聲與振動(dòng)基礎(chǔ)完整ppt課件.ppt

第一章機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng) 聲與振動(dòng)基礎(chǔ) 主要內(nèi)容 1 1單自由度機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)1 2單自由度機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)1 3任意時(shí)間函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用1 4機(jī)電類比1 5兩個(gè)自由度耦合系統(tǒng)的自由振動(dòng) 概論 1 絕大部分聲音來自結(jié)構(gòu)振動(dòng) 概論 2 振動(dòng)與聲波 soundwaves 聲波是傳聲介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的傳遞 機(jī)械振動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)圍繞其平衡位置進(jìn)行的往返運(yùn)動(dòng) 概論 機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng) 至少應(yīng)有下面兩個(gè)要素 1 慣性 質(zhì)量 2 質(zhì)量受到恢復(fù)力作用 恢復(fù)力 總是指向平衡位置的力 概論 機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)分類 集中參數(shù)系統(tǒng) 分布參數(shù)系統(tǒng) 集中參數(shù)系統(tǒng) 把機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)中的物體視為只有質(zhì)量或只有彈性的元件 分布參數(shù)系統(tǒng) 振動(dòng)系統(tǒng)中的每一部分都有質(zhì)量 彈性 消耗能量的性質(zhì) 彈簧振子 振動(dòng)著的鼓膜 概論 概論 單自由度系統(tǒng)兩自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng) 自由度 描述集中參數(shù)系統(tǒng)振動(dòng)過程所用的獨(dú)立變量 1 1 單自由度機(jī)械系統(tǒng)的自由振動(dòng) 一 無阻尼自由振動(dòng)二 阻尼自由振動(dòng) 一 無阻尼自由振動(dòng) 1 振動(dòng)方程2 振動(dòng)的一般規(guī)律3 振動(dòng)的速度和加速度4 振動(dòng)的能量 振動(dòng)系統(tǒng)元件 鋼球 質(zhì)量元件 質(zhì)量m彈簧 彈性元件 彈性系數(shù)D 1 振動(dòng)方程 無阻尼自由振動(dòng) 虎克定律 彈性力與彈簧兩端的相對(duì)位移大小成正比 而力的方向和位移的方向相反 彈簧在彈性限度內(nèi) 1 振動(dòng)方程 無阻尼自由振動(dòng) 彈性系數(shù) 在數(shù)值上等于彈簧產(chǎn)生單位長度變化所需作用力的大小 柔順系數(shù) 表示彈簧在單位力作用下能產(chǎn)生的位移的大小 1 振動(dòng)方程 無阻尼自由振動(dòng) 牛頓第二定律 1 振動(dòng)方程 無阻尼自由振動(dòng) 1 振動(dòng)方程 根據(jù)彈力與牛頓力平衡原理 得出m運(yùn)動(dòng)的微分方程 令 振動(dòng)圓頻率 角頻率 無阻尼自由振動(dòng) 運(yùn)動(dòng)方程寫為 求解這個(gè)齊次二階常微分方程可以得到自由振動(dòng)的一般解 1 振動(dòng)方程 無阻尼自由振動(dòng) 特征方程 得到所以 方程的解為 其中 為復(fù)常數(shù) 決定于初始條件 而 由系統(tǒng)參數(shù) m D 決定 與初始條件無關(guān) 2 振動(dòng)的一般規(guī)律 無阻尼自由振動(dòng) 式中 為兩個(gè)待定常數(shù) 由運(yùn)動(dòng)的初始條件來確定 2 振動(dòng)的一般規(guī)律 無阻尼自由振動(dòng) 如果 關(guān)于的初始條件為實(shí)數(shù) 則的另一種表示 數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 無阻尼自由振動(dòng) 2 振動(dòng)的一般規(guī)律 2 振動(dòng)的一般規(guī)律 無阻尼自由振動(dòng) 令 表示為 其中 C1 C2 或A 由初條件確定 無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)是一個(gè)簡諧振動(dòng) 所謂簡諧振動(dòng) 諧合振動(dòng) 是指正弦或余弦振動(dòng) 結(jié)論 2 振動(dòng)的一般規(guī)律 無阻尼自由振動(dòng) 此振動(dòng)的周期為 單位sec此振動(dòng)的頻率為 單位1 s 稱作赫茲 記Hz稱作角頻率 單位為 弧度 秒 2 振動(dòng)的一般規(guī)律 無阻尼自由振動(dòng) 2 振動(dòng)的一般規(guī)律 無阻尼自由振動(dòng) 為系統(tǒng)的固有角頻率 系統(tǒng)的固有頻率僅由系統(tǒng)參數(shù)決定 與初始條件無關(guān) 定義 固有頻率 naturalfrequency 振動(dòng)系統(tǒng)自由振動(dòng)時(shí)的頻率為該系統(tǒng)的固有頻率 記 2 振動(dòng)的一般規(guī)律 無阻尼自由振動(dòng) 初始條件解得 由初始條件決定 2 振動(dòng)的一般規(guī)律 無阻尼自由振動(dòng) 2 振動(dòng)的一般規(guī)律 得到特解 無阻尼自由振動(dòng) 第一項(xiàng)表示由初始位移引起的振動(dòng)位移 第二項(xiàng)表示由初始振速引起的振動(dòng)位移 二者振動(dòng)相位差為 2 振動(dòng)的一般規(guī)律 令 無阻尼自由振動(dòng) 無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)是一個(gè)簡諧振動(dòng) 無論怎樣的初始激發(fā)條件 系統(tǒng)的振動(dòng)頻率始終等于固有頻率 小振幅振動(dòng) 固有頻率決定于系統(tǒng)的參數(shù) 由初始位移引起的振動(dòng)位移和由初始振速引起的振動(dòng)位移的相位相差 2 振動(dòng)的一般規(guī)律 總結(jié) 無阻尼自由振動(dòng) 3 振動(dòng)速度 加速度 無阻尼自由振動(dòng) 已知位移 3 振動(dòng)速度 加速度 質(zhì)點(diǎn)m作自由振動(dòng)時(shí) 位移為瞬時(shí)速度瞬時(shí)加速度 無阻尼自由振動(dòng) 位移 速度 加速度的區(qū)別與聯(lián)系 3 振動(dòng)速度 加速度 無阻尼自由振動(dòng) 相位關(guān)系 速度的相位比位移的相位超前加速度的相位比速度的相位超前加速度和位移恰好反相 3 振動(dòng)速度 加速度 位移 速度 加速度的區(qū)別與聯(lián)系 無阻尼自由振動(dòng) 幅度關(guān)系位移振幅振速振幅加速度振幅 位移 速度 加速度的區(qū)別與聯(lián)系 3 振動(dòng)速度 加速度 無阻尼自由振動(dòng) 對(duì)于諧合振動(dòng) 可以引入復(fù)數(shù)表示 若則稱 為的復(fù)數(shù)形式 前面的諧合位移 振速 加速度的可用復(fù)數(shù)形式表示 3 振動(dòng)速度 加速度 3 振動(dòng)速度 加速度 無阻尼自由振動(dòng) 復(fù)數(shù)位移 復(fù)數(shù)振速 復(fù)數(shù)加速度 用復(fù)平面上旋轉(zhuǎn)復(fù)矢量表示諧合振動(dòng) 前面的諧合位移 振速 加速度在復(fù)平面上的旋轉(zhuǎn)矢量表示 3 振動(dòng)速度 加速度 4 振動(dòng)的能量 無阻尼自由振動(dòng) 系統(tǒng)不受外力作用 為能量守恒系統(tǒng) 它決定于初始激發(fā)時(shí)所給予的能量 但在系統(tǒng)內(nèi) 能量會(huì)轉(zhuǎn)換 動(dòng)能和勢能的轉(zhuǎn)換 振動(dòng)質(zhì)量的動(dòng)能 kineticenergy 4 振動(dòng)的能量 無阻尼自由振動(dòng) 彈簧形變的勢能 potentialenergy 決定于彈簧形變過程只能夠得到的形變能 也等于m運(yùn)動(dòng)時(shí)克服彈性力所作的功 4 振動(dòng)的能量 振動(dòng)系統(tǒng)的總機(jī)械能 mechanicalenergy 4 振動(dòng)的能量 無阻尼自由振動(dòng) 自由振動(dòng)系統(tǒng)的能量關(guān)系 4 振動(dòng)的能量 無阻尼自由振動(dòng) 無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)過程中 系統(tǒng)總能量不變 無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)是系統(tǒng)質(zhì)量上的動(dòng)能與彈簧上的勢能相互循環(huán)轉(zhuǎn)化的過程 總結(jié) 4 振動(dòng)的能量 二 阻尼自由振動(dòng) 1 阻尼振動(dòng)方程2 阻尼振動(dòng)的一般規(guī)律3 阻尼振動(dòng)的能量4 阻尼振動(dòng)系統(tǒng)中的阻尼量的描述 機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)若有阻力作用 則為阻尼振動(dòng)系統(tǒng) 受阻力的作用 系統(tǒng)能量損耗 質(zhì)量振速幅度減小 以致于振動(dòng)停止 系統(tǒng)在振動(dòng)時(shí)始終會(huì)受到阻尼力 damping 的作用 任何一個(gè)實(shí)際機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)都是阻尼振動(dòng)系統(tǒng) 1 阻尼振動(dòng)方程 阻尼自由振動(dòng) 聲學(xué)上最簡單的阻尼模型是牛頓阻尼 粘滯阻尼 即 阻力與元件的振動(dòng)速度成正比 稱為阻力系數(shù)或力阻 1 阻尼振動(dòng)方程 阻尼自由振動(dòng) 1 阻尼振動(dòng)方程 阻尼自由振動(dòng) 定義為阻尼系數(shù) 阻尼振動(dòng)方程是常系數(shù)的二階齊次微分方程 其一般解為 2 阻尼振動(dòng)的一般規(guī)律 阻尼自由振動(dòng) 其中是特征方程的兩個(gè)根 由此得 2 阻尼振動(dòng)的一般規(guī)律 阻尼自由振動(dòng) 1 大阻尼振動(dòng) 阻力很大時(shí)則為實(shí)數(shù) 并且 2 阻尼振動(dòng)的一般規(guī)律 阻尼自由振動(dòng) 討論 因?yàn)?