數(shù)學(xué)物理方法第四版(梁昆淼)期末總結(jié)ppt.ppt

教材 梁昆淼編寫的 數(shù)學(xué)物理方法 第四版 內(nèi)容 第一篇復(fù)變函數(shù)論 第二篇數(shù)學(xué)物理方程 數(shù)學(xué)物理方法 第一章復(fù)變函數(shù) 1 復(fù)數(shù)的定義 一 復(fù)數(shù) 模 輻角 主輻角 共軛復(fù)數(shù) 三角式 指數(shù)式 代數(shù)式 復(fù)數(shù)三種表示式之間的轉(zhuǎn)換 2 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 加 減 乘 除 乘方 開(kāi)方 1 加法和減法 2 乘法和除法 2 乘法和除法 兩復(fù)數(shù)相除就是把模數(shù)相除 輻角相減 兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘 輻角相加 3 復(fù)數(shù)的乘方和開(kāi)方 復(fù)數(shù)的乘 除 乘方和開(kāi)方運(yùn)算 采用三角式或指數(shù)式往往比代數(shù)式來(lái)得方便 棣莫弗公式 二 六種初等復(fù)變函數(shù) 1 冪函數(shù) 4 雙曲函數(shù) 5 根式函數(shù) 周期為2 i 6 對(duì)數(shù)函數(shù) 例1 已知 則 例2 復(fù)數(shù)ez的模為 輻角為 三 解析函數(shù) 2 解析函數(shù)性質(zhì) 3 構(gòu)建解析函數(shù) 給出一個(gè)二元調(diào)和函數(shù)作為解析函數(shù)的實(shí)部或虛部 通過(guò)C R條件求出該解析函數(shù)的虛部或?qū)嵅?從而寫出這個(gè)解析函數(shù) 算偏導(dǎo) u或v的全微分 求積分 表成 例3 已知解析函數(shù)的實(shí)部 求虛部和這個(gè)解析函數(shù) 根據(jù)C R條件 解 例4 已知解析函數(shù)f z 的虛部 求實(shí)部和這個(gè)解析函數(shù)f z 解 提示 當(dāng)給定的u或v中含有因子x2 y2 這種情況下采用極坐標(biāo)處理比較方便 即令 將上面第二式對(duì) 積分 視作參數(shù) 有 其中為 的任意函數(shù) 將上式兩邊對(duì) 求導(dǎo) 第二章復(fù)變函數(shù)積分 一 復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì) P23 二 計(jì)算復(fù)變函數(shù)回路積分 1 單通區(qū)域柯西定理 P24 2 復(fù)通區(qū)域柯西定理 P25 3 重要公式應(yīng)用 P28 4 柯西公式 高階導(dǎo)數(shù)的柯西公式 當(dāng)被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)有奇點(diǎn)時(shí)的回路積分 可利用柯西公式來(lái)計(jì)算 1 把被積函數(shù)寫成的形式 f z 在積分區(qū)域上解析 為積分區(qū)域內(nèi)一點(diǎn) 2 利用柯西公式來(lái)計(jì)算積分 例2 下列積分不為零的是 C 第三章冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 一 收斂半徑 方法1 比值判別法 方法2 根值判別法 收斂圓 收斂域 例1 求冪級(jí)數(shù)的收斂圓 解 收斂圓 解 例2 冪級(jí)數(shù)的收斂域 收斂域 二 把圓域或環(huán)域或某一點(diǎn)的鄰域上解析函數(shù)展成冪級(jí)數(shù) 根據(jù)解析函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)的唯一性 一般可利用熟知的泰勒展開(kāi)式 通過(guò)變量變換 結(jié)合級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算 逐項(xiàng)求導(dǎo)和積分 分解成最簡(jiǎn)分式等方法去展開(kāi) 間接展開(kāi)法 常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式 解 解 奇點(diǎn)名稱 可去奇點(diǎn) 極點(diǎn) 本性奇點(diǎn) 不含負(fù)冪項(xiàng) 含無(wú)限個(gè)負(fù)冪項(xiàng) 含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng) 的洛朗級(jí)數(shù) 極限性質(zhì) 三 有限遠(yuǎn)孤立奇點(diǎn)分類及其類型判定 極限判定法來(lái)判定可去奇點(diǎn) 極點(diǎn) 本性奇點(diǎn) 幾個(gè)名詞的定義 孤立奇點(diǎn) 非孤立奇點(diǎn) 可去奇點(diǎn) m階極點(diǎn) 本性奇點(diǎn) 設(shè)函數(shù)f