足：導(dǎo)課介紹感動中國十大杰出人物楊善洲的事跡，聯(lián)系實際，體現(xiàn)了理論與生活相結(jié)合，但用時過長，影響了后面的教學(xué)。間隔、間距重點詞語的解釋不到位，導(dǎo)致學(xué)生到后面操作時還是不理解。田茂艷老師：以一道植樹例題為載體，營造了突破全課教學(xué)重點及難點的高潮。先讓學(xué)生嘗試解答，對解答方法教師推后評價，引發(fā)學(xué)生“爭議”，在“爭議”中尋找教學(xué)的突破口，引導(dǎo)學(xué)生對想法展開驗證，這充分關(guān)注了學(xué)生的思維起點，讓學(xué)生經(jīng)歷猜想驗證的研究過程并獲得體驗。老師關(guān)注到了數(shù)學(xué)思想方法的滲透，并引導(dǎo)學(xué)生使用了以小見大的思想方法，學(xué)生體會到了它的作用，但由于沒有適時地回顧、總結(jié)所運用的思想方法，學(xué)生不知道運用了這樣的思想方法，以致對這種思想方法沒有充分的感知。曾書權(quán)老師：教師導(dǎo)課時，故事敘述費時太多，對后面的教學(xué)沒多大用途，與知識聯(lián)接不緊湊，“間距”概念的引出太突然，學(xué)生理解不到位，與“間隔數(shù)”概念混淆，教學(xué)過程，多數(shù)學(xué)生不能有效的解決問題，教師能夠循循善誘，引導(dǎo)學(xué)生思考，從而體會化繁為簡的思想。接著教師又指導(dǎo)學(xué)生通過小組合作去探究、驗證植樹問題的規(guī)律，進(jìn)一步讓學(xué)生深刻的體會化繁為簡的思想與嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范的驗證方法。張老師在這個過程當(dāng)中讓孩子利用泡沫條和牙簽去模擬種樹的過程，更形象更直觀，也充分體現(xiàn)“教師以學(xué)生為主體，學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者”的教學(xué)理念。付小燕老師：這節(jié)課張老師在讓學(xué)生用學(xué)具動手操作的過程當(dāng)中，時間的消耗上面有點長，學(xué)生的注意力有點不集中，學(xué)生在操作的過程中注重的不是如何去種樹，而是注意力放在了怎么樣把牙簽插在泡沫上，沒有達(dá)到預(yù)期的目的。2、第二輪教學(xué)實踐（1）第二輪教學(xué)設(shè)計及變易的使用： 情境導(dǎo)入：植樹歌導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生興趣的同時滲透概念“間隔”，初步感知間隔數(shù)與棵數(shù)（人數(shù)）的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上介紹學(xué)校一年一度的植樹活動，再次激發(fā)學(xué)生研究植樹問題的欲望。探究新知：聯(lián)系生活實際，創(chuàng)設(shè)有效問題情境，引發(fā)猜想：為了美化校園環(huán)境，學(xué)校準(zhǔn)備在操場邊上的一條100米長的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端都栽） ，需要準(zhǔn)備多少棵樹苗？猜猜看。預(yù)設(shè)學(xué)生猜20棵或21棵。借助畫線段圖，滲透數(shù)形結(jié)合、化繁為簡的思想方法，探究規(guī)律：研究報告提供路長、間距，學(xué)生畫線段圖，借助線段圖數(shù)出間隔數(shù)和棵數(shù)，觀察發(fā)現(xiàn)“棵數(shù)比間隔數(shù)多1”的規(guī)律。運用規(guī)律，驗證猜想：1005+1=21（棵）拓展訓(xùn)練：在一條全長2000米的街道兩旁安裝路燈（兩端要裝），每隔50米安一座，一共要多少座路燈？借此題回顧數(shù)學(xué)模型：棵數(shù)=路長間距+1，同時聚焦變化點“街道兩旁”。同學(xué)們進(jìn)行隊列隊形比賽，每列12名學(xué)生，每列的長度為22米。每兩名學(xué)生之間的距離是幾米？借此題引導(dǎo)數(shù)學(xué)模型變式：間距=路長（棵數(shù)1）。每兩根旗桿之間的距離是3米，圖中共有50根旗桿。從第一根到最后一根的距離是多少米？借此題引導(dǎo)數(shù)學(xué)模型變式：路長=（棵數(shù)1）間距?？偨Y(jié)延伸：通過今天的學(xué)習(xí)，我們不僅發(fā)現(xiàn)了植樹問題中兩端都種的規(guī)律，而且還學(xué)習(xí)了一種研究問題的方法，那就是遇到復(fù)雜問題先從簡單的問題入手。假如是兩端都不栽或者只栽一端，植樹的棵數(shù)和間隔數(shù)之間又有什么關(guān)系呢？變易圖式：關(guān)鍵特征不變變教學(xué)活動CF1獨立思考，提出猜想，對比猜想結(jié)論。 需要解決的問題解題結(jié)論：20棵或21棵活動一：學(xué)生在獨立解題過程中出現(xiàn)了兩種猜想結(jié)論，造成認(rèn)知沖突。CF2探究規(guī)律，驗證猜想。間隔數(shù)=路長間距棵數(shù)=間隔數(shù)+1教師提供三組不同的路長、間距作為探究事例活動二：通過畫線段圖，滲透數(shù)形結(jié)合、化繁為簡的思想方法，探究規(guī)律，驗證猜想。CF3拓展訓(xùn)練，靈活運用。