其中每一項(xiàng)按指數(shù)規(guī)律衰減 2 阻尼振動(dòng)的一般規(guī)律 阻尼自由振動(dòng) 初始條件不同時(shí) 位移的變化規(guī)律不同 討論 2 阻尼振動(dòng)的一般規(guī)律 阻尼自由振動(dòng) 初始振速方向向下 討論 大阻尼振動(dòng) 初始條件 2 阻尼振動(dòng)的一般規(guī)律 阻尼自由振動(dòng) 初始振速為零 討論 大阻尼振動(dòng) 初始條件 2 阻尼振動(dòng)的一般規(guī)律 阻尼自由振動(dòng) 初始振速方向向上 討論 大阻尼振動(dòng) 初始條件 結(jié)論 大阻尼時(shí) 系統(tǒng)不會(huì)振動(dòng) 2 阻尼振動(dòng)的一般規(guī)律 2 小阻尼振動(dòng) 阻力不大時(shí) 2 阻尼振動(dòng)的一般規(guī)律 阻尼自由振動(dòng) 討論 則 其中 將帶入 2 阻尼振動(dòng)的一般規(guī)律 阻尼自由振動(dòng) 得 寫成三角函數(shù)式 討論 上式還可寫成其中 2 阻尼振動(dòng)的一般規(guī)律 阻尼自由振動(dòng) 表示振幅隨時(shí)間衰減的振動(dòng) 討論 由系統(tǒng)參數(shù)決定 由初始條件決定 令 顯然 并不是周期的 更談不上是簡諧的 但一般 當(dāng)時(shí) 極小阻尼情況下 稱為振幅隨時(shí)間衰減的諧合 簡諧 振動(dòng) 盡管為非周期的 但過0點(diǎn)間隔是一樣的 2 阻尼振動(dòng)的一般規(guī)律 阻尼自由振動(dòng) 討論 結(jié)論 極小阻尼條件下 阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)是振幅隨時(shí)間衰減的簡諧振動(dòng) 阻尼自由振動(dòng) 2 阻尼振動(dòng)的一般規(guī)律 結(jié)論 大阻尼時(shí) 系統(tǒng)不會(huì)振動(dòng) 3 阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的能量 阻尼自由振動(dòng) 小阻尼單自由度條件下 振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率為 而在極小阻尼條件下 固有頻率近似為 所以 有 任一時(shí)刻的總振動(dòng)能為振動(dòng)位能與勢能的和 即 阻尼自由振動(dòng) 3 阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的能量 位移 振速 記 則 阻尼自由振動(dòng) 3 阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的能量 阻尼振動(dòng)系統(tǒng)中總能量是隨時(shí)間變化的 即使在一個(gè)周期內(nèi)也是有起伏的 阻尼自由振動(dòng) 取整個(gè)周期內(nèi)能量的平均 得 式中 3 阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的能量 阻尼自由振動(dòng) 3 阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的能量 阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的能量近似地隨時(shí)間作指數(shù)規(guī)律衰減 阻力系數(shù) 最先引入阻力與速度成線性關(guān)系 粘滯阻尼 力 速度 MKS制中其單位 kgs 1 力歐姆 4 阻尼振動(dòng)系統(tǒng)中的阻尼量的描述 阻尼自由振動(dòng) 阻尼系數(shù) 解方程時(shí)引入的 分析其物理意義 在時(shí) 振子自由振動(dòng) 所以 4 阻尼振動(dòng)系統(tǒng)中的阻尼量的描述 阻尼自由振動(dòng) 小阻尼單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)是振幅隨時(shí)間衰減的諧合振動(dòng) 是其振幅 在M K S制中 單位 可見的物理意義為 小阻尼單自由度振動(dòng)系統(tǒng)自由振動(dòng)時(shí) 在單位時(shí)間內(nèi)振幅相對(duì)變化量的自然對(duì)數(shù)值 愈大 即阻力愈大 振幅的衰減愈快 4 阻尼振動(dòng)系統(tǒng)中的阻尼量的描述 阻尼自由振動(dòng) 對(duì)數(shù)衰減量 一個(gè)周期內(nèi)振幅的對(duì)數(shù)衰減 阻尼自由振動(dòng) 所以 因?yàn)?阻尼振子自由振動(dòng)的振幅在一個(gè)周期內(nèi)相對(duì)變化量的自然對(duì)數(shù)值為阻尼振子的對(duì)數(shù)衰減量 對(duì)數(shù)衰減量無量綱 4 阻尼振動(dòng)系統(tǒng)中的阻尼量的描述 衰減模數(shù)定義 阻尼振子自由振動(dòng) 振幅衰減到原來倍時(shí)所需的時(shí)間 稱作阻尼振子的衰減模數(shù) 記 在M K S制中 單位 Sec 4 阻尼振動(dòng)系統(tǒng)中的阻尼量的描述 阻尼自由振動(dòng) 品質(zhì)因數(shù) 定義為振幅衰減到初始值的所經(jīng)過的周期數(shù)為品質(zhì)因數(shù) 即所以因?yàn)樗?阻尼自由振動(dòng) 4 阻尼振動(dòng)系統(tǒng)中的阻尼量的描述 阻尼振子的平均能量為 一個(gè)周期內(nèi)損失的能量為 4 阻尼振動(dòng)系統(tǒng)中的阻尼量的描述 阻尼自由振動(dòng) 由系統(tǒng)的Rm m D決定 反映了系統(tǒng)的性質(zhì) 是系統(tǒng)參數(shù) 分析的物理意義 損失能量的相對(duì)值 Qm值反比于阻尼振子自由振動(dòng)時(shí)一個(gè)周期內(nèi)振動(dòng)能量損失的相對(duì)值 4 阻尼振動(dòng)系統(tǒng)中的阻尼量的描述 阻尼自由振動(dòng) 品質(zhì)因數(shù)是表征系統(tǒng)特性的常數(shù) 其數(shù)值反映了系統(tǒng)所受阻尼作用的大小 阻尼自由振動(dòng) 4 阻尼振動(dòng)系統(tǒng)中的阻尼量的描述 阻尼作用愈大 品質(zhì)因數(shù)愈低 振動(dòng)衰減愈快 阻尼自由振動(dòng) 阻尼振動(dòng)的衰減規(guī)律 實(shí)線描述質(zhì)點(diǎn)位移隨時(shí)間t變化的總規(guī)律 其振幅每隔一個(gè)周期都有一定降低 虛線描述了振幅衰減規(guī)律 重點(diǎn)提示 實(shí)際系統(tǒng)一般都是衰減系統(tǒng) 其原因在于系統(tǒng)中的阻尼力 衰減振動(dòng)方程為二階常微分方程 大阻尼時(shí) 系統(tǒng)不會(huì)振動(dòng) 極小阻尼條件下 阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)是振幅隨時(shí)間衰減的簡諧振動(dòng) 振動(dòng)系統(tǒng)的能量近似地隨時(shí)間作指數(shù)規(guī)律衰減 阻尼自由振動(dòng) 2 22 32 42 15 選做 課后作業(yè) 1 2單自由度機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 聲與振動(dòng)基礎(chǔ) 內(nèi)容提要 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解1 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)2 有阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)二 強(qiáng)迫振動(dòng)的過渡過程三 強(qiáng)迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)1 機(jī)械阻抗2 頻率特性3 激勵(lì)力對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的輸入功率 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解 一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)受到阻力作用后振動(dòng)不能永遠(yuǎn)維持 它要漸漸衰減到停止 因此要使振動(dòng)持續(xù)不停 就要不斷從外部獲得能量 外力作用下的振動(dòng) 強(qiáng)迫振動(dòng) 受迫振動(dòng) forcedvibration 無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)示意圖 諧合函數(shù) 正弦 余弦函數(shù) 1 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解 