遼寧省錦州市2016屆高考數(shù)學(xué)二模文科試卷含答案解析

第 1 頁(yè)（共 30 頁(yè)） 2016 年遼寧省錦州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科） 一、選擇題：本大題共 12 個(gè)小題 ,每小題 5 分 ,共 60 分 有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 1已知集合 M=x|x 1， N=x|2x 1，則 MN=（ ） A B x|x 0 C x|x 1 D x|0 x 1 2已知（ a+i）（ 1 =2i（其中 a， b 均為實(shí)數(shù)， i 為虛數(shù)單位），則 |a+于（ ） A 2 B C 1 D 1 或 3下列有關(guān)命題的說(shuō)法正確的是（ ） A命題 “若 ，則 x=1”的否命題為： “若 ，則 x1” B “m=1”是 “直線 x 和直線 x+ 互相垂直 ”的充要條件 C命題 “xR，使得 x2+x+1 0”的否定是： “xR，均有 x2+x+1 0” D命題 “已知 x， y 為一個(gè)三角形的兩內(nèi)角，若 x=y，則 逆命題為真命題 4某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的各個(gè)面中，最大的面積是（ ）A B 1 C D 5如圖是秦九韶算法的一個(gè)程序框圖，則輸出的 S 為（ ） 第 2 頁(yè)（共 30 頁(yè)） A a1+a3+a0+的值 B a3+a2+a1+的值 C a0+a1+a2+的值 D a2+a0+a3+的值 6已知變量 x， y 滿足約 束條件 ，則 z=x 2y 的最大值為（ ） A 3 B 0 C 1 D 3 7某餐廳的原料費(fèi)支出 x 與銷售額 y（單位：萬(wàn)元）之間有如下數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出 y 與 x 的線性回歸方程為 =表中的 m 的值為（ ） x 2 4 5 6 8 y 25 35 m 55 75 A 50 B 55 C 60 D 65 8已知函數(shù) f（ x） = ， g（ x） =x|，則函數(shù) F（ x） =f（ x） g（ x）的大致圖象為（ ） A B C D 9已知四棱錐 S 所有頂點(diǎn)在同一球面上，底面 正方形且球心 O 在此平面內(nèi)，當(dāng)四棱錐體積取得最大值時(shí)，其面積等于 16+16 ，則球 O 的體積等于（ ） A B C D 10雙曲線 C 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 y 軸上，離心率為 ，雙曲線 C 與拋物線 x 的準(zhǔn)線交于 A，B 兩點(diǎn)， |4，則雙曲線 C 的實(shí)軸長(zhǎng)為（ ） 第 3 頁(yè)（共 30 頁(yè)） A 2 B C 4 D 11設(shè)函數(shù) f（ x）是定義在 R 上的偶函數(shù)，對(duì)任意 xR，都有 f（ x） =f（ x+4），且當(dāng) x 2， 0時(shí)， f（ x） =（ ） x 1，若在區(qū)間（ 2， 6內(nèi)關(guān)于 x 的方程 f（ x） x+2） =0（ a 1）恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則 a 的取值范圍是（ ） A（ ， 2） B（ ， 2） C ， 2） D（ ， 2 12不等式 x 解集為 P，且 0， 2P，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ ， e 1） B（ e 1， +） C（ ， e+1） D（ e+1， +） 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分 13已知函數(shù) f（ x） = ，則 f（ = 14若 三邊 a， b， c 及面積 S 滿足 S= b c） 2，則 15已知向量 與 的夾角為 120，且 ， 若 ，且 ，則實(shí)數(shù) = 16 在 ，內(nèi)角 A， B， C 的所對(duì)邊分別是 a， b， c，有如下下列命題： 若 A B C，則 若 ，則 等邊三角形； 若 等腰三角形； 若（ 1+ 1+=2，則 鈍角三角形； 存在 A， B， C，使得 立 其中正確的命題為 （寫出所有正確命題的序號(hào)） 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明 過(guò)程或演算步驟 . 17已知數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 Sn=n（ n+1）（ nN*） （ ）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ ）若數(shù)列 足： ，求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ ）令 （ nN*），求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 第 4 頁(yè)（共 30 頁(yè)） 18某班同學(xué)利用國(guó)慶節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對(duì) 25， 55歲的人群隨機(jī)抽取 n 人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為 “低碳族 ”，否則稱 為 “非低碳族 ”，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖： 組數(shù) 分組 低碳族的人數(shù) 占本組的頻率 第一組 25， 30） 120 二組 30， 35） 195 p 第三組 35， 40） 100 四組 40， 45） a 