兩端都栽的植樹類問題數(shù)學(xué)模型變式：棵數(shù)=路長間距+1路長=（棵數(shù)1）間距間距=路長（棵數(shù)1）內(nèi)容變式：路燈、隊列、旗桿等。活動三：通過拓展訓(xùn)練，提高運用規(guī)律解決問題的能力。（2）第二輪授課教師反思在第二輪授課中，我將學(xué)生在第二次探究活動中的動手栽樹改為動手畫圖。我設(shè)置的路長分別是4米、6米、8米，間距為2米，大部分學(xué)生通過畫線段圖得到的間隔數(shù)分別是2個、3個、4個，棵數(shù)分別是3棵、4棵、5棵，并由此得到結(jié)論：棵數(shù)=間隔數(shù)+1。課后通過指導(dǎo)老師的提醒我們也發(fā)現(xiàn)了這次活動的不足之處：報告單中的“路長”、“間距”、“間隔數(shù)”、“棵數(shù)”“畫示意圖”的順序錯誤，應(yīng)該是“路長”、“間距”、“畫示意圖”、“間隔數(shù)”、“棵數(shù)”，因為學(xué)生是通過畫示意圖得到間隔數(shù)和棵數(shù)的結(jié)果。限制路長和間距是不合適的，學(xué)生畫圖時受到限制。應(yīng)該放手讓學(xué)生自己決定路長和間距，然后從不同的結(jié)果中找到相同的規(guī)律。學(xué)生親身體驗不夠，我認(rèn)為下次授課可以每人一張報告單，做到每個學(xué)生都親身體驗教學(xué)活動。（3）第二輪觀課教師反思倫孝榮老師：通過聽張老師講課和趙老師的評課，我最大的收獲就是知道斟酌教材的重要性。在備課的過程中必須認(rèn)真仔細(xì)地讀懂教材，理解教材安排的意圖，合理的使用教材。結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，我分析一下教材安排的意圖。教材一共用四幅圖來呈現(xiàn)學(xué)生探索解決問題的討論過程：猜想：遇到問題先進(jìn)行合理的、大膽的猜想。驗證：如何驗證猜想對不對呢？學(xué)生根據(jù)課前的手指游戲想到可以從簡單的情況入手解決復(fù)雜的問題。解決手段可以是畫線段圖，也可以根據(jù)手指理解。找規(guī)律：啟發(fā)學(xué)生透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)規(guī)律，也就是栽樹的棵數(shù)比間隔數(shù)多1。運用規(guī)律：運用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決復(fù)雜的植樹問題。大王芳老師：從課堂來看，張老師又融入了新的想法。導(dǎo)課的調(diào)整，讓人感覺眼前一亮。學(xué)生舉的事例也很貼切，小組合作的學(xué)習(xí)方式，使得學(xué)習(xí)過程充滿了樂趣，在充分的感知了間隔數(shù)和棵數(shù)的關(guān)系后，不同類型的實踐應(yīng)用，使得課豐滿了很多。能感覺到，教師的授課水平有提升，課的設(shè)計及結(jié)構(gòu)更為合理。小王芳老師：從植樹的兒歌入手，引出間距、間隔和間隔數(shù)，并且結(jié)合學(xué)校的植樹活動引出例題，在教學(xué)中滲透了復(fù)雜問題的解決從簡單問題入手的數(shù)學(xué)思想理念。宋淑紅老師：張老師這次的授課比第一次有了很大進(jìn)步，語言簡潔，概念理解透徹，教學(xué)環(huán)節(jié)清晰，注重了數(shù)學(xué)思想方法的滲透，主要表現(xiàn)在：植樹歌導(dǎo)入，激發(fā)學(xué)生興趣的同時滲透概念“間隔”，初步感知間隔數(shù)與棵數(shù)（人數(shù)）的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上介紹學(xué)校一年一度的植樹活動，再次激發(fā)學(xué)生研究植樹問題的欲望。探究環(huán)節(jié)能聯(lián)系生活實際，創(chuàng)設(shè)有效問題情境。學(xué)習(xí)是一個過程，探究性學(xué)習(xí)更應(yīng)是一個充滿觀察、實驗、模擬和推斷的過程。蘇霍姆林斯基曾經(jīng)說過：“自由支配的時間是學(xué)生個性發(fā)展的必要條件”。他所說的自由支配時間實際上就是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的時間，本堂課上，張老師給了學(xué)生充分的自由支配時間，讓學(xué)生自主地去探究，去驗證自己的猜想，當(dāng)學(xué)生的猜想與驗證得到吻合時，張老師又給了學(xué)生足夠的時間交流各自探究學(xué)習(xí)的結(jié)果，并在全班進(jìn)行了展示和強化，讓兩端都種的情況深深地印在學(xué)生的腦子里。注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透。本堂課力圖體現(xiàn)化繁為簡、數(shù)形結(jié)合、猜想驗證的思想。對學(xué)生的猜想采用延遲評價的方式，為后面的驗證埋下伏筆；引導(dǎo)學(xué)生通過研究簡單事例發(fā)現(xiàn)規(guī)律，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)化繁為簡的思想，在探究過程中借助畫線段圖的方法，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。