質(zhì)量元件m受兩個(gè)作用力 彈性力 外加推力F 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解 1 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 運(yùn)動(dòng)方程式 用復(fù)數(shù)表示 則運(yùn)動(dòng)方程化為 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解 1 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 強(qiáng)迫振動(dòng)方程是二階的非齊次常微分方程 其一般解應(yīng)表示為該方程的一個(gè)特解與相應(yīng)的齊次方程一般解之和 通解 一般解 特解 其中 為方程 所對(duì)應(yīng)的齊次方程的解 通解 為方程 的特解 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解 1 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 據(jù)前 方程 的通解為 1 1節(jié)已解出 其中 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解 1 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 設(shè)方程 特解的一般形式為 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解 特解含義 按外力的振動(dòng)規(guī)律而變 其振動(dòng)頻率等于外力的頻率 1 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 帶入強(qiáng)迫振動(dòng)方程 得 所以方程的解為 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解 1 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 所以 實(shí)際位移為 式中的和由初條件決定 第一項(xiàng) 自由振動(dòng)分量第二項(xiàng) 強(qiáng)迫振動(dòng)分量 結(jié)論 無阻尼系統(tǒng)在諧合力作用下的振動(dòng)為兩個(gè)簡諧振動(dòng)的迭加 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解 1 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解 1 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 求得 帶入上式得 取零初始條件 零初始條件的振動(dòng)位移三角變換 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解 1 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 時(shí) 拍 現(xiàn)象不明顯 時(shí) 拍 現(xiàn)象明顯 形成 拍 振動(dòng) 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解 1 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 無阻尼系統(tǒng)的拍頻振動(dòng)規(guī)律 振動(dòng)頻率近似等于 振幅 作慢周期變化 拍周期 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解 1 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 當(dāng) 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解 1 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 特例 當(dāng)時(shí) 振子振幅逐漸 共振 實(shí)際上 由于阻的存在 自由振動(dòng)隨時(shí)間增加會(huì)逐漸消失 振動(dòng)僅有強(qiáng)迫振動(dòng)項(xiàng) 而達(dá)到穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 結(jié)論 無阻尼振子在諧和力激勵(lì)兩個(gè)簡諧振動(dòng)的合振動(dòng) 一個(gè)是自由振動(dòng) 另一個(gè)是強(qiáng)迫振動(dòng) 形成拍頻振動(dòng) 由于無阻尼 所以自由振動(dòng)總也不消失 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解 1 無阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 有阻尼時(shí) 運(yùn)動(dòng)方程 2 有阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解 復(fù)數(shù)表示 外力為諧和力 運(yùn)動(dòng)方程 其解 為齊次方程的解 已在前面解出 此解數(shù)學(xué)上稱為 通解 物理中稱為 暫態(tài)解 其中 2 有阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解 系統(tǒng)的固有頻率 決定于系統(tǒng)本身的參數(shù)由系統(tǒng)的初始條件確定 2 有阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解 當(dāng)時(shí) 設(shè)特解代入到運(yùn)動(dòng)方程得到 2 有阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解 此解數(shù)學(xué)上稱為 特解 物理中稱為 穩(wěn)態(tài)解 2 有阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解 令 2 有阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解 則 外力引起的位移振幅和外力的振幅成正比 并和外力頻率有關(guān) 其中 由初始條件決定 由系統(tǒng)參數(shù)決定 2 有阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解 結(jié)論 阻尼系統(tǒng)在諧和力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)質(zhì)量的位移由兩個(gè)函數(shù)組成 第一項(xiàng)為暫態(tài)分量 振動(dòng)角頻率為 表示外力剛開始時(shí)激發(fā)起系統(tǒng)的自由振動(dòng)分量 振幅隨時(shí)間衰減 第二項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)分量 振動(dòng)頻率等于外力的頻率 表示外力產(chǎn)生的強(qiáng)制振動(dòng)分量 是振幅不變的簡諧振動(dòng) 隨時(shí)間的增加 前者對(duì)位移的影響趨于0 后者成為描述振子運(yùn)動(dòng)的函數(shù) 穩(wěn)態(tài)解 2 有阻尼系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 一 強(qiáng)迫振動(dòng)方程及其解 對(duì)解的進(jìn)一步分析 1 強(qiáng)迫振動(dòng)的過渡過程 暫態(tài)解 阻尼振子受迫振動(dòng) 總是經(jīng)過一段時(shí)間后達(dá)到穩(wěn)定 一般說 振子受力激勵(lì)后到達(dá)到穩(wěn)定振幅的簡諧振動(dòng)這段過程稱為過渡過程 從數(shù)學(xué)上講就是暫態(tài)解幅值減小到0的過程 二 強(qiáng)迫振動(dòng)的過渡過程 幾種典型情況外力作用下 振動(dòng)過渡過程的形式不同 零初始條件 從最簡單的情況入手分析之 設(shè)振動(dòng)系統(tǒng)開始時(shí)完全處于靜止?fàn)顟B(tài)且外加諧和力的頻率等于系統(tǒng)的固有頻率 則 二 強(qiáng)迫振動(dòng)的過渡過程 二 強(qiáng)迫振動(dòng)的過渡過程 得 帶入零初始條件得 振動(dòng)位移的過渡過程 二 強(qiáng)迫振動(dòng)的過渡過程 所以 系統(tǒng)過渡時(shí)間 穩(wěn)態(tài)振動(dòng)基本建立所需的時(shí)間稱為穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的建立時(shí)間 顯然 此振動(dòng)振幅達(dá)到穩(wěn)定的過程 由系數(shù)決定 一般 認(rèn)為振幅到穩(wěn)定值的95 時(shí) 就達(dá)到了穩(wěn)態(tài) 二 強(qiáng)迫振動(dòng)的過渡過程 定義 為系統(tǒng)的過渡時(shí)間 單位 秒 Sec 值與的關(guān)系 大 大 達(dá)到穩(wěn)態(tài)需要時(shí)間長 阻小 二 強(qiáng)迫振動(dòng)的過渡過程 外力頻率接近而又不等于諧振頻率 則在過渡過程期間 暫態(tài)成分和穩(wěn)態(tài)成分迭加表現(xiàn)出拍現(xiàn)象 隨時(shí)間的增加 拍越來越不明顯 直到消失 二 強(qiáng)迫振動(dòng)的過渡過程 正弦脈沖填充的作用周期出現(xiàn)的正弦填充矩形波的強(qiáng)迫力作用 且填充正弦信號(hào)頻率設(shè)脈沖正弦作用力的持續(xù)時(shí)間為 