z 在回路l所圍區(qū)域B上除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)b1 b2 bn外解析 在閉區(qū)域上除b1 b2 bn外連續(xù) 則f z 沿l正向積分之值等于f z 在l所圍區(qū)域內(nèi)各奇點(diǎn)的留數(shù)和的2 i倍 左邊的積分是沿l的正向進(jìn)行的 注意 右邊的奇點(diǎn)是指l所圍區(qū)域內(nèi)的 并非是f z 所有的奇點(diǎn) 第四章留數(shù)定理 一 留數(shù)定理 P52 二 計(jì)算留數(shù) 各孤立奇點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算公式 奇點(diǎn)類型 可去奇點(diǎn) 0 m階極點(diǎn) 一階極點(diǎn) 普遍公式 本性奇點(diǎn) 極點(diǎn)階數(shù)判定 法一 把極點(diǎn)階數(shù)估計(jì)得過(guò)高 n就是極點(diǎn)的階數(shù) 把極點(diǎn)階數(shù)估計(jì)得過(guò)低 n m n m n m 法二 零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系 若z z0是f z 的m階零點(diǎn) 則z z0必是的m階極點(diǎn) 三 留數(shù)定理的應(yīng)用 1 計(jì)算閉合回路積分 例1 解 其奇點(diǎn)為 z1 4 z2 2 z3 1 只有單極點(diǎn)z2 2 z3 1在積分回路內(nèi) 類型一 類型二 2 計(jì)算三種類型實(shí)變函數(shù)定積分 類型三 解 且其留數(shù)為 只有單極點(diǎn)在圓內(nèi) 解 所以 明顯 只有在上半平面 且為f z 的一階極點(diǎn) 因此 解 有兩個(gè)二階極點(diǎn) 其中在上半平面 P61例7 第五章傅里葉變換 一 傅里葉級(jí)數(shù) 1 周期函數(shù) T 2l 的傅里葉展開(kāi) 一般周期函數(shù) 5 1 3 5 1 5 P88 奇函數(shù) 5 1 8 5 1 9 P90 偶函數(shù) 5 1 10 5 1 11 P90 傅里葉正弦級(jí)數(shù) 傅里葉余弦級(jí)數(shù) 傅里葉級(jí)數(shù) 2 定義在有限區(qū)間 0 l 上的函數(shù)的傅里葉展開(kāi) 對(duì)函數(shù)f x 的邊界 區(qū)間的端點(diǎn)x 0 x l 上的行為提出限制 即滿足一定的邊界條件 這常常就決定了如何延拓 1 邊界條件為f 0 0 f l 0 應(yīng)延拓成以2l為周期的奇函數(shù) 奇延拓 2 邊界條件為 應(yīng)延拓成以2l為周期的偶函數(shù) 偶延拓 3 邊界條件為 4 邊界條件為 又根據(jù)邊界條件f l 0 應(yīng)將函數(shù)f x 對(duì)區(qū)間 0 l 的端點(diǎn)x l作奇延拓 然后以4l為周期向整個(gè)實(shí)軸延拓 延拓以后的函數(shù)是以4l為周期的偶函數(shù) 根據(jù)邊界條件應(yīng)將函數(shù)f x 對(duì)區(qū)間 0 l 的端點(diǎn)x 0作偶延拓 復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分 二 傅里葉積分 f x 非周期函數(shù) x 可以寫成對(duì)稱的形式 三 函數(shù) 1 函數(shù)定義 2 函數(shù)性質(zhì) 挑選性 3 函數(shù)的傅里葉積分 滿足下面兩個(gè)條件 的函數(shù) x x0 稱為 函數(shù) 1 2 定解問(wèn)題 泛定方程 定解條件 初始條件 說(shuō)明物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件 邊界條件 說(shuō)明邊界上的約束情況的條件 波動(dòng)方程 輸運(yùn)方程 穩(wěn)定場(chǎng)方程 第七章數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題 銜接條件 初始條件 給出某一初始時(shí)刻整個(gè)系統(tǒng)的已知狀態(tài) 如 不需要初始條件 一般地說(shuō) 初始條件的個(gè)數(shù)等于數(shù)理方程所含有的對(duì)時(shí)間最高階偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù) 1 桿或弦兩端固定 常見(jiàn)的邊界條件 邊界條件 給出系統(tǒng)的邊界在各個(gè)時(shí)刻的已知狀態(tài) 2 桿兩端自由 3 桿的兩端保持恒溫T 4 兩端絕熱 5 兩端有熱流強(qiáng)度為f t 的熱流流出 l f t f t 在x 0端 在x l端 同理得 兩端有熱流強(qiáng)度為f t 的熱流流入 則 數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題的適定性 