五組 45， 50） 30 六組 50， 55） 15 ）補(bǔ)全頻率分布直方圖并求 n、 a、 p 的值； （ ）從年齡段在 40， 50）的 “低碳族 ”中采用分層抽樣法抽取 6 人參加戶外低碳體驗(yàn)活動(dòng)，其中選取 2 人作為領(lǐng)隊(duì)，求選取的 2 名 領(lǐng)隊(duì)中恰有 1 人年齡在 40， 45）歲的概率 19如圖，在四棱錐 P ，底面 直角梯形， 0，平面 面 Q 為 中點(diǎn)， M 是棱 中點(diǎn)， D=2， ， （ ）求證：平面 平面 （ ）求四面體 C 體積 第 5 頁(yè)（共 30 頁(yè)） 20橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率為 ，且過(guò)其右焦點(diǎn) F 與長(zhǎng)軸垂直的直線被橢圓 （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）設(shè)點(diǎn) P 是橢圓 C 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線 l： y= x+ 與橢圓 C 交于 A， B 兩點(diǎn)，求 積的最大值 21已知函數(shù) f（ x） =g（ x） = +x， mR 令 F（ x） =f（ x） +g（ x） （ ）當(dāng) m= 時(shí)，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （ ）若關(guān)于 x 的不等式 F（ x） 1 恒成立，求整數(shù) m 的最小值； （ ）若 m= 2，正實(shí)數(shù) 足 F（ +F（ +，證明： x1+ 請(qǐng)考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分 選修 4何證明選講 22如圖，圓周角 平分線與圓交于點(diǎn) D，過(guò)點(diǎn) D 的切線與弦 延長(zhǎng)線交于點(diǎn) E， C 于點(diǎn) F （ ）求證： （ ）若 D， E， C， F 四點(diǎn)共圓，且 = ，求 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 第 6 頁(yè)（共 30 頁(yè)） 23已知直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)），曲線 C 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)） （ ）已知在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系 相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，以 x 軸正半軸為極軸）中，點(diǎn) P 的極坐標(biāo)為（ 4， ），判斷點(diǎn) P 與直線 l 的位置關(guān)系； （ ）設(shè)點(diǎn) Q 是曲線 C 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn) Q 到直線 l 的距離的最小值與最大值 選 修 4等式選講 24已知函數(shù) f（ x） =|x 2| （ 1）解不等式： f（ x+1） +f（ x+2） 4； （ 2）已知 a 2，求證： xR， f（ +x） 2 恒成立 第 7 頁(yè)（共 30 頁(yè)） 2016 年遼寧省錦州市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 個(gè)小題 ,每小題 5 分 ,共 60 分 有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 1已知集合 M=x|x 1， N=x|2x 1，則 MN=（ ） A B x|x 0 C x|x 1 D x|0 x 1 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【專題】 計(jì)算題 【分析】 利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出集合 N 中的解集；利用交集的定義求出 MN 【解答】 解： N=x|2x 1=x|x 0 M=x|x 1， MN=X|0 X 1 故選 D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解指數(shù)不等式、考查利用交集的定義求兩個(gè)集合的交集 2已知（ a+i）（ 1 =2i（其中 a， b 均為實(shí)數(shù)， i 為虛數(shù)單位），則 |a+于（ ） A 2 B C 1 D 1 或 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)求模 【專題】 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù) 【分析】 首先將已知不等式展開(kāi)，利用復(fù)數(shù)相等求出 a， b，然后求模 【解答】 解：由（ a+i）（ 1 =2i 得（ a+b） +（ 1 i=2i，所以 ，解得 或者 ， 所以 |a+ = ； 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了復(fù)數(shù)相等以及復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題 第 8 頁(yè)（共 30 頁(yè)） 3下列有關(guān)命題的說(shuō)法正確的是（ ） A命題 “若 ，則 x=1”的否命題為： “若 ，則 x1” B “m=1”是 “直線 x 和直線 x+ 互相垂直 ”的充要條件 C命題 “xR，使得 x2+x+1 0”的否定是： “xR，均有 x2+x+1 0” D命題 “已知 x， y 為一個(gè)三角形的兩內(nèi)角，若 x=y，則 逆命題為真命題 【考點(diǎn)】 命題的真 假判斷與應(yīng)用 【專題】 簡(jiǎn)易邏輯 【分析】 對(duì)于 A 根據(jù)否命題的意義即可得出； 對(duì)于 B 按照垂直的條件判斷； 對(duì)于 C 按照含有一個(gè)量詞的命題的否定形式判斷； 對(duì)于 D 按照正弦定理和大角對(duì)大邊原理判斷 【解答】 解：對(duì)于 A，根據(jù)否命題的意義可得：命題 “若 ，則 x=1”的否命題為： “若 ，則 x1”，因此原命題不正確，違背否命題的形式； 對(duì)于 B， “m=1”是 “直線 x 和直線 x+ 互相垂直 ”的充要條件不準(zhǔn)確，因?yàn)?