當(dāng)力加到系統(tǒng)上以后 振動(dòng)的振幅按曲線隨時(shí)間增長 而脈沖結(jié)束后 系統(tǒng)振動(dòng)按自由振動(dòng)規(guī)律指數(shù)衰減 因此振動(dòng)的位移和力的時(shí)間波形不同 并且 不同時(shí) 脈沖波形的畸變不同 二 強(qiáng)迫振動(dòng)的過渡過程 大阻尼中阻尼小阻尼 二 強(qiáng)迫振動(dòng)的過渡過程 圖1 Qm 1 7 低 圖2 Qm 5 中 圖3 Qm 15 高 三 質(zhì)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 振子受迫振動(dòng) 經(jīng)過一段時(shí)間后 暫態(tài)解影響0 只有穩(wěn)態(tài)解 所以下面分析穩(wěn)態(tài)解 實(shí)際工程中 主要關(guān)心的是穩(wěn)態(tài)解 系統(tǒng)振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)位移 振速 其中 三 質(zhì)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 定義 機(jī)械阻抗 機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)在諧合激勵(lì)力作用下產(chǎn)生穩(wěn)定的同頻率諧合振速 若用復(fù)數(shù)力表示諧合激勵(lì)力 用復(fù)數(shù)振速表示同頻率振速 則復(fù)數(shù)力與復(fù)數(shù)振速之比為該系統(tǒng)在該頻率下的機(jī)械阻抗 記為 或 1 機(jī)械阻抗 三 質(zhì)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 機(jī)械阻 機(jī)械抗 MKS制中其單位 kgs 1 力歐姆 1 機(jī)械阻抗 三 質(zhì)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 據(jù)定義 前例的機(jī)械系統(tǒng)的機(jī)械阻抗為 1 機(jī)械阻抗 物理意義 機(jī)械阻抗的絕對(duì)值等于產(chǎn)生單位振速幅值所需力的大小 三 質(zhì)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)在簡諧力作用下振動(dòng) 改變激勵(lì)信號(hào)的頻率 并保持簡諧激勵(lì)信號(hào)的幅值不變 初相位為0 得到的某個(gè)響應(yīng)信號(hào)幅值隨頻率的變化曲線叫該響應(yīng)的幅頻特性曲線 得到的某個(gè)響應(yīng)信號(hào)相位隨頻率的變化曲線叫響應(yīng)的相頻特性曲線 二者稱作該響應(yīng)的頻率特性曲線 幅頻特性曲線和相頻特性曲線 統(tǒng)稱作該響應(yīng)的頻率特性曲線 三 質(zhì)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 2 頻率特性曲線 前例單自由度阻尼機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的位移響應(yīng) 2 頻率特性曲線 三 質(zhì)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 位移的頻響曲線 位移的相頻曲線 位移的幅頻曲線 2 頻率特性曲線 三 質(zhì)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 前例單自由度阻尼機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的振速響應(yīng) 2 頻率特性曲線 三 質(zhì)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 振速的頻響曲線 振速的幅頻曲線 振速的相頻曲線 2 頻率特性曲線 三 質(zhì)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 前例單自由度阻尼機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的加速度響應(yīng) 2 頻率特性曲線 三 質(zhì)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 加速度的頻響曲線 加速度的幅頻曲線 加速度的相頻曲線 2 頻率特性曲線 三 質(zhì)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 瞬時(shí)功率 3 激勵(lì)力對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的輸入功率 三 質(zhì)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 激勵(lì)力對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)輸入的瞬時(shí)功率 系統(tǒng)的振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí) 激勵(lì)力對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的輸入功率等于系統(tǒng)阻尼的消耗功率 機(jī)械功率 3 激勵(lì)力對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的輸入功率 三 質(zhì)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 一個(gè)周期內(nèi)激勵(lì)力對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)輸入的平均功率 平均功率與激勵(lì)力頻率關(guān)系 3 激勵(lì)力對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的輸入功率 三 質(zhì)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 最大輸入功率對(duì)應(yīng)的激勵(lì)力頻率 3 激勵(lì)力對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的輸入功率 三 質(zhì)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 半功率點(diǎn)頻帶寬度 平均功率下降到最大功率的1 2所對(duì)應(yīng)的頻帶寬度 3 激勵(lì)力對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的輸入功率 三 質(zhì)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 因?yàn)?所以 半功率點(diǎn)頻帶寬 3 激勵(lì)力對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的輸入功率 半功率點(diǎn)頻帶寬度 三 質(zhì)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 1 共振頻率定義 機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)在恒振幅激勵(lì)力作用下發(fā)生振動(dòng) 若響應(yīng)隨激勵(lì)力頻率的變化出現(xiàn)極大值 則稱 系統(tǒng)的該響應(yīng)發(fā)生了共振 此時(shí)的頻率叫系統(tǒng)該響應(yīng)的共振頻率 一般上 同一系統(tǒng)不同的響應(yīng)有不同的共振頻率 例如 位移共振頻率 速度共振頻率 加速度共振頻率 等 4 振動(dòng)系統(tǒng)的幾個(gè)與 頻率 有關(guān)的概念 三 質(zhì)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 2 諧振頻率機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)在諧合激勵(lì)力作用下發(fā)生振動(dòng) 達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)如果外力時(shí)時(shí)刻刻向系統(tǒng)內(nèi)輸入能量 對(duì)系統(tǒng)作正功 則稱此時(shí)系統(tǒng)發(fā)生了諧振 發(fā)生諧振時(shí)的頻率稱作系統(tǒng)諧振頻率 4 振動(dòng)系統(tǒng)的幾個(gè)與 頻率 有關(guān)的概念 三 質(zhì)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 3 固有頻率機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)無外力作用下自由振動(dòng)的頻率稱作系統(tǒng)的固有頻率 由振動(dòng)系統(tǒng)自由振動(dòng)微分方程的特征值方程可得固有頻率 4 振動(dòng)系統(tǒng)的幾個(gè)與 頻率 有關(guān)的概念 三 質(zhì)點(diǎn)的穩(wěn)態(tài)振動(dòng) 激勵(lì)力頻率等于諧振頻率時(shí) 激勵(lì)力與激勵(lì)點(diǎn)處的振速同相位 并且 激勵(lì)力對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的輸入功率最大 課后作業(yè) 2 312 322 38 選做 1 3任意時(shí)間函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用 聲學(xué)與振動(dòng)基礎(chǔ) 