1 解的存在性 看所歸結(jié)出來(lái)的定解問(wèn)題是否有解 2 解的唯一性 看是否只有一個(gè)解 3 解的穩(wěn)定性 當(dāng)定解問(wèn)題的自由項(xiàng)或定解條件有微小變化時(shí) 解是否相應(yīng)地只有微小的變化量 定解問(wèn)題解的存在性 唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問(wèn)題的適定性 解 弦僅在x0處受策動(dòng)力作用 故其定解問(wèn)題為 例1 長(zhǎng)為l的均勻弦 兩端x 0和x l固定 在點(diǎn)x0 0 x0 l 受諧變力F0sin t的作用而作微小振動(dòng) 試寫出其定解問(wèn)題 解定解問(wèn)題三步曲 1 寫出正確的定解問(wèn)題 2 邊界條件齊次化 3 求解 傅氏級(jí)數(shù)法或分離變數(shù)法 第八章分離變數(shù)法 分離變數(shù)法 齊次的振動(dòng)方程和輸運(yùn)方程 齊次的邊界條件 傅里葉級(jí)數(shù)法 齊次或非齊次的振動(dòng)方程和輸運(yùn)方程 齊次的邊界條件 一 分離變數(shù)法解題步驟 1 對(duì)齊次方程和齊次邊界條件分離變量 2 解關(guān)于空間因子的常微分方程的本征值問(wèn)題 3 求其它常微分方程的解 與本征函數(shù)相乘 得到本征解 4 迭加所有本征解 由初始條件或非齊次邊界條件確定迭加系數(shù) 而最后得到所求定解問(wèn)題的解 例1 用分離變數(shù)法求定解問(wèn)題 先以分離變數(shù)形式的試探解 解 代入泛定方程 1 和邊界條件 2 得 1 2 3 本征值問(wèn)題 本征值 本征函數(shù) 其通解為 相應(yīng)的本征解 一般解是所有本征解的線性迭加 4 一般解是所有本征解的線性迭加 代入初始條件 4 例2 用分離變數(shù)法求定解問(wèn)題 1 2 3 先以分離變數(shù)形式的試探解 解 代入泛定方程 1 和邊界條件 2 得 本征值問(wèn)題 本征值 本征函數(shù) 其通解為 相應(yīng)的本征解 一般解是所有本征解的線性迭加 代入初始條件 所求的定解問(wèn)題的解為 運(yùn)用傅氏級(jí)數(shù)法求定解問(wèn)題 要注意在不同齊次邊界條件下 所求定解問(wèn)題的解展開(kāi)為不同形式的傅里葉級(jí)數(shù) 二 傅里葉級(jí)數(shù)法 三 熟練掌握如何把非齊次邊界條件齊次化 引入輔助函數(shù)v x t 令u x t v x t w x t 使v x t 滿足非齊次邊界條件 可將函數(shù)u x t 滿足的非齊次邊界條件的定解問(wèn)題變換為函數(shù)w x t 滿足的齊次邊界條件的定解問(wèn)題 可設(shè) 可將w x t 的邊界條件是齊次的 3 若是第一 二類非齊次邊界條件 或 可設(shè) 可將w x t 的邊界條件齊次化 2 若是第二類非齊次邊界條件 例3 求定解問(wèn)題 解 設(shè) 由于邊界條件是第一類齊次邊界條件 所以設(shè) 代入泛定方程 得 代入初始條件 所求的定解問(wèn)題的解為 例4 求定解問(wèn)題 解 設(shè) 令 代入上式 由于邊界條件是第一類齊次邊界條件 所以設(shè) 代入泛定方程 得 代入初始條件 定解問(wèn)題的解為 1 掌握勒讓德方程本征值問(wèn)題的解及其性質(zhì) 1 l階勒讓德方程與自然邊界條件構(gòu)成本征值問(wèn)題 自然邊界條件 本征值問(wèn)題 本征值是l l 1 本征函數(shù)則是l階勒讓德多項(xiàng)式Pl x 第十章球函數(shù) 2 勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì) 1 正交性 不同階的勒讓德多項(xiàng)式在區(qū)間 1 1 上正交 2 勒讓德多項(xiàng)式的模 3 勒讓德多項(xiàng)式的全體構(gòu)成完備組 如何將一個(gè)定義在x的區(qū)間 1 1 上的函數(shù)f x 展開(kāi)成廣義傅里葉級(jí)數(shù) 一般公式 展開(kāi)系數(shù) 待定系數(shù)法 僅適用于f x 是關(guān)于x的次冪的多項(xiàng)式 3 勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù) 母函數(shù) 以半徑為R的球代替單位球 則 3 掌握關(guān)于極軸對(duì)稱拉氏方程在球坐標(biāo)系下的解 關(guān)于軸對(duì)稱的拉氏方程的定解問(wèn)題的通解為 對(duì)球內(nèi)軸對(duì)稱問(wèn)題 自然邊界條件 取Bl 0 應(yīng)排除 例1 解 邊界條件與 無(wú)關(guān) 以球坐標(biāo)的極軸為對(duì)稱軸 此定解問(wèn)題是軸對(duì)稱情況下的球內(nèi)問(wèn)題 故 代入邊界條件 P231例3 左邊是廣義的傅里葉級(jí)數(shù) 所以用待定系數(shù)法將右邊