靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題的解法.ppt

第3章靜電場(chǎng)及其邊值問(wèn)題解法TheElectrostaticFieldandSolutionTechniquesforBoundary ValueProblems 主要內(nèi)容 靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題 惟一性定理 鏡像法 分離變量法 靜電場(chǎng)基本方程與電位方程 靜電場(chǎng)中的介質(zhì) 導(dǎo)體與電容 2 3 1靜電場(chǎng)基本方程與電位方程FundamentalEquationsofElectrostatic Fieldandelectricpotentialequations 3 1 1靜電場(chǎng)的基本方程 靜電場(chǎng)是一個(gè)無(wú)旋 有源場(chǎng) 靜止電荷就是靜電場(chǎng)的源 這兩個(gè)重要特性用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)形式為 1 2 2 a 3 4 4 a 3 3 1靜電場(chǎng)基本方程與電位方程 3 1 2電位定義 在靜電場(chǎng)中可通過(guò)求解電位函數(shù) Potential 再利用上式可方便地求得電場(chǎng)強(qiáng)度E 式中負(fù)號(hào)表示電場(chǎng)強(qiáng)度的方向從高電位指向低電位 1 電位的引出 根據(jù)矢量恒等式 與的微分關(guān)系 在靜電場(chǎng)中 任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向總是沿著電位減少的最快方向 其大小等于電位的最大變化率 4 3 1靜電場(chǎng)基本方程與電位方程 設(shè)P0為參考點(diǎn) 與的積分關(guān)系 5 3 1靜電場(chǎng)基本方程與電位方程 電位參考點(diǎn)的選擇原則 場(chǎng)中任意兩點(diǎn)的電位差與參考點(diǎn)無(wú)關(guān) 同一個(gè)物理問(wèn)題 只能選取一個(gè)參考點(diǎn) 選擇參考點(diǎn)盡可能使電位表達(dá)式比較簡(jiǎn)單 且要有意義 例如 點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng) 表達(dá)式無(wú)意義 電荷分布在無(wú)窮遠(yuǎn)區(qū)時(shí) 選擇有限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn) 電荷分布在有限區(qū)域時(shí) 選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn) 6 3 1靜電場(chǎng)基本方程與電位方程 3 1 2電位方程 1 泊松方程 2 拉普拉斯方程 解為 7 3 2靜電場(chǎng)中的介質(zhì) 3 2 1介質(zhì)的極化 電介質(zhì)在外電場(chǎng)E作用下發(fā)生極化 形成有向排列的電偶極矩 電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷 極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場(chǎng)的源 無(wú)極性分子 有極性分子 電介質(zhì)的極化過(guò)程 8 3 2靜電場(chǎng)中的介質(zhì) 式中為體積元內(nèi)電偶極矩的矢量和 P的方向從負(fù)極化電荷指向正極化電荷 用極化強(qiáng)度P表示電介質(zhì)的極化程度 即 C m2 電偶極矩體密度 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明 在各向同性 線性 均勻介質(zhì)中 電介質(zhì)的極化率 無(wú)量綱量 9 3 2靜電場(chǎng)中的介質(zhì) 3 2 2介質(zhì)中的高斯定理 相對(duì)介電常數(shù) 真空中 電介質(zhì)中 定義電位移矢量 Displacement 則有 電介質(zhì)中高斯定律的微分形式 代入 得 其中 相對(duì)介電常數(shù) 介電常數(shù) 單位 F m 在各向同性介質(zhì)中 D線從正的自由電荷發(fā)出而終止于負(fù)的自由電荷 a 高斯定律的微分形式 10 3 2靜電場(chǎng)中的介質(zhì) 圖示平行板電容器中放入一塊介質(zhì)后 其D線 E線和P線的分布 D線由正的自由電荷發(fā)出 終止于負(fù)的自由電荷 P線由負(fù)的極化電荷發(fā)出 終止于正的極化電荷 E線的起點(diǎn)與終點(diǎn)既可以在自由電荷上 又可以在極化電荷上 D線 E線 P線 D E與P三者之間的關(guān)系 11 3 3靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體具有以下特征 導(dǎo)體內(nèi)部各處電場(chǎng)強(qiáng)度為零導(dǎo)體內(nèi)部不存在任何凈電荷 電荷都一面電荷的形式分布于導(dǎo)體表面 導(dǎo)體為一等位體 其表面為等位面 導(dǎo)體表面切向電場(chǎng)為零 而只有法向電場(chǎng)分量 