內(nèi)容提要 一 任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用二 非周期力作用下單自由度振子的振動(dòng) 為周期力 運(yùn)動(dòng)方程 由于方程是線性的 所以和可以看作是一個(gè)線性系統(tǒng)的輸出和輸入 激勵(lì)和響應(yīng) 一 任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用 根據(jù)線性系統(tǒng)的迭加原理 若是的響應(yīng) 是的響應(yīng) 則的響應(yīng)是對(duì)于線性系統(tǒng) 若激勵(lì)是頻率為的簡諧函數(shù) 則響應(yīng)也必是頻率為的簡諧函數(shù) 在中并不會(huì)有其它頻率分量 一 任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用 由此可知求周期力激勵(lì)下系統(tǒng)響應(yīng)的方法為 1 把表示傅立葉級(jí)數(shù)形式 2 取 一 任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用 3 令 是激勵(lì)下的位移響應(yīng) 則 一 任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用 若 則 其特解 穩(wěn)態(tài)解 為 其中 振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械阻抗 一 任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用 所以 4 由線性系統(tǒng)的迭加定理 可知 一 任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用 綜上 此方法過程 1 周期力f t 分解成簡諧力的迭加 2 求出每個(gè)簡諧力的響應(yīng) 3 再將各簡諧力的響應(yīng)迭加 得到周期力f t 作用下機(jī)械系統(tǒng)的響應(yīng) 此方法的條件 方程是線性的 并且 在這里沒有考慮暫態(tài)解 一 任意周期函數(shù)的力對(duì)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的作用 為任意函數(shù)力 運(yùn)動(dòng)方程 若為 0 初值問題 則有 一 非周期力作用下單自由度振子的振動(dòng) 對(duì)方程兩側(cè)取傅立葉變換 記 分別為和的傅立葉變換 有 0 初值問題 所以 對(duì)于這個(gè)的積分可利用 留數(shù)定理 來做 上式中后一項(xiàng)是由系統(tǒng)參數(shù)決定的項(xiàng) 對(duì)應(yīng)于暫態(tài)解 隨時(shí)間增加 逐漸消失 前一項(xiàng)是由激勵(lì)力函數(shù)的富氏變換函數(shù)的奇點(diǎn)決定的項(xiàng) 對(duì)應(yīng)于穩(wěn)態(tài)解 傅立葉變換的方法并不是唯一解決此類問題 求任意力激勵(lì)的響應(yīng) 的方法 傅立葉變換是在頻域上的辦法 當(dāng)然還可以用時(shí)域的辦法 系統(tǒng)傳遞函數(shù) 系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù) 對(duì)于前例單自由度阻尼振動(dòng)系統(tǒng) 位移響應(yīng)的傳遞函數(shù) 脈沖響應(yīng)函數(shù) 頻域求響應(yīng) 時(shí)域求響應(yīng) 1 4機(jī)電類比 聲學(xué)與振動(dòng)基礎(chǔ) 內(nèi)容提要 一 什么是 機(jī)電類比 二 為什么能 機(jī)電類比 三 怎樣進(jìn)行 機(jī)電類比 類比 屬于形式邏輯中的一種推理方法 它的哲學(xué)依據(jù)是辨證法的 事物處于普遍聯(lián)系之中 的觀點(diǎn) 符合美學(xué)上的 合諧 理論 類比綜述 類比推理公式 它是一種創(chuàng)造性思維方法 屬于不完全推理 有可能得到錯(cuò)誤的結(jié)論 在物理學(xué)發(fā)展中起到很大作用 有成功的例子 也有失敗的例子 類比綜述 一 什么是 機(jī)電類比 電路分析方法 網(wǎng)絡(luò)定律和定理 分析機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng)問題 稱為 機(jī)電類比 機(jī)電類比的依據(jù) 描述現(xiàn)象的微分方程的一致性 機(jī)械系統(tǒng) 電路系統(tǒng) 例 二 為什么能 機(jī)電類比 力學(xué)系統(tǒng)包括的基本單位元件 質(zhì)量元件 慣性 彈簧元件 彈 順 性 阻尼元件 耗散 損 性 杠桿元件 變量 等 三 怎樣進(jìn)行 機(jī)電類比 1 力學(xué)元件和電學(xué)元件 下面分析各元件上所加的力與速度間的關(guān)系 慣性元件 質(zhì)量 根據(jù)牛頓第二定律 彈性元件 彈簧 根據(jù)胡克定律 1 力學(xué)元件和電學(xué)元件 三 怎樣進(jìn)行 機(jī)電類比 損耗元件 阻尼 根據(jù)粘滯摩擦力的關(guān)系 力變量器 杠桿 B 根據(jù)杠桿定理 1 力學(xué)元件和電學(xué)元件 三 怎樣進(jìn)行 機(jī)電類比 電子線路系統(tǒng)的基本元件 電感 電容 電阻 變壓器等 各元件上的電流與電壓的關(guān)系及電路中的符號(hào) 電感L 符號(hào) 電容C 符號(hào) 電阻R 符號(hào) 變壓器 符號(hào) 1 力學(xué)元件和電學(xué)元件 三 怎樣進(jìn)行 機(jī)電類比 力學(xué)元件上的力f電學(xué)元件上的電壓e力學(xué)元件上的速度v電學(xué)元件上的電流i 質(zhì)量元件與電感元件對(duì)應(yīng) 其電路符號(hào) 彈性元件與電容元件對(duì)應(yīng) 其電路符號(hào) 阻尼元件與電阻元件對(duì)應(yīng) 其電路符號(hào) 2 力學(xué)元件和電學(xué)元件的類比 類比類型 1 阻抗型類比 三 怎樣進(jìn)行 機(jī)電類比 力源類比成恒壓源 其電路符號(hào) 類比類型 2 導(dǎo)納型類比 力學(xué)元件上的力f電學(xué)元件上的電流i力學(xué)元件上的速度v電學(xué)元件上的電壓e 質(zhì)量元件與電容元件對(duì)應(yīng) 其電路符號(hào) 彈簧元件與電感元件對(duì)應(yīng) 其電路符號(hào) 阻尼元件與電導(dǎo)元件對(duì)應(yīng) 其電路符號(hào) 2 力學(xué)元件和電學(xué)元件的類比 三 怎樣進(jìn)行 機(jī)電類比 力源類比成恒流源 其電路符號(hào) 原因 電路元件符號(hào)表示的是電路中電流和電壓的運(yùn)算關(guān)系 同一元件的物理量間的關(guān)系是固定的 為了在不同類型類比電路中這種關(guān)系不變 在不同類比電路中需用不同符號(hào)表示 結(jié)論 同樣一個(gè)力學(xué)元件 在不同的類比線路中 阻抗型類比或?qū)Ъ{型類比 所用的符號(hào)不同 三 怎樣進(jìn)行 機(jī)電類比 2 力學(xué)元件和電學(xué)元件的類比 2 力學(xué)元件和電學(xué)元件的類比 質(zhì)量元件 當(dāng)有外力對(duì)質(zhì)量作用時(shí) 按牛頓第二定律 如果 那么 阻抗型類比 符號(hào) 三 怎樣進(jìn)行 機(jī)電類比 2 力學(xué)元件和電學(xué)元件的類比 如果 那么 導(dǎo)納型類比 符號(hào) 質(zhì)量元件 三 怎樣進(jìn)行 機(jī)電類比 2 力學(xué)元件和電學(xué)元件的類比 力順元件 彈性元件 描述系統(tǒng)具有彈性性質(zhì) 當(dāng)受力作用時(shí) 它的位移大小和力成正比 按虎克定律 如果 那么 阻抗型類比 符號(hào) 三 怎樣進(jìn)行 機(jī)電類比 2 力學(xué)元件和電學(xué)元件的類比 如果 那么 導(dǎo)納型類比 符號(hào) 力順元件 三 怎樣進(jìn)行 機(jī)電類比 2 力學(xué)元件和電學(xué)元件的類比 如果 那么 阻抗型類比 符號(hào) 力阻元件 表征系統(tǒng)具有摩擦損耗 當(dāng)它受到力作用時(shí) 它的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的大小和力成正比 三 怎樣進(jìn)行 機(jī)電類比 2 力學(xué)元件和電學(xué)元件的類比 如果 那么 導(dǎo)納型類比 符號(hào) 力阻元件 三 怎樣進(jìn)行 機(jī)電類比 3 畫力線 阻抗型電路是大家非常熟悉的 阻抗型電路的特點(diǎn) 1 電流線 流經(jīng)各元件的量是電流i 因此 電路圖是以一條電流線來連貫各個(gè)元件的 當(dāng)電流線從某一元件流向另外一些元件時(shí) 如果電流分支 則這些元件互相并聯(lián) 如果不分支 則相互串聯(lián) 2 電位的相對(duì)性 跨越元件的兩端的量是電位差 零電位端是 接地 端 3 在分支點(diǎn)符合克?；舴虻?