練習(xí)設(shè)計巧妙，既注重了數(shù)學(xué)模型的變式訓(xùn)練，又拓展了學(xué)生對植樹問題的認(rèn)識。課堂小結(jié)既有對本節(jié)課學(xué)習(xí)重點、探究方法的回顧，又有對下節(jié)課的延伸，延伸到兩端都不栽和一端栽，另一端不栽的植樹情況，使學(xué)生對植樹問題的學(xué)習(xí)意猶未盡。此外還有兩處略顯不足：導(dǎo)課選用的植樹歌略顯幼稚，不太適用于中高年級段的孩子，而且用時10分鐘，導(dǎo)課時間過長，導(dǎo)致后面的鞏固練習(xí)時間不足。而且這一環(huán)節(jié)設(shè)計還導(dǎo)致棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系出示過早。建議直接用課前游戲手指游戲。探究過程中教師不能有效抓住學(xué)生的資源為教學(xué)服務(wù)，思想方法的滲透有效，但落實不夠到位，特別是化繁為簡的思想還是教師提出來的，不是學(xué)生通過實踐活動深刻感受到的。建議研究報告單放手的力度再大些，另外將研究報告單的示意圖一欄提到間隔數(shù)和棵數(shù)前面。劉新愛老師：和第一輪相比，這次課的思路更加清晰，教師語言簡練準(zhǔn)確，上一輪中出現(xiàn)的因各教學(xué)環(huán)節(jié)分配時間所限，教學(xué)重、難點處理上不夠深入的問題在本輪中有較大的改進(jìn)，課堂上能夠?qū)⒔虒W(xué)重、難點進(jìn)行比較深入的、細(xì)致的研究，比較充分的發(fā)揮了學(xué)生的積極主動性，師生之間、 生生之間不時有思維的碰撞。優(yōu)點：淺顯易懂的手指間隔為新課作了巧妙的鋪墊。課的導(dǎo)入，讓學(xué)生看自己的手，從觀察手的間隔得出：手指數(shù)=間隔數(shù)+1，使學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)問題來源于生活；在實踐應(yīng)用中，讓學(xué)生說一說在我們生活中還有哪些問題類似于植樹問題這樣的現(xiàn)象，使學(xué)生再次感到生活中處處存在著數(shù)學(xué)問題；在練習(xí)中，也是通過解決生活中的數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識源于生活，用于生活，從而使學(xué)生深刻感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。學(xué)生驗證時采用了（畫一畫、擺一擺）等多種方案讓學(xué)生自由選擇，體現(xiàn)了教學(xué)的開放性，通過對比最佳方案（畫線段圖）更方便、簡潔，能更好的體現(xiàn)滲透優(yōu)化思想。不足：課堂小結(jié)可以拓展一下：學(xué)習(xí)了“兩端都載”引出“一端栽樹”、“兩端不栽”的情況，為下節(jié)課做好鋪墊，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲。在教學(xué)中，教師如果能夠抓住課堂的生成資源做進(jìn)一步的處理，效果會更好。田茂艷老師：本節(jié)教學(xué)注重兩個思想方法的滲透，一是學(xué)生在學(xué)習(xí)這節(jié)課之后，能明白解決類似植樹問題的題目時，較好的方法是先畫圖，然后根據(jù)圖來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律再來解決問題，使學(xué)生學(xué)會了解決復(fù)雜的問題從簡單情況入手的方法；二是讓學(xué)生經(jīng)歷通過多組不同實例一起得出同一結(jié)論的過程，既體驗“猜測驗證結(jié)論”的數(shù)學(xué)思想方法，初步培養(yǎng)學(xué)生在研究問題時要有科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度。在練習(xí)中，放手讓學(xué)生獨立完成，匯報交流中引出認(rèn)知沖突，“兩邊都栽”時求出一邊的棵數(shù)后是否乘2，學(xué)生產(chǎn)生了思維的碰撞，生生之間不斷完善自己的想法從而達(dá)成對知識的意義建構(gòu)。學(xué)生之間的交流，碰撞出智慧的火花，取得了事半功倍的教學(xué)效果。建議學(xué)生完成報告單時，教師不用給出第一個例子，完全讓學(xué)生去舉例，要相信學(xué)生，大膽放手。曾書權(quán)老師：這一次張老師在課前導(dǎo)入的環(huán)節(jié)做了改變，從講述楊善洲老人的事跡改為植樹歌，雖然在視覺上給了孩子們更為直觀的感覺，但是在這個環(huán)節(jié)上花費的時間有點過長，并且在剛開始老師讓聽植樹歌并且讓學(xué)生觀察，學(xué)生都感覺到很茫然，不知道該觀察什么。但是張老師也聯(lián)系我們學(xué)校5年級的學(xué)生植樹這個活動，也讓學(xué)生們感覺植樹就在我們的身邊，也讓孩子們體會到植樹這個活動的重要性。在出示第一個例題后，張老師首先讓學(xué)生找出例題中重要的數(shù)學(xué)信息，然后讓學(xué)生猜猜需要多少棵樹，在這個環(huán)節(jié)上，張老師只是讓學(xué)生口答出多少棵樹，沒有讓學(xué)生說說自己的思路，怎么得來的？如果在這個環(huán)節(jié)上讓學(xué)生說出自己的想法，即使是錯誤的，我們也可以充分利用好這個錯誤的資源，讓孩子體會到剛才那樣的想法有什么不對的地方，進(jìn)一步能夠鞏固正確的知識。