“直線 x 和直線 x+ 互相垂直 ”的充要條件是 ，即 m=1 對(duì) 于命題 C： “xR，使得 x2+x+1 0”的否定的寫法應(yīng)該是： “xR，均有 x2+x+10”，故原結(jié)論不正確 對(duì)于 D，根據(jù)正弦定理， x=y所以逆命題為真命題是正確的 故答案選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了四種命題之間的關(guān)系、命題的否定，屬于基礎(chǔ)題 4某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的各個(gè)面中，最大的面積是（ ）A B 1 C D 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 第 9 頁(yè)（共 30 頁(yè)） 【專題】 計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離 【分析】 根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是直三棱錐，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，求出該三棱錐的 4 個(gè)面的面積，得出面積最大的三角形的面積 【解答】 解：根據(jù)幾何體的三視圖，得； 該幾何體是如圖所示的直三棱錐， 且側(cè)棱 底面 ， ，點(diǎn) B 到 距離為 1； 底面 面積為 21=1， 側(cè)面 面積為 1= ， 側(cè)面 面積為 21=1， 在側(cè)面 ， ， = ， = ， 面積為 = ； 三棱錐 P 所有面中，面積最大的是 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了空間幾何體的三視圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了空間中的位置關(guān)系與距離的計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目 5如圖是秦九韶算法的一個(gè)程序框圖，則輸出的 S 為（ ） 第 10 頁(yè)（共 30 頁(yè)） A a1+a3+a0+的值 B a3+a2+a1+的值 C a0+a1+a2+的值 D a2+a0+a3+的值 【考點(diǎn)】 程序框圖 【專題】 圖表型；算法和 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，根據(jù)秦九韶算法即可得解 【解答】 解：由秦九韶算法， S=a0+a1+a2+， 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本小題主要通過(guò)程序框圖的理解考查學(xué)生的邏輯推理能力，同時(shí)考查學(xué)生對(duì)算法思想的理解與剖析，本題特殊利用秦九韶算法，使學(xué)生更加深刻地認(rèn)識(shí)中國(guó)優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，屬于基礎(chǔ)題 6已知變量 x， y 滿足約束條件 ，則 z=x 2y 的最大值為（ ） A 3 B 0 C 1 D 3 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【 專題】 計(jì)算題；不等式的解法及應(yīng)用 【分析】 作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的 其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù) z=x 2y 對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移，可得當(dāng) x=1， y=0 時(shí)， z 取得最大值 1 第 11 頁(yè)（共 30 頁(yè)） 【解答】 解：作出不等式組 表示的平面區(qū)域， 得到如圖的 其內(nèi)部，其中 A（ 1， 1）， B（ 2， 1）， C（ 1， 0） 設(shè) z=F（ x， y） =x 2y，將直線 l： z=x 2y 進(jìn)行平移， 當(dāng) l 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C 時(shí)，目標(biāo)函數(shù) z 達(dá)到最大值 z 最大值 =F（ 1， 0） =1 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù) z=x 2y 的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題 7某餐廳的原料費(fèi)支出 x 與銷售額 y（單位：萬(wàn)元）之間有如下數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出 y 與 x 的線性回歸方程為 =表中的 m 的值為（ ） x 2 4 5 6 8 y 25 35 m 55 75 A 50 B 55 C 60 D 65 【考點(diǎn)】 線性回歸方程 【專題】 應(yīng)用題；概率與統(tǒng)計(jì) 【分析】 計(jì)算樣本中心點(diǎn)，根據(jù)線性回歸方程恒過(guò)樣本中心點(diǎn)，列出方程，求解即可得到結(jié)論 【解答】 解：由題意， = =5， = =38+ ， y 關(guān)于 x 的線性回歸方程為 = 根據(jù)線性回歸方程必過(guò)樣本的中心， 38+ =+ m=60 第 12 頁(yè)（共 30 頁(yè)） 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查線性回歸方程的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是利用線性回歸方程恒過(guò)樣本中心點(diǎn)，這是線性回歸方程中最?？