電路定律 即 三 怎樣進(jìn)行 機(jī)電類比 3 畫力線 與上述電路圖分析相比較 發(fā)現(xiàn)力學(xué)系統(tǒng)也具有類似的特點(diǎn) 1 力線 在力學(xué)系統(tǒng)中測量力一定要將測力計(jì)串聯(lián)接在元件之間 這表明力是貫穿著各個(gè)元件的 因此在力學(xué)系統(tǒng)中 可以找到同電路中電流線類似的線 即力線 2 速度的相對(duì)性 因?yàn)榱W(xué)系統(tǒng)中的速度具有相對(duì)性 因此在力學(xué)系統(tǒng)中可以找到與電路中相似的 元件兩端的量 即速度差 如選取慣性坐標(biāo)系 則元件都是相對(duì)于零速度運(yùn)動(dòng)的 對(duì)應(yīng)的零速度端看作是 接地 端 3 在力點(diǎn)符合動(dòng)力學(xué)平衡條件 即 三 怎樣進(jìn)行 機(jī)電類比 3 畫力線 三 怎樣進(jìn)行 機(jī)電類比 實(shí)際機(jī)械系統(tǒng)在畫成機(jī)電類比圖之前 要先用力學(xué)示意符號(hào) 將其畫成機(jī)械系統(tǒng)簡圖 基本力學(xué)元件示意符號(hào) 三 怎樣進(jìn)行 機(jī)電類比 4 機(jī)械系統(tǒng)簡圖 機(jī)械系統(tǒng)簡圖構(gòu)圖規(guī)則 1 機(jī)械系統(tǒng)簡圖中連線的含義為無質(zhì)量剛性連桿 同一連桿上的元件具有相同的速度 2 機(jī)械系統(tǒng)簡圖中的質(zhì)量一端必須接地 例 三 怎樣進(jìn)行 機(jī)電類比 5 機(jī)電類比構(gòu)圖過程 系統(tǒng)簡圖 導(dǎo)納型類比圖 阻抗型類比圖 裝置圖 畫力線 例 三 怎樣進(jìn)行 機(jī)電類比 1 裝置圖 畫力線 2 機(jī)械簡圖 3 導(dǎo)納型類比圖 4 阻抗型類比圖 附1 阻抗型與導(dǎo)納型電路的互相轉(zhuǎn)換的 點(diǎn)線法 1 在原圖的每個(gè)回路中繪一點(diǎn) 在回路外也繪一點(diǎn) 為地 2 用連線連接各點(diǎn) 每條連線只通過一個(gè)元件 且不跨線 一點(diǎn)可連多線 但一個(gè)元件只能通過一條連線 3 把原圖去掉 所有元件換成相應(yīng)的 對(duì)偶元件 4 整理所得線路圖為原圖的 對(duì)偶 線路圖 完成了兩型類比電路的轉(zhuǎn)換 三 怎樣進(jìn)行 機(jī)電類比 總結(jié)力電類比構(gòu)圖要點(diǎn) 1 在裝置圖上畫力線 2 由裝置圖準(zhǔn)確地畫成系統(tǒng)簡圖 3 由系統(tǒng)簡圖按照元件在導(dǎo)納型類比圖中的符號(hào) 畫導(dǎo)納型類比圖 關(guān)鍵 在此過程中 只改變元件符號(hào) 不需要改變連接線 依據(jù)是 系統(tǒng)簡圖中的同一連線上各元件有相同的速度 這也是導(dǎo)納型類比圖的性質(zhì) 這個(gè)步驟是關(guān)鍵 它完成了機(jī)電的轉(zhuǎn)換 4 根據(jù)網(wǎng)絡(luò)理論 由導(dǎo)納型類比圖轉(zhuǎn)換成阻抗型類比圖 三 怎樣進(jìn)行 機(jī)電類比 附2 類比構(gòu)圖的一般規(guī)則 1 力學(xué)示意圖上的一個(gè)連線相當(dāng)于導(dǎo)納型類比中的一個(gè)節(jié)點(diǎn) 或相當(dāng)于阻抗型類比中的一個(gè)迴路 2 質(zhì)量元件與其它元件相連時(shí) 速度無降落 3 考慮連點(diǎn)時(shí) 質(zhì)量兩端只看作一點(diǎn) 質(zhì)量與源連接不算連點(diǎn) 4 彈簧兩端與其它元件相聯(lián)時(shí) 力通過 或力的降落與和它并聯(lián)的元件力降落一致 5 阻尼器兩端接元件 性質(zhì)類似于彈簧 阻尼器一端接地性質(zhì)類似于質(zhì)量 例 三 怎樣進(jìn)行 機(jī)電類比 課后作業(yè) 2 502 512 522 54 1 熟練掌握集總參數(shù)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)的規(guī)律以及處理該問題的數(shù)學(xué)方法 主要掌握單自由度自由振動(dòng) 受迫振動(dòng)的處理方法及規(guī)律 2 熟練掌握機(jī)電類比方法 能應(yīng)用機(jī)電類比解決多自由度集總參數(shù)機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)問題 3 需掌握概念 正確理解機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng) 機(jī)械阻抗 阻力系數(shù) 機(jī)械Q值 頻響特性 固有頻率 共振頻率 諧振頻率等概念的物理意義 第一章機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng) 教學(xué)要求 1 5兩個(gè)自由度耦合系統(tǒng)的振動(dòng) 聲學(xué)與振動(dòng)基礎(chǔ) 內(nèi)容提要 一 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)二 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)三 多自由度振動(dòng)系統(tǒng) 阻抗型類比電路 一 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 其四端等效網(wǎng)絡(luò)為 其中 一 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 對(duì)于四端網(wǎng)絡(luò) 一般分析時(shí)定義 1 輸入阻抗 Z11 Z22端短路時(shí) 從端看進(jìn)去的阻抗端短路時(shí) 從端看進(jìn)去的阻抗 一 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 2 轉(zhuǎn)移阻抗 傳輸阻抗 Z12 Z21 3 自阻抗 F2開路時(shí) 從F1看進(jìn)去的阻抗 F1開路時(shí) 從F2看進(jìn)去的阻抗 4 耦合阻抗 一 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 如果取 據(jù) 網(wǎng)絡(luò)理論 有 一 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 例 簡單情況 單端激勵(lì)時(shí) 上式化為 1 消去U2得 2 消去U1得 傳輸阻抗 輸入阻抗 一 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 在此情況下分析m2的振動(dòng) 歸結(jié)為分析1 Z12的頻率特征 若令 其中 一 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 則 又 若阻相對(duì)較小 即 R1R2 X1X2 則有 分析 上式虛部為0時(shí) 系統(tǒng)中的m2振速的幅值達(dá)到最大 振速共振 有 其中k 見后 一 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 為簡化表示 令 一 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 解上式可得 此二頻率為兩個(gè)自由度小阻尼耦合系統(tǒng)受迫振動(dòng)時(shí) m2的振速共振頻率 可推知 它也是m1的振速共振頻率 顯然 一 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 兩個(gè)自由度小阻尼耦合系統(tǒng)受迫振動(dòng)時(shí)m2 或m2 的幅頻特性曲線 雙峰結(jié)構(gòu) 一 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng) 下面由運(yùn)動(dòng)方程 求解自由振動(dòng) 1 運(yùn)動(dòng)方程 二 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng) 為簡化表示 令 二 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng) 方程可化為 2 簡正振動(dòng) 為使問題簡單 分析無阻尼情況 1 0 2 0 有 解之 令 代入方程 則方程化為 二 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng) 因?yàn)?A B不同時(shí)為0 則據(jù)線性代數(shù)方程理論知 A B的系數(shù)行列式為0 即 此方程稱為頻率方程或特征方程 解之可得 的值 它有四個(gè)值 二 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng) 分析 a 若k 0 無耦合 則 b 若k 0 則 二 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng) 所以 可得方程的解為 其中A A A A B B B B 有關(guān)系 通過方程 形成的關(guān)系 真正獨(dú)立的只有4個(gè) 并且這4個(gè)獨(dú)立量由初條件確定 二 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng) 上式中 取第一個(gè)等式 得 二 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng) 又若 實(shí)初條件 經(jīng)過運(yùn)算可得 其中 由初條件確定 二 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng) 結(jié)論 兩個(gè)自由度無阻尼耦合系統(tǒng)的自由振動(dòng) 每一個(gè)質(zhì)量的振動(dòng)均為兩個(gè)諧合振動(dòng)的迭加 定義 簡正振動(dòng) 是多自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)自由振動(dòng)的方式 多自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)在自由振動(dòng)時(shí) 在每一個(gè)自由度上的振動(dòng) 可分解成多個(gè)簡諧振動(dòng)的迭加形式 其中的每一個(gè)簡諧振動(dòng)稱為該系統(tǒng)的一個(gè)簡正振動(dòng) 其頻率稱為該系統(tǒng)的一個(gè)簡正頻率 簡正振動(dòng)的頻率決定于系統(tǒng)參數(shù) 