在學(xué)生探討的環(huán)節(jié)，也是做了一些改變，把表格里面的數(shù)改小了，目的也就是讓學(xué)生更能體會到，我們是從簡單問題入手來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而利用規(guī)律來解決復(fù)雜的問題。在課的最后張老師帶著學(xué)生一起回顧這節(jié)課，讓學(xué)生體驗遇到復(fù)雜問題先從簡單的問題入手，讓孩子們了解這種數(shù)學(xué)方法，以后在學(xué)習(xí)中要學(xué)以致用。付小燕老師：張老師在滲透了植樹問題的幾個關(guān)鍵詞后，接著引入了植樹歌，讓學(xué)生邊聽歌邊看視頻，從視頻中找數(shù)學(xué)問題，給了學(xué)生更為直觀的觀察方式，但是在這個環(huán)節(jié)有點浪費時間。而在引入例子之后讓孩子猜猜需要多少棵樹，張老師只是簡單的讓學(xué)生說出棵數(shù)，沒有追問孩子是怎么思考，怎么得出這個答案的，而在黑板上也應(yīng)該呈現(xiàn)出來，比如：1005=20，而得出的20不是棵數(shù)而是間隔數(shù)。張老師針對學(xué)生的解答應(yīng)該給出正確的指導(dǎo)，對于孩子正確的回答應(yīng)該給予適當(dāng)?shù)墓膭睿@樣才能激起學(xué)生回答的積極性。在驗證猜想的這個環(huán)節(jié)當(dāng)中，張老師是出示了“路長”和“間距”的數(shù)據(jù)，讓孩子通過畫圖找出間隔數(shù)和棵數(shù)，在思維上有點約束孩子，應(yīng)該放手讓孩子自己舉例子，那樣驗證的結(jié)果才能讓他們更能信服。對于這節(jié)課的回顧，沒有讓孩子很好的體會到這節(jié)課的數(shù)學(xué)思想方法，老師應(yīng)該在引導(dǎo)上下功夫，讓孩子來回顧這節(jié)課的過程，對數(shù)學(xué)方法的產(chǎn)生過程更深刻。（4）專家（勝利教育管理中心教研室趙曉英老師）評課作為一位數(shù)學(xué)教師，語言上要嚴(yán)謹(jǐn)，張老師這點做得很好。并且課標(biāo)的理念掌握得很好，作為一個青年教師，有些時候課標(biāo)可能不一定在教學(xué)中把它落實為教學(xué)行為，也就是說理念和行為不一定一致。今天張老師有一點做得非常好，把數(shù)學(xué)回歸生活，間隔是一個很抽象的概念，老師注意到讓孩子們找找生活中的間隔，如：桌子、欄桿，還有一點就是植樹，這是這節(jié)課的核心，張老師能把學(xué)校平時的德育活動放進(jìn)來，當(dāng)孩子們看到多媒體播放五年級的哥哥姐姐植樹的畫面，孩子們的熱情好像瞬間就被點燃，這就是體現(xiàn)了理念和教學(xué)行為的一致。還有一個好的地方，我們能夠看到老師在課堂上眼中有學(xué)生，有些時候老師只是按照自己預(yù)設(shè)好的教案進(jìn)行，不管學(xué)生是什么樣的情況，還是按照自己的來，眼里根本沒有學(xué)生，這一點是很可怕的。課堂上就得需要交流，這個交流一定是師生之間的交流，老師不能自顧自的去完成這堂課，即使老師完成得很完美，這也不是一堂好課。在這堂課上，我們能夠看出張老師是根據(jù)孩子的表現(xiàn)，孩子的回答來作出相應(yīng)的解答。我們的課堂就是學(xué)生是主體，我們所要做的都是為學(xué)生的思考和發(fā)展去服務(wù)的。我們再來說說這節(jié)課的重點：首先要正確的解讀教材、理解教材、用好教材。下面我們再來理理這節(jié)課，數(shù)學(xué)廣角從一年級到五年級都是在向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想，植樹問題滲透了一個解決問題的思想方法，從簡單問題入手來解決復(fù)雜的問題，也可以稱之為“以小見大”，接下來看看這個思想方法的落實情況，通過這一節(jié)課的學(xué)習(xí)，孩子們在遇到類似的問題的時候會不會采用這種思想方法，這個我們可以通過后測來檢驗一下。數(shù)學(xué)廣角主要是向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想，目的有兩點：一是讓學(xué)生接觸這個數(shù)學(xué)思想方法的同時，要經(jīng)歷猜想、驗證的這個過程，讓孩子們在經(jīng)歷這個過程的時候感受到興趣；二是要讓孩子們理解從數(shù)學(xué)的角度來解決問題。那么這節(jié)課中有一個數(shù)學(xué)思想是從簡單的例子入手解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，我們看一下本節(jié)課的四個圖，這中間經(jīng)歷了一個數(shù)學(xué)過程，我們看第一幅圖中學(xué)生做出1005=20，說準(zhǔn)備20棵樹苗，所以當(dāng)我們遇到問題，要讓孩子先獨立思考，給出自己的想法、猜測。第二幅圖是說怎樣猜測是正確的呢？怎么辦呢？用簡單的例子來驗證！課本中學(xué)生采用的方法是畫線段圖，也就是數(shù)形結(jié)合，實際上還有別的方法，比如聯(lián)系手指，5個手指，4個間隔。下一幅圖告訴我們，用簡單的例子驗證后，要發(fā)現(xiàn)規(guī)律。最后一幅圖是解決問題。今天這節(jié)課要滲透的數(shù)學(xué)思想是遇到復(fù)雜問題從簡單例子入手。