嫉闹R(shí)點(diǎn)屬于基礎(chǔ)題 8已知函數(shù) f（ x） = ， g（ x） =x|，則函數(shù) F（ x） =f（ x） g（ x）的大致圖象為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 函數(shù)的圖象 【專題】 應(yīng)用題；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的變化趨勢(shì)，即可判斷 【解答】 解： f（ x） = =f（ x）， g（ x） =x|=g（ x）， F（ x） =f（ x） g（ x） =f（ x） g（ x） =F（ x）， 函數(shù) F（ x）為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱， 當(dāng) x+時(shí)， f（ x） ， g（ x） +， 當(dāng) x+時(shí)， F（ x） ， 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，關(guān)鍵是判斷函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的變化趨勢(shì)，屬于基礎(chǔ)題 9已知四棱錐 S 所有頂點(diǎn)在同一球面上，底面 正方形且球心 O 在此平面內(nèi)，當(dāng)四棱錐體積取得最大值時(shí)，其面積等于 16+16 ，則球 O 的體積等于（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 球的體積和表面積 【專題】 計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離 【分析】 當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí)，四棱錐為正四棱錐，根據(jù)該四棱錐的表面積等于 16+16 ，確定該四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高，進(jìn)而可求球的半徑為 R，從而可求球的體積 【解答】 解：由題意，當(dāng)此四棱錐體積取得最大值時(shí)， 四棱錐為正四棱錐， 該四棱錐的表面積等于 16+16 ， 設(shè)球 O 的半徑為 R，則 R， ，如圖， 該四棱錐的底面邊長(zhǎng)為 R， 第 13 頁(yè)（共 30 頁(yè)） 則有（ R） 2+4 R =16+16 ， 解得 R=2 球 O 的體積是 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查球內(nèi)接多面體，球的體積，解題的關(guān)鍵是確定球的半徑，再利用公式求解 10雙曲線 C 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 y 軸上，離心率為 ，雙曲線 C 與拋物線 x 的準(zhǔn)線交于 A，B 兩點(diǎn)， |4，則雙曲線 C 的實(shí)軸長(zhǎng)為（ ） A 2 B C 4 D 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【專題】 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程 【分析】 設(shè)出雙曲線方程，求出拋物線的準(zhǔn)線方程，利用 |4 求得一交點(diǎn)坐標(biāo)，代入雙曲線方程求得 ，則雙曲線 C 的實(shí)軸長(zhǎng)可求 【解答】 解：由題意可知，雙曲線為焦點(diǎn)在 y 軸上的等軸雙曲線， 設(shè)等軸 雙曲線 C 的方程為 ，（ 1） 拋物線 x，則 2p=4， p=2， ， 拋物線的準(zhǔn)線方程為 x= 1 設(shè)等軸雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線 x= 1 的兩個(gè)交點(diǎn) A（ 1， y）， B（ 1， y）（ y 0）， 則 |y（ y） |=2y=4， y=2 將 x= 1， y=2 代入（ 1），得 22（ 1） 2=， =3， 等軸雙曲線 C 的方程為 ， 即 ， 第 14 頁(yè)（共 30 頁(yè)） C 的實(shí)軸長(zhǎng)為 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查拋物線，雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題 11設(shè)函數(shù) f（ x）是定義在 R 上的偶函數(shù)，對(duì)任意 xR，都有 f（ x） =f（ x+4），且當(dāng) x 2， 0時(shí)， f（ x） =（ ） x 1，若在區(qū)間（ 2， 6內(nèi)關(guān)于 x 的方程 f（ x） x+2） =0（ a 1）恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則 a 的取值范圍是（ ） A（ ， 2） B（ ， 2） C ， 2） D（ ， 2 【考點(diǎn)】 函數(shù)的周期性；函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 【專題】 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 由已知中 f（ x）是定義在 R 上的偶函數(shù)，對(duì)于任意的 xR，都有 f（ x 2） =f（ 2+x），我們可以得到函數(shù) f（ x）是一個(gè)周期函數(shù)，且周期為 4，則不難畫(huà)出函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ 2， 6上的圖象，結(jié)合方程的解與函數(shù)的零點(diǎn)之間的 關(guān)系，我們可將方程 f（ x） =0 恰有 3 個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù) f（ x）的與函數(shù) y= 的圖象恰有 3 個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可得到實(shí)數(shù)a 的取值范圍 【解答】 解：設(shè) x0， 2，則 x 2， 0， f（ x） =（ ） x 1=2x 1， f（ x）是定義在 R 上的偶函數(shù)， f（ x） =f（ x） =2x 1 對(duì)任意 xR，都有 f（ x） =f（ x+4）， 當(dāng) x2， 4時(shí)，（ x 4） 2， 0， f（ x） =f（ x 4） =4 1； 當(dāng) x4， 6時(shí)，（ x 4） 0， 2， f（ x） =f（ x 4） =2x 4 1 若在區(qū)間（ 2， 6內(nèi)關(guān)于 x 的方程 f（ x） x+2） =0（ a 1）恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根， 函數(shù) y=f（ x）與函數(shù) y=x+2）在區(qū)間（ 2， 6上恰有三個(gè)交點(diǎn)， 通過(guò)畫(huà)圖可知：恰有三個(gè)交點(diǎn)的條件是 ，解得： a 2， 第 15 頁(yè)（共 30 頁(yè)） 即 a 2，因此所求的 a 的取值范圍為（ ， 2） 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中根據(jù)方程的解與函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系，將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，是解答本題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題 12不等式 x 解集為 P，且 0， 2P，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ ， e 1） B（ e 1， +） C（ ， e+1） D（ e+1， +） 【考點(diǎn)】 一元二次不等式的解法；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用 【專題】 不等式的解法及應(yīng)用 【分析】 由不等式 x 解集為 P，且 0， 2P ， x0， 2，利用導(dǎo)數(shù)求出即可 【解答】 解： 當(dāng) x=0 時(shí)，不等式 0 0 對(duì)任意實(shí)數(shù) x 恒成立； 當(dāng) x 0 時(shí)，不等式 x 變形為 ， 由不等式 x 解集為 P，且 0， 2P ， x0， 2 設(shè) ， x（ 0， 2 g（ x） = = ，令 g（ x） =0，解得 x=1 當(dāng) 0 x 1 時(shí)， g（ x） 0，函數(shù) g（ x）單調(diào)遞減；當(dāng) 1 x2 時(shí)， g（ x） 0，函數(shù) g（ x）單調(diào)遞增 由此可知：當(dāng) x=1 時(shí)，函數(shù) f（ x）取得極小值，也即最小值，且 f（ 1） =e 1+a e， a e 1 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 把問(wèn)題正確等價(jià)轉(zhuǎn)化并熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值是解題的關(guān)鍵 第 16 頁(yè)（共 30 頁(yè)） 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分 13已知函數(shù) f（ x） = ，則 f（ = 【考點(diǎn)】 抽象函數(shù)及其應(yīng)用 【專題】 計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 注意分段函數(shù)各段的范圍，由對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則，結(jié)合對(duì)數(shù)恒等式 =N，計(jì)算即可得到 【解答】 解：由于函數(shù) f（ x） = ， 則 f（ =f（ 1） 1 =f（ 1=f（ 1） 2=f（ 2 =f（ 1） 3=f（ 3=f（ 1） 4=f（ 4 = 4= 4= 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用：求函數(shù)值，注意各段的 范圍，考查對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則及對(duì)數(shù)恒等式，屬于中檔題 14若 三邊 a， b， c 及面積 S 滿足 S= b c） 2，則 【考點(diǎn)】 余弦定理 【專題】 解三角形 【分析】 由條件利用余弦定理求得 4 