振幅決定于初條件 簡正頻率是多自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的固有頻率 小阻尼條件下 在數(shù)值上與該系統(tǒng)受迫振動(dòng)的速度共振頻率相等 二 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng) 3 能量在二振子間的傳遞初條件 t 0時(shí) x1 A x2 0 則可得 式中 在莫爾斯 振動(dòng)與聲 中稱之為 耦合系數(shù) 二 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng) 形成拍振動(dòng) 能量在二振子間 流動(dòng) 的過程 振子1的機(jī)械能在振動(dòng)過程中傳給振子2 經(jīng)一段時(shí)間后 振子2又把機(jī)械能全部還給振子1 而振子1的能量并不全部給振子2 但振子2的能量全部還給振子1 這個(gè)過程循環(huán)往復(fù) 二 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng) 若 特殊情況 振子1的能量全部傳給振子2 振子2又把能量全部傳給振子1 能量在二振子間不斷 流動(dòng) 二 兩自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng) 三 N個(gè)自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)簡述 1 自由振動(dòng)A 由n個(gè)二階常系數(shù)齊次微分方程構(gòu)成的方程組描述其運(yùn)動(dòng) B 每一個(gè)自由度上振子的振動(dòng)可以包括n個(gè)簡正振動(dòng)分量 C 系統(tǒng)有n個(gè)固有頻率 簡正頻率 D 固有頻率 簡正頻率 由系統(tǒng)參數(shù)決定 E 振子振動(dòng)的各簡正振動(dòng)的幅值分布由初條件決定 2 受迫振動(dòng)A 可利用機(jī)電類比電路分析其受迫振動(dòng) B 受迫振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后 每一個(gè)自由度上振子振動(dòng)響應(yīng)取決于系統(tǒng)參數(shù)和激勵(lì)力的頻率及幅度 C n個(gè)自由度的振動(dòng)系統(tǒng)有n個(gè)諧振頻率 速度共振頻率 在小阻尼條件下 它們等于系統(tǒng)的固有頻率 注 特征方程重根 稱作簡并 此時(shí) 簡正頻率數(shù)目減少 三 N個(gè)自由度耦合振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)簡述 第二章理想流體介質(zhì)中聲場的基本規(guī)律 聲與振動(dòng)基礎(chǔ) 2 1聲音在介質(zhì)中傳播的基本概念 主要內(nèi)容 聲音的產(chǎn)生 聲音是由聲源的機(jī)械振動(dòng)產(chǎn)生的 聲源的振動(dòng)狀態(tài) 通過周圍介質(zhì)向四周傳播形成聲波 從物理學(xué)來說 聲波就是介質(zhì)中的機(jī)械波 聲音的產(chǎn)生 聲波 soundwave 是一種機(jī)械波 產(chǎn)生聲波的兩個(gè)必要條件 聲源 soundsource 機(jī)械振動(dòng)的物體介質(zhì) medium 機(jī)械振動(dòng)賴以傳播的介質(zhì) 聲音的產(chǎn)生 聲音可以在一切彈性介質(zhì)中傳播 縱波 聲波的傳播方向與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向一致 橫波 聲波的傳播方向與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向垂直 聲音的產(chǎn)生 空氣中和水中的聲波的傳播方向與質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向是一致的 屬于縱波 固體中由于有切應(yīng)力 除有縱波外 還同時(shí)存在橫波 僅討論聲波的宏觀性質(zhì) 不涉及介質(zhì)的微觀特性 聲音的產(chǎn)生 聲音的產(chǎn)生 聲波在介質(zhì)中傳播的速度 稱為聲波的傳播速度 聲音的產(chǎn)生 重點(diǎn)總結(jié) 1 聲音的實(shí)質(zhì) 聲音是介質(zhì)中的機(jī)械波2 聲波產(chǎn)生的兩個(gè)基本條件 1 聲源 2 傳聲介質(zhì) 2 2聲學(xué)量 主要內(nèi)容 1 聲壓 壓強(qiáng)的變化量2 質(zhì)點(diǎn)振速 介質(zhì)運(yùn)動(dòng)速度的變化量3 壓縮量 介質(zhì)密度相對(duì)變化量 連續(xù)介質(zhì)中 任意一點(diǎn)附近的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用壓強(qiáng) 密度和介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)速度表示 壓強(qiáng) 介質(zhì)運(yùn)動(dòng)速度密度 1 聲壓的基本概念 聲波作用引起各點(diǎn)介質(zhì)壓縮和伸張 各點(diǎn)的壓強(qiáng)比靜壓可大可小 聲壓有正有負(fù) 1 聲壓的基本概念 聲學(xué)中 也可用聲壓級(jí) SPL 表示聲壓的大小 SPL 20log10 p pref dB 分貝 在聲波的作用下 介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)圍繞其平衡位置作往復(fù)運(yùn)動(dòng) 其瞬時(shí)位置及振動(dòng)位移和瞬時(shí)速度隨時(shí)間變化 可用質(zhì)點(diǎn)位移或速度描述聲場 2 質(zhì)點(diǎn)振速的基本概念 設(shè)沒有聲波擾動(dòng)時(shí) 介質(zhì)的靜態(tài)流速為在聲波的作用下流速變?yōu)榱魉俚母淖兞考礊榻橘|(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度 振動(dòng)速度的單位是在空氣中 1帕的聲壓對(duì)應(yīng)的振速約為相應(yīng)于頻率1000Hz聲音的質(zhì)點(diǎn)位移約為聲場中介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)位移振幅是很小的 水中1帕的聲音 相應(yīng)的振速約為相應(yīng)于1000Hz聲音的位移僅為厘米 水中質(zhì)點(diǎn)位移比空氣中質(zhì)點(diǎn)位移更小 2 質(zhì)點(diǎn)振速的基本概念 設(shè)沒有擾動(dòng)時(shí) 介質(zhì)的靜態(tài)密度為在聲波的作用下變?yōu)?3 密度逾量 為介質(zhì)中聲場的密度逾量 MKS制中 基本單位 kg m3 為介質(zhì)壓縮量 也稱介質(zhì)密度的相對(duì)變化量s 無量綱 定義 定義 注意 聲場中的質(zhì)點(diǎn)振速和聲波的傳播速度是兩個(gè)概念 重點(diǎn)總結(jié) 2 2聲學(xué)量 1 聲壓 壓強(qiáng)的變化量2 質(zhì)點(diǎn)振速 介質(zhì)流速的變化量3 密度逾量 介質(zhì)密度的變化量 聲學(xué)量 描述聲波作用的量 2 3理想流體介質(zhì)中小振幅波傳播的基本規(guī)律 一 理想流體介質(zhì)中三個(gè)基本方程二 小振幅聲波的波動(dòng)方程三 速度勢函數(shù) 速度勢和密度逾量的波動(dòng)方程 主要內(nèi)容 聲波的波動(dòng)方程 描述聲場空間 時(shí)間變化規(guī)律和相互聯(lián)系的方程 基本思路 波動(dòng)方程 連續(xù)性方程狀態(tài)方程運(yùn)動(dòng)方程 質(zhì)量守恒定律熱力學(xué)關(guān)系 能量守恒定律 牛頓第二定律 動(dòng)量守恒定律 三個(gè)基本方程 三個(gè)基本物理定律 1 理想 介質(zhì)中機(jī)械運(yùn)動(dòng)無機(jī)械能損耗 2 流體 介質(zhì)中任一面元受力方向總是垂直于面元 3 連續(xù)性 介質(zhì)中質(zhì)團(tuán)連續(xù)分布無間隙 4 介質(zhì)質(zhì)團(tuán)同時(shí)具有質(zhì)量和彈性性質(zhì) 正是因?yàn)榻橘|(zhì)質(zhì)團(tuán)同時(shí)具有彈性和質(zhì)量 才能形成波 振動(dòng)的傳播 理想流體介質(zhì) 假設(shè)條件 5 聲波為小振幅聲波 線性波動(dòng)方程 1 連續(xù)性方程2 狀態(tài)方程3 運(yùn)動(dòng)方程 一 理想流體媒質(zhì)中三個(gè)基本方程 1 連續(xù)性方程 理想流體介質(zhì)中三個(gè)基本方程 依據(jù)質(zhì)量守恒 建立關(guān)系 質(zhì)量守恒定律 在連續(xù)介質(zhì)中 如果流進(jìn)與流出某一空間體積的流體質(zhì)量不等 則必將引起該體積中介質(zhì)密度的變化 1 連續(xù)性方程 理想流體介質(zhì)中三個(gè)基本方程 M點(diǎn)的密度為 設(shè)某一瞬時(shí)t 介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)流過M點(diǎn)的速度向量 單位時(shí)間內(nèi)通過M點(diǎn)單位面積的介質(zhì)質(zhì)量為 1 連續(xù)性方程 理想流體介質(zhì)中三個(gè)基本方程 1 在dt時(shí)間段 介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)X方向流速引起的在dxdydz框中介質(zhì)質(zhì)量的變化 dt時(shí)間段從ABCD面流入dxdydz框中的質(zhì)量 dt時(shí)間段從EFGH面流入dxdydz框中的質(zhì)量 所以 