經(jīng)歷了這樣的過程：遇到問題獨立思考給出猜測，然后用簡單的例子來驗證，第三步在經(jīng)過簡單的例子驗證后，要在這些例子中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第四步用這些規(guī)律解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。課本上的四幅圖就給了我們這樣的流程。3、第三輪教學(xué)實踐（1）第三輪教學(xué)設(shè)計及變易的使用：情境導(dǎo)入：手指游戲?qū)?，激發(fā)學(xué)生興趣的同時滲透概念“間隔”，初步感知間隔數(shù)與手指數(shù)的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上介紹學(xué)校一年一度的植樹活動，再次激發(fā)學(xué)生研究植樹問題的欲望。探究新知：聯(lián)系生活實際，創(chuàng)設(shè)有效問題情境，引發(fā)猜想：為了美化校園環(huán)境，學(xué)校準(zhǔn)備在操場邊上的一條100米長的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端都栽） ，需要準(zhǔn)備多少棵樹苗？猜猜看。預(yù)設(shè)學(xué)生猜20棵或21棵。學(xué)生自主驗證，制造認(rèn)知沖突，滲透化繁為簡的思想方法，確定研究方法：自主確定三組路長和間距，通過畫線段圖，探究棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系。借助畫線段圖，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，探究規(guī)律：研究報告只提供探究項目路長、間距、示意圖、間隔數(shù)、棵數(shù)，學(xué)生通過畫線段圖自主探究，觀察發(fā)現(xiàn)“棵數(shù)比間隔數(shù)多1”的規(guī)律。運用規(guī)律，驗證猜想：1005+1=21（棵）拓展訓(xùn)練：學(xué)校準(zhǔn)備在操場邊上的一條200米長的小路兩邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。需要準(zhǔn)備多少棵樹苗？借此題回顧數(shù)學(xué)模型：棵數(shù)=路長間距+1，同時聚焦變化點“小路兩邊”。同學(xué)們進(jìn)行隊列隊形比賽，每列12名學(xué)生，每列的長度為22米。每兩名學(xué)生之間的距離是幾米？借此題引導(dǎo)數(shù)學(xué)模型變式：間距=路長（棵數(shù)1）。每兩根旗桿之間的距離是3米，圖中共有50根旗桿。從第一根到最后一根的距離是多少米？借此題引導(dǎo)數(shù)學(xué)模型變式：路長=（棵數(shù)1）間距?？偨Y(jié)延伸：通過今天的學(xué)習(xí)，我們不僅發(fā)現(xiàn)了植樹問題中兩端都種的規(guī)律，而且還學(xué)習(xí)了一種研究問題的方法，那就是遇到復(fù)雜問題先從簡單的問題入手。假如是兩端都不栽或者只栽一端，植樹的棵數(shù)和間隔數(shù)之間又有什么關(guān)系呢？變易圖式：關(guān)鍵特征不變變教學(xué)活動CF1獨立思考，提出猜想，對比猜想結(jié)論。 需要解決的問題解題結(jié)論：20棵或21棵活動一：學(xué)生在獨立解題過程中出現(xiàn)了兩種猜想結(jié)論，造成認(rèn)知沖突。CF2探究規(guī)律，驗證猜想。間隔數(shù)=路長間距棵數(shù)=間隔數(shù)+1畫全圖驗證猜想畫簡圖驗證猜想活動二：學(xué)生自主驗證，制造認(rèn)知沖突，滲透化繁為簡的思想方法，確定研究方法。學(xué)生自主設(shè)定路長、間距作為探究事例活動三：借助畫線段圖，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，探究規(guī)律，驗證猜想。CF3拓展訓(xùn)練，靈活運用。兩端都栽的植樹類問題數(shù)學(xué)模型變式：棵數(shù)=路長間距+1路長=（棵數(shù)1）間距間距=路長（棵數(shù)1）內(nèi)容變式：路燈、隊列、旗桿等。活動四：通過拓展訓(xùn)練，提高運用規(guī)律解決問題的能力。（2）第三輪授課教師反思通過反思前兩次授課，第三次授課的活動環(huán)節(jié)沒有規(guī)定路長和間距。只提示學(xué)生盡量使用較小的數(shù)據(jù)，讓每一位學(xué)生都參與其中。借助幾何圖形“畫一畫”，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。新課程要求教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，注重學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗，尊重學(xué)生的個性思維，要充分發(fā)揮學(xué)生的的主體地位，讓他們動腦、動手、合作探究，經(jīng)歷分析、思考、解決問題的過程?；谝陨系恼J(rèn)識，教學(xué)中我給學(xué)生足夠的時間、空間、機會和權(quán)利，讓他們自己去探索，去思考，去解疑，教師做好課堂的組織者和引導(dǎo)者，把課堂還給學(xué)生，使課堂生機勃勃。