4利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式求得 值，可得 的值 【解答】 解： ，由于面積 S= b c） 2 =b2+2bc b2+2=22bc 第 17 頁(yè)（共 30 頁(yè)） 而 S= bc 22bcbc得 4 4 4 4（ 1 2 ） =2 ， = = = ， 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查余弦定理、同角三 角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題 15已知向量 與 的夾角為 120，且 ， 若 ，且 ，則實(shí)數(shù) = 【考點(diǎn)】 數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角；向量的模 【專題】 平面向量及應(yīng)用 【分析】 利用 ， ，表示 向量，通過(guò)數(shù)量積為 0，求出 的值即可 【解答】 解：由題意可知： ， 因?yàn)?， 所以 ， 所以 = = = 12+7=0 解得 = 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的垂直，考查轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)與計(jì)算能力 16在 ，內(nèi)角 A， B， C 的所對(duì)邊分別是 a， b， c，有如下下列命題： 若 A B C， 則 第 18 頁(yè)（共 30 頁(yè)） 若 ，則 等邊三角形； 若 等腰三角形； 若（ 1+ 1+=2，則 鈍角三角形； 存在 A， B， C，使得 立 其中正確的命題為 （寫出所有正確命題的序號(hào)） 【考點(diǎn)】 同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用 【專題】 三角函數(shù)的求值 【分析】 已知不等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理得到結(jié)果，即可做出判斷； 已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理得到結(jié)果，即可做出判斷； 已知等式利用正弦函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)，整理得到結(jié)果，即可做出判斷； 已知等式整理后，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)，求出 C 的度數(shù)，即可做出判斷； 由 A， B， C 為三角形內(nèi)角，得到 A+B） = C） = 用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理得到 本選項(xiàng)錯(cuò)誤 【解答】 解： A B C， a b c， 又 = = =2R， ， ， ， 2R 為定值， 選項(xiàng)正確； = = ， 由正弦定理得： a=2Rb=2Rc=2R入，得 = = ， = = ，即 A=B=C， 則 等邊三角形，本選項(xiàng)正確； 2A=2B 或 2A+2B=， 即 A=B 或 A+B= ， 則 等腰三角形或直角三角形，本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 第 19 頁(yè)（共 30 頁(yè)） （ 1+ 1+=2，即 1+， ，即 =1，即 A+B） =1， A+B= ，即 C= ， 則 鈍角三角形，本選項(xiàng)正確； 若 A、 B、 C 有一個(gè)為直角時(shí)不成立， 若 A、 B、 C 都不為直角， A+B= C， A+B） = C），即 = 則 即 錯(cuò)誤， 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦定理，兩角和與差的正切函數(shù)公式，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 . 17已知數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 Sn=n（ n+1）（ nN*） （ ）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ ）若數(shù)列 足： ，求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ ）令 （ nN*），求數(shù)列 前 n 項(xiàng) 和 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；數(shù)列的函數(shù)特性；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 【專題】 綜合題 【分析】 （ ）當(dāng) n=1 時(shí)， 1=2，當(dāng) n2 時(shí)， n 1=n（ n+1）（ n 1） n=2n，由此能求出數(shù)列 通項(xiàng)公式 第 20 頁(yè)（共 30 頁(yè)） （ ）由 （ n1），知，所以 ，由此能求出 （ ） =n（ 3n+1） =n3n+n，所以 Tn=c1+c2+ 13+232+333+n3n） +（ 1+2+n），令 3+232+333+n3n，由錯(cuò)位相減法能求出 ，由此能求出數(shù)列前 n 項(xiàng)和 【解答】 解：（ ）當(dāng) n=1 時(shí)， 1=2， 當(dāng) n2 時(shí)， n 1=n（ n+1）（ n 1） n=2n， 知 滿足該式， 數(shù)列 通項(xiàng)公式為 n （ ） （ n1） 得： ， =2（ 3n+1+1）， 故 （ 3n+1）（ nN*） （ ） =n（ 3n+1） =n3n+n， Tn=c1+c2+ 13+232+333+n3n） +（ 1+2+n） 