簡(jiǎn)單媒質(zhì)中導(dǎo)體表面處的電場(chǎng)強(qiáng)度為 3 3 1靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體 12 3 3靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體 3 3 2電容 定義電容 一 孤立導(dǎo)體的電容 孤立導(dǎo)體球的電勢(shì) 當(dāng)R確定時(shí) 例 用孤立導(dǎo)體球要得到1F的電容 球半徑為大 單位 1F 法拉 1C V 13 3 3靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體 二 兩個(gè)導(dǎo)體的電容 求電容的兩條途徑 1 先假定兩導(dǎo)體帶等量異號(hào)的電量Q 通過(guò)計(jì)算電場(chǎng)得出兩導(dǎo)體間的電壓U 然后計(jì)算出電容 2 先假定兩導(dǎo)體間的電壓U 通過(guò)計(jì)算電場(chǎng)得出電量Q 然后計(jì)算出電容 電容與電場(chǎng)強(qiáng)度的大小無(wú)關(guān) 但與電場(chǎng)強(qiáng)度的分布有關(guān) 電容值取決與導(dǎo)體的形狀 尺寸以及介電常數(shù) 14 3 3靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體 三 幾種典型的電容器及電容 1 平行板電容器 板間場(chǎng)強(qiáng) 電勢(shì)差 電容 2 圓柱形電容器 15 3 3靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體 16 3 4靜電場(chǎng)中的邊界條件 3 4 1和的邊界條件 1 兩種介質(zhì)之間的邊界條件 在交界面上不存在時(shí) E D滿足折射定律 折射定律 17 3 4靜電場(chǎng)中的邊界條件 2 介質(zhì)與導(dǎo)體之間的邊界條件 表明 1 導(dǎo)體表面是一等位面 電力線與導(dǎo)體表面垂直 電場(chǎng)僅有法向分量 2 導(dǎo)體表面上任一點(diǎn)的D就等于該點(diǎn)的自由電荷密度 當(dāng)分界面為導(dǎo)體與電介質(zhì)的交界面時(shí) 分界面上的銜接條件為 18 3 4靜電場(chǎng)中的邊界條件 3 4 2電位的邊界條件 1 兩種介質(zhì)之間的電位邊界條件 因此 設(shè)點(diǎn)1與點(diǎn)2分別位于分界面的兩側(cè) 其間距為d 則 表明 在介質(zhì)分界面上 電位是連續(xù)的 在介質(zhì)分界面上 所以 19 3 4靜電場(chǎng)中的邊界條件 3 4 2電位的邊界條件 2 介質(zhì)與導(dǎo)體之間的電位邊界條件 兩種介質(zhì)之間 介質(zhì)與導(dǎo)體之間 20 3 4靜電場(chǎng)中的邊界條件 例題 3 4 1 例題 3 4 2 21 一 靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題 已知場(chǎng)域邊界上各點(diǎn)電位值 分布型問(wèn)題給定場(chǎng)源分布 求任意點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)或位函數(shù) 邊值型問(wèn)題給定邊界條件 求任意點(diǎn)位函數(shù)或場(chǎng)強(qiáng) 靜態(tài)場(chǎng)問(wèn)題 第一類邊界條件 第二類邊界條件 第三類邊界條件 一 二類邊界條件的線性組合 即 已知場(chǎng)域邊界上各點(diǎn)電位的法向?qū)?shù) 3 5靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題 唯一性定理Electrostatic FieldBoundary ValueProblems UniquenessTheorem 直接求解 高斯方法求解 間接求解 22 分布型問(wèn)題解法 3 5靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題 唯一性定理 直接求解 2 1 8 高斯方法求解 2 1 16 間接求解 3 1 9 3 1 12 23 計(jì)算法 實(shí)驗(yàn)法 圖解法 邊值型問(wèn)題解法 有限差分法 有限元法 邊界元法 矩量法 鏡像法 分離變量法 復(fù)變函數(shù)法 格林函數(shù)法 3 5靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題 唯一性定理 24 惟一性定理為靜電場(chǎng)問(wèn)題的多種解法 試探解 解析解 數(shù)值解等 提供了思路及理論根據(jù) 二 惟一性定理UniquenessTheorem 對(duì)于任一靜電場(chǎng) 若整個(gè)邊界上的邊界條件給定 可能給出一部分邊界上的位函數(shù) 另一部分邊界上位函數(shù)的法向?qū)?shù) 則空間中的場(chǎng)就惟一地確定了 證明見(jiàn)P 86 P 87 反證法 也就是說(shuō) 滿足邊界條件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的 這就是靜電場(chǎng)惟一性定理 3 5靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題 