在dt時(shí)間段 介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)沿OX方向流速引起的在dxdydz框中介質(zhì)質(zhì)量增加為 同理 時(shí)間內(nèi)沿方向流量在中的凈余量分別為 1 連續(xù)性方程 理想流體介質(zhì)中三個(gè)基本方程 2 在dt時(shí)間段 介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)Y方向和Z方向流速引起的在dxdydz框中介質(zhì)質(zhì)量的變化 1 連續(xù)性方程 理想流體介質(zhì)中三個(gè)基本方程 所以 在dt時(shí)間段 介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)流速引起的在dxdydz框中介質(zhì)質(zhì)量的增加為 1 連續(xù)性方程 理想流體介質(zhì)中三個(gè)基本方程 3 推導(dǎo)連續(xù)性方程 因?yàn)?dxdydz框沒有變 所以質(zhì)量的變化改變了dxdydz框內(nèi)介質(zhì)的密度 流體的流動(dòng)使得元體積內(nèi)的質(zhì)量增加密度變化使得元體積內(nèi)質(zhì)量的增加 等于 1 連續(xù)性方程 依據(jù)能量守恒定律 得 連續(xù)性方程 所以 1 連續(xù)性方程 哈密頓算符 梯度 標(biāo)量函數(shù)的梯度散度 矢量場的散度 理想流體介質(zhì)中三個(gè)基本方程 數(shù)學(xué)知識(shí) 連續(xù)性方程表示為稱為流通密度 1 連續(xù)性方程 理想流體介質(zhì)中三個(gè)基本方程 連續(xù)性方程 表示流通密度在某一點(diǎn)散度的負(fù)值等于該點(diǎn)介質(zhì)密度的時(shí)間變化率 4 均勻 靜止理想流體小振幅波的連續(xù)性方程 據(jù) 聲學(xué)量定義 有 小振幅波的含義是指 小振幅波的聲學(xué)量和聲學(xué)量的各階時(shí)間或空間導(dǎo)數(shù)為一階小量 均勻的含義是指 靜止的含義是指 由連續(xù)性方程 得 1 連續(xù)性方程 理想流體介質(zhì)中三個(gè)基本方程 略去二階小量 理想流體介質(zhì)中三個(gè)基本方程 1 連續(xù)性方程 1 連續(xù)性方程 連續(xù)性方程 理想流體介質(zhì)中三個(gè)基本方程 得到的均勻 靜止理想流體中小振幅波的連續(xù)性方程為 記住 聲波作用下介質(zhì)產(chǎn)生壓縮伸張變化 介質(zhì)的密度和壓強(qiáng)都發(fā)生變化 假設(shè)聲波作用的熱力學(xué)過程是等熵絕熱過程 意味著聲波能量在質(zhì)團(tuán)形變過程中沒有損失 2 狀態(tài)方程 理想流體介質(zhì)中三個(gè)基本方程 依據(jù)熱力學(xué)定律 建立關(guān)系 據(jù)熱力學(xué)定律 質(zhì)量一定的理想流體中 獨(dú)立的熱力學(xué)參數(shù)只有三個(gè) 例如 取熱力學(xué)參數(shù) 壓力P 密度 及熵值s 則有關(guān)系 如果 在聲波作用下 P經(jīng) 等熵過程 從則在點(diǎn)作冪級(jí)數(shù)展開 有 2 狀態(tài)方程 理想流體介質(zhì)中三個(gè)基本方程 如果是小振幅波 則聲學(xué)量和聲學(xué)量的各階時(shí)間或空間導(dǎo)數(shù)為一階小量 略去高階小量 有 2 狀態(tài)方程 理想流體介質(zhì)中三個(gè)基本方程 定義 為介質(zhì)的等熵波速 它是介質(zhì)的固有性質(zhì) 后續(xù)課可知它與介質(zhì)中波傳播的速度有關(guān) 是速度量綱 M K S制中 單位 m s 米 秒 得到的均勻 靜止理想流體中小振幅波的狀態(tài)方程為 狀態(tài)方程 2 狀態(tài)方程 記住 理想流體介質(zhì)中三個(gè)基本方程 理想流體介質(zhì)中三個(gè)基本方程 3 運(yùn)動(dòng)方程 依據(jù)牛頓第二定律 建立關(guān)系 介質(zhì)中取質(zhì)量微團(tuán)ABCDEFGH六面體 邊長分別為 分析其受力 dx dy dz 周圍流體對(duì)該六面體的壓力 首先分析x方向受力 作用在ABCD面上和EFGH面上的總壓力分別為 理想流體介質(zhì)中三個(gè)基本方程 3 運(yùn)動(dòng)方程 沿方向的合力為 同理得方向的合力為 理想流體介質(zhì)中三個(gè)基本方程 3 運(yùn)動(dòng)方程 利用哈密頓算子 表示質(zhì)量微團(tuán)受到的合力 靜壓強(qiáng)為常數(shù) 理想流體介質(zhì)中三個(gè)基本方程 3 運(yùn)動(dòng)方程 根據(jù)牛頓定律 得運(yùn)動(dòng)方程 所以 得 是質(zhì)點(diǎn)的加速度 3 運(yùn)動(dòng)方程 理想流體介質(zhì)中三個(gè)基本方程 如果為小振幅波 則聲學(xué)量和聲學(xué)量的各階時(shí)間或空間導(dǎo)數(shù)為一階小量 忽略高階小量 根據(jù) 多元函數(shù)微分公式 有 運(yùn)動(dòng)方程 3 運(yùn)動(dòng)方程 理想流體介質(zhì)中三個(gè)基本方程 記住 又稱尤拉方程 表示介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的加速度與密度的乘積等于沿加速度方向的壓力梯度的負(fù)值 得到均勻 靜止理想流體中小振幅波的運(yùn)動(dòng)方程為 忽略 二 小振幅聲波的波動(dòng)方程 運(yùn)動(dòng)方程 狀態(tài)方程 連續(xù)性方程 1 2 3 均勻 靜止理想流體中 小振幅波基本聲學(xué)量的方程 聲學(xué)量之間的三個(gè)關(guān)系式 對(duì)上三式消元 可以得到一個(gè)基本聲學(xué)量的方程 對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)函數(shù) 有 則 4 代入 5 得 4 5 6 7 1 聲壓波動(dòng)方程 小振幅聲波的波動(dòng)方程 理想 均勻 靜止流體中的小振幅波的聲壓波動(dòng)方程 1 聲壓波動(dòng)方程 小振幅聲波的波動(dòng)方程 直角坐標(biāo)系中球坐標(biāo)系中柱坐標(biāo)系中 拉普拉斯算子 對(duì)不同坐標(biāo)系具有不同形式 小振幅聲波的波動(dòng)方程 1 聲壓波動(dòng)方程 定義 速度勢函數(shù) 如果運(yùn)動(dòng)是無旋的 則質(zhì)點(diǎn)振速可用標(biāo)量函數(shù)的負(fù)梯度表示 稱為速度勢函數(shù) 2 速度勢函數(shù) 小振幅聲波的波動(dòng)方程 在不同坐標(biāo)系中 其分速度有不同的表示式直角坐標(biāo)系球坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系 2 速度勢函數(shù) 小振幅聲波的波動(dòng)方程 式子和式子 小振幅聲波的波動(dòng)方程 3 速度勢波動(dòng)方程 分別對(duì)時(shí)間微分 比較后得到 狀態(tài)方程可寫為連續(xù)性方程寫為兩式聯(lián)立 可得 小振幅聲波的波動(dòng)方程 3 速度勢波動(dòng)方程 將和 代入式 速度勢的波動(dòng)方式 小振幅聲波的波動(dòng)方程 3 速度勢波動(dòng)方程 得 只要求出滿足初始和邊界條件的速度勢波動(dòng)方程的解 就可通過微分形式求出聲場中的聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速 同理 據(jù)狀態(tài)方程 代入聲壓的波動(dòng)方程 可得的波動(dòng)方程 據(jù)介質(zhì)壓縮量 則s的波動(dòng)方程 小振幅聲波的波動(dòng)方程 4 密度逾量波動(dòng)方程 掌握三個(gè)基本方程和波動(dòng)方程的推導(dǎo) 聲學(xué)與振動(dòng)基礎(chǔ) 2 4 主要內(nèi)容 一 聲能量密度二 聲能流密度三 聲強(qiáng) 聲波強(qiáng)度 掌握三個(gè)概念 推出它們和基本聲學(xué)量之間的關(guān)系 前言 質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)引起的能量變化介質(zhì)形變引起的能量變化由于聲波傳播而引起的介質(zhì)能量的增量稱為聲能 定義 聲能量密度 聲場中單位體積介質(zhì)所具有的機(jī)械能為聲場的聲能密度 記 E0聲能密度的量綱 E0 能量 體積 M1T2L 3 MKS 制中 基本單位 J m3下面分析聲能密度與基本聲學(xué)量的關(guān)系 一 聲能量密度 聲場中任意一個(gè)質(zhì)量為m0體積為V0的質(zhì)團(tuán) 一 聲能量密度 動(dòng)能 質(zhì)團(tuán)由平衡狀態(tài) V0 P0 至 V P 狀態(tài) 聲壓所作的功 一 聲能量密度 圖中陰影部分 勢能 所以 聲場中質(zhì)量為m0體積為V0的質(zhì)團(tuán)的機(jī)械能 據(jù)定義 聲場中單位體積介質(zhì)所具有的機(jī)械能為聲場的聲能密度 有 一 聲能量密度 聲波傳播過程中聲能從一個(gè)區(qū)域流向另一個(gè)區(qū)域 二 聲能流密度 定義 單位時(shí)間內(nèi)通過與聲波能量傳播方向垂直的單位面積的聲能為聲能流密度 它是一個(gè)向量 記 量綱 能量 面積 時(shí)間 M1T1L 2 MKS 制中 基本單位 J m2s W m2據(jù)能量守恒定律 參照連續(xù)性方程的推導(dǎo)辦法 可得聲能量密度與聲能流密度的關(guān)系 二 聲能流密度 聲能量密度的時(shí)間變化率等于聲能流密度的散度的負(fù)值 據(jù)與基本聲學(xué)量的關(guān)系式和上式 可得與基本聲學(xué)量的關(guān)系 二 聲能流密度 推導(dǎo)過程中用到三個(gè)基本方程 運(yùn)動(dòng)方程 狀態(tài)方程