令 3+232+333+n3n， 則 332+233+334+n3n+1 得： 2+32+33+3n n3n+1= ， 第 21 頁(yè)（共 30 頁(yè)） 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 【點(diǎn)評(píng)】 本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項(xiàng)，結(jié)合含兩個(gè)變量的不等式的處理問(wèn)題，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解 “存在 ”、 “恒成立 ”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性綜 合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的靈活運(yùn)用 18某班同學(xué)利用國(guó)慶節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對(duì) 25， 55歲的人群隨機(jī)抽取 n 人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為 “低碳族 ”，否則稱為 “非低碳族 ”，得到如下統(tǒng)計(jì)表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖： 組數(shù) 分組 低碳族的人數(shù) 占本組的頻率 第一組 25， 30） 120 二組 30， 35） 195 p 第三組 35， 40） 100 四組 40， 45） a 五組 45， 50） 30 六組 50， 55） 15 ）補(bǔ)全頻率分布直方圖并求 n、 a、 p 的值； （ ）從年齡段在 40， 50）的 “低碳族 ”中采用分層抽樣法抽取 6 人參加戶外低碳體驗(yàn)活動(dòng)，其中選取 2 人作為領(lǐng)隊(duì)，求選取的 2 名領(lǐng)隊(duì)中恰有 1 人年齡在 40， 45）歲的概率 【考點(diǎn)】 隨機(jī)抽樣和樣本估計(jì)總體的實(shí)際應(yīng)用；頻率分布直方圖 【專題】 計(jì)算題 第 22 頁(yè)（共 30 頁(yè)） 【分析】 （ I）根據(jù)頻率分步直方圖的面積是這組數(shù)據(jù)的頻率，做出頻率，除以組距得到高，畫(huà)出頻率分步 直方圖的剩余部分，根據(jù)頻率，頻數(shù)和樣本容量之間的關(guān)系，做出 n、 a、 p 的值 （ 據(jù)分層抽樣方法做出兩個(gè)部分的人數(shù)，列舉出所有試驗(yàn)發(fā)生包含的事件和滿足條件的事件，根據(jù)等可能事件的概率公式，得到結(jié)果 【解答】 解：（ ） 第二組的頻率為 1（ 5= 高為 頻率直方圖如下： 第一組的人數(shù)為 ，頻率為 = 由題可知，第二組的頻率為 第二組的人數(shù)為 100000， 第四組的頻率為 = 第四組的人數(shù)為 100050， a=1500 （ ） 40， 45）歲年齡段的 “低碳族 ”與 45， 50）歲年齡段的 “低碳族 ”的比值為 60： 30=2： 1， 所以采用分層抽樣法抽取 6 人， 40， 45）歲中 有 4 人， 45， 50）歲中有 2 人 設(shè) 40， 45）歲中的 4 人為 a、 b、 c、 d， 45， 50）歲中的 2 人為 m、 n，則選取 2 人作為領(lǐng)隊(duì)的有 （ a， b）、（ a， c）、（ a， d）、（ a， m）、（ a， n）、（ b， c）、（ b， d）、（ b， m）、 （ b， n）、（ c， d）、（ c， m）、（ c， n）、（ d， m）、（ d， n）、（ m， n），共 15 種； 其中恰有 1 人年齡在 40， 45）歲的有（ a， m）、（ a， n）、（ b， m）、（ b， n）、 第 23 頁(yè)（共 30 頁(yè)） （ c， m）、（ c， n）、（ d， m）、（ d， n），共 8 種 選取的 2 名領(lǐng)隊(duì)中恰有 1 人年齡在 40， 45）歲的概率為 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查頻率分步直方圖，考查頻數(shù)，頻率和樣本容量之間的關(guān)系，考查等可能事件的概率，考查利用列舉法來(lái)得到題目要求的事件數(shù)，本題是一個(gè)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合題目 19如圖，在四棱錐 P ，底面 直角梯形， 0，平面 面 Q 為 中點(diǎn)， M 是棱 中點(diǎn)， D=2， ， （ ）求證：平面 平面 （ ）求四面體 C 體積 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直的判定 【專題】 空間位置關(guān)系與距離 【分析】 （ I）由已知可得：四邊形 平行四邊形得到 用面面垂直的性質(zhì)可得：平面 而得到平面平面 平面 （ 用 M ，即可得出 【解答】 （ I）證明： ， Q 為 點(diǎn)， 四邊形 平行四邊形 0， 0，即 又 平面 平面 平面 面 D， 面 平面 面 平面平面 平面 （ ： M ， 由（ I）可知：四邊形 矩形， S = 第 24 頁(yè)（共 30 頁(yè)） D， Q 為 中點(diǎn)， 平面 平面 平面 面 D， 平面 ， = = 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了梯形平行四邊形與矩形的性質(zhì)、線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題 20橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率為 ，且過(guò)其右焦點(diǎn) F 與長(zhǎng)軸垂直的直線被橢圓 （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）設(shè)點(diǎn) P 是橢圓 C 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線 l： y= x+ 與橢圓 C 交于 A， B 兩點(diǎn)，求 積的最大值 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【專題】 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方 程 【分析】 （ ）通過(guò)題意及 b2=得 、 6，從而得到橢圓 C 的方程； （ ）設(shè)過(guò) P 點(diǎn)且與 行的直線 L 方程為 ， L 與 離就是 P 點(diǎn)到 距離，也就是 上的高，只要 L 與橢圓相切，就可得 L 與 A 的 B 最大距離，從而可得最大面積 【解答】 解：（ ） 橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率為 ， ， ，即 4 第 25 頁(yè)（共 30 頁(yè)） 又 過(guò)橢圓右焦點(diǎn) F 與長(zhǎng)軸垂直的直線被橢圓 C 截得的弦長(zhǎng)為 2， ， ，即 ， 又 b2=以 a2=b2+ ，即 6， 所以橢圓 C 的方 程為： ； （ ）聯(lián)立直線直線 l： y= x+ 與橢圓 C 的方程，得 ，消去 y，整理可得 72x 52=0， 即（ 7x+26）（ x 2） =0，解得 x=2 或 ， 所以不妨設(shè) A（ 2， ）， B（ ， ）， 則 = ， 設(shè)過(guò) P 點(diǎn)且與直線 l 平行的直線 L 的方程為： ， L 與 l 的距離就是 P 點(diǎn)到 距離，即 邊 上的高， 只要 L 與橢圓相切，就有 L 與 最大距離，即得最大面積， 將 代入 ， 消元、整理，可得： ， 令判別式 = = 256864 =0，解得 c= = ， L 與 最大距離為 = ， 積的最大值為： = 第 26 頁(yè)（共 30 頁(yè)） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查橢圓方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是求出L 與 大距離，屬于中檔題 21已知函數(shù) f（ x） =g（ x） = +x， mR 令 F（ x） =f（ x） +g（ x） （ ）當(dāng) m= 時(shí)，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間； （ ）若關(guān)于 x 的不等式 F（ x） 1 恒成立，求整數(shù) m 的最小值； （ ）若 m= 2，正實(shí)數(shù) 足 F（ +F（ +，證明： x1+ 【考點(diǎn)】 導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【專題】 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 【分析】 （ 1）先求函數(shù)的定義域， 然后求導(dǎo)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)大于零得到增區(qū)間； （ 2）不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，應(yīng)先求導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，然后求函數(shù)的最值； （ 3）聯(lián)系函數(shù)的 F（ x）的單調(diào)性，然后證明即可注意對(duì)函數(shù)的構(gòu)造 【解答】 解：（ 1） 由 f（ x） 0 得 1 0 又 x 0，所以 0 x 1所以 f（ x）的單增區(qū)間為（ 0， 1） （ 2）令 x+1 所以 = 當(dāng) m0 時(shí)，因?yàn)?x 0，所以 G（ x） 0 所以 G（ x）在（ 0， +）上是遞增函數(shù)， 又因?yàn)?G（ 1） = 所以關(guān)于 x 的不等式 G（ x） 0 不能恒成立 當(dāng) m 0 時(shí)， 令 G（ x） =0 得 x= ，所以當(dāng) 時(shí)， G（ x） 0；當(dāng) 時(shí)， G（ x） 0 因此函數(shù) G（ x）在 是增函數(shù)，在 是減函數(shù) 故函數(shù) G（ x）的最大值為 第 27 頁(yè)（共 30 頁(yè)） 令 h（ m） = ，因?yàn)?h（ 1） = ， h（ 2） = 又因?yàn)?h（ m）在 m（ 0， +）上是減函數(shù)，所以當(dāng) m2 時(shí)， h（ m） 0 所以整數(shù) m 的最小值為 2 （ 3）當(dāng) m= 2 時(shí)， F（ x） =x2+x， x 0 由 F（ +F（ +，即 x1+x2+ 化簡(jiǎn)得 令 t=由 （ t） =t （ t） = 可知 （ t）在區(qū)間（ 0， 1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（ 1， +）上單調(diào)遞增所以 （ t） （ 1） =1 所以 ，即 成立 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的基本思路，不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題來(lái)解的方法屬于中檔題，難度不大 請(qǐng)考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分 選修 4何證明選講 22如圖，圓周角 平分線與圓交于點(diǎn) D，過(guò)點(diǎn) D