我充分放手，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，給學(xué)生足夠的時間去探究，去體驗知識的形成過程，進(jìn)而享受成功的快樂。（3）第三輪觀課教師反思倫孝榮老師：本節(jié)課最大的一個亮點就是學(xué)習(xí)知識的同時，注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)實施素質(zhì)教育的一項重要內(nèi)容，它在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)方面具有極為重要的作用。在教學(xué)中，數(shù)學(xué)知識是一條明線，得到數(shù)學(xué)教師的重視，數(shù)學(xué)思想方法是一條暗線，容易被教師所忽視。但數(shù)學(xué)思想方法滲透比交待知識更重要，因為這是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂。教給學(xué)生思考方法、學(xué)習(xí)方法和解決問題的方法，為學(xué)生未來發(fā)展服務(wù)，讓學(xué)生在腦海里留下數(shù)學(xué)意識，長期下去，學(xué)生將終身受用。植樹問題屬于解決問題范疇，所以在學(xué)習(xí)過程中重在建模，利用模型解決問題，而在建模的過程中體現(xiàn)了多種思想方法的滲透。我們一起回顧一下張老師的課，理一理本節(jié)課用到的思想方法。猜測驗證：出示例題后學(xué)生嘗試解決出現(xiàn)兩個答案：1005=20和1005+1=21 。哪個答案對呢？師鼓勵學(xué)生自己想辦法驗證。學(xué)生根據(jù)自己驗證的結(jié)果提出自己的猜測：棵數(shù)=間隔數(shù)+1，后面通過表格自己設(shè)計路長、間距等數(shù)據(jù)驗證結(jié)論，從而最后得出棵數(shù)=間隔數(shù)+1的正確結(jié)論。數(shù)形結(jié)合：植樹問題中的間距和間隔數(shù)不好理解，學(xué)生往往讀題后腦中一片空白，不知道題目的意思。張老師利用課件出示了多組生活中的圖形理解概念，為學(xué)生把抽象的知識形象化。后面的探究棵數(shù)和間隔數(shù)的表格也要求學(xué)生畫示意圖，進(jìn)一步利用數(shù)形結(jié)合的思想幫助學(xué)生理解題意。以小見大：本節(jié)課最重要的一個思想就是以小見大。當(dāng)我們遇到復(fù)雜問題時，可以從簡單問題入手思考，猜測得出結(jié)論并驗證，最后運用規(guī)律解決復(fù)雜問題。驗證猜測的結(jié)果時有的學(xué)生畫了一段小路表示100米并平均分成20份；有的通過觀察手指數(shù)和空格數(shù)的關(guān)系驗證。當(dāng)兩種方法展現(xiàn)在同學(xué)們面前時發(fā)現(xiàn)后面的方法很簡單實用。通過比較學(xué)生對以小見大的思想印象深刻，今后也會自覺地運用這種方法解決問題。大王芳老師：調(diào)整之后的課，環(huán)節(jié)清晰，能夠清楚地看出教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)的過程，建立模型，并解決問題。40分鐘的時間，和學(xué)生共同在輕松愉悅的氛圍中，經(jīng)歷設(shè)疑、探索、發(fā)現(xiàn)、驗證、應(yīng)用這些過程，對于師生來說，都是一件快樂的事情。在這樣一個研究團(tuán)隊中，集體的智慧，個人的優(yōu)勢，相得益彰。小王芳老師：本節(jié)課的導(dǎo)入干脆利索，通過手指游戲讓學(xué)生認(rèn)識到間隔的含義，從簡單問題入手來解決復(fù)雜問題的數(shù)學(xué)思想方法的滲透更為明了。教學(xué)的環(huán)節(jié)合理，能引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷猜想驗證的過程，建立植樹問題的數(shù)學(xué)模型，做到了數(shù)形結(jié)合，建構(gòu)了數(shù)學(xué)模型。在學(xué)生進(jìn)行驗證時，利用了表格的方法，但是應(yīng)該放手讓學(xué)生舉例驗證，這樣才能更好地得出結(jié)論。宋淑紅老師：教學(xué)通過手指游戲使學(xué)生初步感知間隔數(shù)與手指數(shù)的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上延伸至其他與間隔有關(guān)的生活現(xiàn)象：排隊，植樹，停車場，窗戶護(hù)欄，電線桿等等。豐富的生活素材保障了學(xué)生對間隔這一概念的理解，但是考慮到課堂時間寶貴，這樣的教學(xué)應(yīng)適可而止，不宜花費太多時間。接下來呈現(xiàn)要解決的例1，放手學(xué)生獨立思考，大膽猜想，老師通過采用延遲評價的方式設(shè)下懸念，激發(fā)學(xué)生探究欲望，導(dǎo)致學(xué)生在驗證環(huán)節(jié)出現(xiàn)了兩種驗證方式：一種是把要種的樹一棵一棵都畫出來，通過數(shù)一數(shù)發(fā)現(xiàn)應(yīng)該是21棵；一種是畫了一條三個端點兩個間隔的線段圖證明棵數(shù)比間隔數(shù)多1，所以是21棵。