唯一性定理 25 用虛設(shè)的鏡像電荷來(lái)替代實(shí)際邊界 將原來(lái)具有邊界的空間變成同一媒質(zhì)空間 使計(jì)算簡(jiǎn)化 3 6鏡像法ImageMethod 確定鏡像電荷的個(gè)數(shù) 位置與大小 使鏡像電荷和原電荷共同產(chǎn)生的場(chǎng)保持原有邊界條件不變 根據(jù)唯一性定理 所得的解是唯一的 鏡像法 要點(diǎn) 26 一 導(dǎo)體平面附近的點(diǎn)電荷 圖3 6 1導(dǎo)體平面附近的點(diǎn)電荷與其鏡象法等效處理 設(shè)一無(wú)限大接地導(dǎo)體平面附近有一點(diǎn)電荷q 它與導(dǎo)體板的垂直距離是h 如圖3 6 1 a 所示 現(xiàn)求 1 導(dǎo)體上方 即z 0的空間 的電位分布 2 導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷 3 6鏡像法 27 1 設(shè)想將導(dǎo)體板抽去 使整個(gè)空間充滿同一種媒質(zhì) 在與原來(lái)點(diǎn)電荷對(duì)稱的位置上放置一的鏡像點(diǎn)電荷來(lái)代替原導(dǎo)體平板上的感應(yīng)電荷 3 6鏡像法 這時(shí) 在z 0的空間里任一點(diǎn)p x y z 的電位就等于原點(diǎn)電荷q和鏡像所產(chǎn)生電位的總和 28 此時(shí)要保證z 0平面邊界條件不變 即應(yīng)為零電位 選無(wú)窮遠(yuǎn)處為參考點(diǎn) 則在z 0的空間任一點(diǎn)p的總電位是 3 6鏡像法 29 注意 僅對(duì)上半空間等效 可見(jiàn) 引入鏡像電荷后保證了邊界條件不變 鏡像點(diǎn)電荷位于z0的空間 電位仍然滿足原有的方程 由惟一性定理知結(jié)果正確 故對(duì)z 0平面上任意點(diǎn)有 得 3 6鏡像法 30 導(dǎo)體表面的總感應(yīng)電荷 可見(jiàn) 鏡像電荷代替了導(dǎo)體表面所有感應(yīng)電荷對(duì)上半空間的作用 2 根據(jù)靜電場(chǎng)的邊界條件 求導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷密度 3 6鏡像法 31 二 導(dǎo)體劈間的點(diǎn)電荷 設(shè)有兩塊接地半無(wú)限大導(dǎo)體平板相交成角 且n為正整數(shù) 交角內(nèi)置一點(diǎn)電荷 或一線電荷 現(xiàn)采用鏡像法求角內(nèi)的電場(chǎng)分布 為了不改變?cè)羞吔鐥l件 即導(dǎo)體板處電位為零 和交角內(nèi)的源分布 試求鏡像的位置 以及鏡像的個(gè)數(shù) 輪流找出鏡像電荷及鏡像電荷的鏡像 直到最后的鏡像電荷與原電荷重合為止 3 6鏡像法 32 3 6鏡像法 注意 只有n為整數(shù)時(shí) 最后鏡像才能和原電荷重合 導(dǎo)體交角內(nèi)任一點(diǎn)的電場(chǎng)就等于N個(gè)鏡像電荷與原電荷在該點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)的總和 可見(jiàn) 33 鏡像法小結(jié) 鏡像法的理論基礎(chǔ)是靜電場(chǎng)惟一性定理 鏡像法的實(shí)質(zhì)是用虛設(shè)的鏡像電荷替代邊界上感應(yīng)電荷的分布 使計(jì)算場(chǎng)域?yàn)闊o(wú)限大均勻介質(zhì) 鏡像法的關(guān)鍵是確定鏡像電荷的個(gè)數(shù) 位置及大小 應(yīng)用鏡像法解題時(shí) 注意 鏡像電荷只能放在待求場(chǎng)域以外的區(qū)域 疊加時(shí) 要注意場(chǎng)的適用區(qū)域 它只對(duì)該區(qū)域等效 3 6鏡像法 34 只有當(dāng)場(chǎng)域邊界與正交坐標(biāo)面重合 或平行 時(shí) 才可確定積分常數(shù) 從而得到邊值問(wèn)題的特解 一 解題的一般步驟 a 根據(jù)邊界形狀選定坐標(biāo)系 寫出對(duì)應(yīng)的邊值問(wèn)題 微分方程和邊界條件 b 分離變量 將一個(gè)偏微分方程分離成幾個(gè)常微分方程 并得出通解表達(dá)式 c 利用給定的邊界條件確定積分常數(shù) 最終得到電位函數(shù)的特解 3 7分離變量法TheMethodofSeparationofVariables 分離變量法是一種最經(jīng)典的微分方程解法 采用正交坐標(biāo)系可用分離變量法得出拉普拉斯方程或波動(dòng)方程的通解 35 二 直角坐標(biāo)中的分離變量法 拉普拉斯方程 設(shè) 因此 二維問(wèn)題 3 7分離變量法 即 36 可得 于是有 式中 寫為如下形式 以方程 為例 通解的形式是 3 7分離變量法 37 表3 7 1直角坐標(biāo)系中解的形式的選擇 3 7分離變量法 方程 38 例1 圖示一無(wú)限長(zhǎng)金屬管 其三壁接地 另一壁與三壁絕緣且保持電位為 V 金屬管截面為矩形 邊長(zhǎng)為a b 試求金屬管內(nèi)電位的分布 圖金屬管的截面 a B C D域內(nèi) 1 b Eq 解 3 7分離變量法 39 C 解式 3 7分離變量法 40 C 解式 3 7分離變量法 d 定常數(shù) 41 圖3 7 1雙曲函數(shù) 比較系數(shù)法 D域內(nèi) 3 7分離變量法