這兩種學(xué)生資源非常好，但是遺憾的是教師沒能很好的加以利用，凸顯化繁為簡的數(shù)學(xué)思想，建議教師可以追問一句：如果是在1000米、10000米的小路一邊植樹，誰的驗證方法更簡單？隨后教師給學(xué)生充分的時間完成研究報告，借助表格歸納出數(shù)學(xué)模型，抓住了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。但是教師對各環(huán)節(jié)學(xué)習(xí)的回顧不夠及時到位，導(dǎo)致部分學(xué)生對為什么加1這一問題認(rèn)識不夠清晰，對化繁為簡的思想方法的運用意識不強。建議以后教學(xué)中加強回顧教學(xué)。劉新愛老師：優(yōu)點：在兩輪授課的基礎(chǔ)上進(jìn)行了科學(xué)的調(diào)整，環(huán)節(jié)設(shè)計合理、清楚。通過教師的積極引導(dǎo)解決問題，從而建立植樹問題的模型，并適時滲透了類比歸納、數(shù)形結(jié)合和以小見大的數(shù)學(xué)思想方法。教學(xué)很有成效。不足之處：第一環(huán)節(jié)找手的間隔數(shù)用時還有點長沒有在有效的時間內(nèi)完成教學(xué)任務(wù)。體現(xiàn)復(fù)雜問題從簡單入手的必要性不突出，復(fù)雜問題簡單化，從簡單問題入手研究的思想如何滲透、體現(xiàn)？個人認(rèn)為： 100米、 1000米的小路研究起來麻煩，應(yīng)改為10米，20米，這樣簡單的數(shù)據(jù)，通過研究簡單問題發(fā)現(xiàn)規(guī)律，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，再進(jìn)一步擴展到用字母表示數(shù)學(xué)模型，滲透代數(shù)思想，從而很好的體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維過程。田茂艷老師：經(jīng)過前兩輪的研究，本節(jié)教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計合理，實現(xiàn)了“建模利用模型解決問題”，較好的滲透了數(shù)學(xué)思想方法。本節(jié)教學(xué)重視畫圖，通過直觀圖來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，實現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”，用形來幫助學(xué)生解決復(fù)雜問題。讓學(xué)生在解決問題的過程中體會到了“以小見大”思想的必要性。通過學(xué)生的研究報告單歸納、總結(jié)，在學(xué)生千變?nèi)f化的數(shù)據(jù)中尋找不變的關(guān)系：棵數(shù)=間隔數(shù)+1，實現(xiàn)了變中求不變的教學(xué)真諦，實現(xiàn)了由具體到抽象的思維過程，抓住了數(shù)學(xué)本質(zhì)，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)化的過程。曾書權(quán)老師：張老師上課的思路非常清晰，她先提煉出數(shù)學(xué)模型（間隔數(shù)+1=棵數(shù)），最后將這一數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于生活實際。整堂課節(jié)奏緊湊，層層深入，學(xué)生在愉悅的氛圍中引發(fā)了樂學(xué)的動機，在開放的課堂中提供了樂學(xué)條件，在活動的氛圍中增加了樂學(xué)的體驗。在上課過程中，猜想到驗證的學(xué)生學(xué)習(xí)過程一直貫穿著整節(jié)課。上課伊始，對學(xué)生們進(jìn)行環(huán)境保護(hù)教育，讓學(xué)生意識到植樹和生活有緊密的聯(lián)系，而且植樹中還藏著有趣的數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲。導(dǎo)入新課后，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，學(xué)生經(jīng)歷了猜一猜，試一試，畫一畫，填一填等多種學(xué)習(xí)形式，自主探究出規(guī)律。整個過程培養(yǎng)了學(xué)生的動手操作能力，自主探究能力，小組合作交流能力。學(xué)生自由選擇方案，體現(xiàn)教學(xué)方法的開放性，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生很快地發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，并構(gòu)建起植樹問題的數(shù)學(xué)模型，為下一節(jié)課的教學(xué)打下堅實的基礎(chǔ)。在練習(xí)鞏固環(huán)節(jié)，讓學(xué)生運用新獲得的數(shù)學(xué)知識來解決生活中的實際問題，讓學(xué)生意識到生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)源于生活，又用于生活，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。付小燕老師：這是第三次聽張老師的課，與前兩次相比，張老師的這節(jié)課有了很大的變化。一是淺顯易懂的生活原型拉近了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系：老師以“手”為素材引入植樹問題，大有“平凡中見新奇”的效果，學(xué)生通過觀察不僅發(fā)現(xiàn)手指數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系，也感受到了只要處處留心，用數(shù)學(xué)的眼光去觀察周圍的生活，就能發(fā)現(xiàn)在平常事件中蘊涵的數(shù)學(xué)規(guī)律，這便是一種數(shù)學(xué)思想的滲透。在學(xué)生探究出間隔數(shù)與棵數(shù)的規(guī)律后，出示生活中的植樹問題，讓學(xué)生自主解決，這樣既培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，又讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系。接著，讓學(xué)生找找生活中的類似現(xiàn)象，在學(xué)生從具體生活中抽象出數(shù)學(xué)現(xiàn)象后，又再一次讓學(xué)生運用規(guī)律解決形式各異的生活問題，使數(shù)學(xué)知識運用于生活，使學(xué)生深深地體會到數(shù)學(xué)的價值與魅力。二是注重學(xué)生的自主探索：教師在出示“為了美化校園環(huán)境，學(xué)校準(zhǔn)備在操場邊上的一條100米長的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。需要準(zhǔn)備多少棵樹苗？”例題后，沒有說太多的話，只是讓學(xué)生用自己的辦法去進(jìn)行嘗試，自己去發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律。這便是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式“自主探索”，著名的數(shù)學(xué)家波利維亞說過“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑是由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)”。因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中內(nèi)在規(guī)律的聯(lián)系。三是關(guān)注植樹問題模型的拓展和應(yīng)用：植樹問題的模型是現(xiàn)實世界中一類相近事件的放大，它源于現(xiàn)實，又高于生活。所以，在現(xiàn)實中有著廣泛的應(yīng)用價值。為了讓學(xué)生理解這一建模的意義，老師加強了模型應(yīng)用功能的練習(xí)，本課練習(xí)有以下兩個層次：直接應(yīng)用模型解決簡單的實際問題。課堂上，安排學(xué)生自主完成知棵數(shù)求間距，知間距求棵數(shù)，讓學(xué)生從正反兩個方面出發(fā)，直接應(yīng)用模型解決簡單的實際問題。培養(yǎng)學(xué)生雙向可逆思維的能力。推廣到與植樹問題相近的一些問題中，讓學(xué)生進(jìn)一步體會，現(xiàn)實生活中的許多不同事件，如排隊、安裝路燈等都含有與植樹問題相同的數(shù)量關(guān)系，它們都可以利用植樹問題的模型來解決它，感悟數(shù)學(xué)建模的重要意義。（4）專家（東營市教研室郭子平主任）評課首先郭主任對本課中能夠使用的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了梳理：猜測驗證：通過1個例子得到棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系，這個結(jié)論成不成立需要枚舉的方法驗證。數(shù)學(xué)中的歸納方法有枚舉歸納、類比歸納。這里采用的是枚舉歸納。數(shù)形結(jié)合：運用直觀的圖形理解抽象的數(shù)量關(guān)系。數(shù)和形兩者是相輔相成的。運用圖形的直觀理解數(shù)量關(guān)系，運用數(shù)量關(guān)系認(rèn)識圖形。以小見大：一定要讓學(xué)生體會到以小見大的優(yōu)越性。其次郭主任引導(dǎo)大家對整節(jié)課進(jìn)行了回顧：第一塊：數(shù)手的間隔數(shù)、電線桿的間隔數(shù)、樹的間隔數(shù)，充分感知間隔、間隔數(shù)，設(shè)計不錯，但用時太多，以至后面關(guān)鍵問題沒有時間。這塊只要學(xué)生能知道間隔、間隔數(shù)就行，可隨著教學(xué)的深入，也就是出來模型以后再讓學(xué)生認(rèn)識。這塊想著是豐富學(xué)生的認(rèn)識，但保證在有效的時間內(nèi)完成教學(xué)任務(wù)，舉一個例子即可，學(xué)生只要了解就行。設(shè)計意圖很好，建議用時少一些。第二塊：“在操場邊上的一條100米長的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。需要準(zhǔn)備多少棵樹苗？”有兩個學(xué)生用不同的方式去表達(dá)，教師處理