初中數(shù)學(xué)：實際問題與二次函數(shù)-詳解與練習(xí)(含答案)

1 11 初中數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練 實際問題與二次函數(shù)初中數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練 實際問題與二次函數(shù) 一 一 利用函數(shù)求圖形面積的最值問題利用函數(shù)求圖形面積的最值問題 一 圍成圖形面積的最值 1 只圍二邊的矩形的面積最值問題 例 1 如圖 1 用長為 18 米的籬笆 虛線部分 和兩面墻圍成矩形苗 圃 1 設(shè)矩形的一邊長為 x 米 面積為 y 平方米 求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式 2 當(dāng) x 為何值時 所圍成的苗圃面積最大 最大面積是多少 分析 關(guān)鍵是用含分析 關(guān)鍵是用含 x x 的代數(shù)式表示出矩形的長與寬 的代數(shù)式表示出矩形的長與寬 解 1 設(shè)矩形的長為 x 米 則寬為 18 x 米 根據(jù)題意 得 xxxxy18 18 2 又 180 018 0 x x x 2 中 a 1 0 y 有最大值 xxxxy18 18 2 即當(dāng)時 9 1 2 18 2 a b x81 1 4 180 4 4 22 max a bac y 故當(dāng) x 9 米時 苗圃的面積最大 最大面積為 81 平方米 點評 在回扣問題實際時 一定注意不要遺漏了單位 2 只圍三邊的矩形的面積最值 例 2 如圖 2 用長為 50 米的籬笆圍成一個養(yǎng)雞場 養(yǎng)雞場的一面靠墻 問如何圍 才能使養(yǎng)雞場的面積最大 分析 關(guān)鍵是明確問題中的變量是哪兩個 并能準(zhǔn)確布列出函數(shù)關(guān)系分析 關(guān)鍵是明確問題中的變量是哪兩個 并能準(zhǔn)確布列出函數(shù)關(guān)系式式 解 設(shè)養(yǎng)雞場的長為 x 米 面積為 y 平方米 則寬為 2 50 x 米 根據(jù)題意 得 xx x xy25 2 1 2 50 2 又 500 0 2 50 0 x x x 中 a 0 y 有最大值 xx x xy25 2 1 2 50 2 2 1 即當(dāng)時 25 2 1 2 25 2 a b x 2 625 2 1 4 250 4 4 22 max a bac y 故當(dāng) x 25 米時 養(yǎng)雞場的面積最大 養(yǎng)雞場最大面積為平方米 2 625 點評 如果設(shè)養(yǎng)雞場的寬為 x 上述函數(shù)關(guān)系式如何變化 請讀者自己完成 3 圍成正方形的面積最值 例 3 將一條長為 20cm 的鐵絲剪成兩段 并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形 1 要使這兩個正方形的面積之和等于 17cm2 那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少 2 兩個正方形的面積之和可能等于 12cm2嗎 若能 求出兩段鐵絲的長度 若不能 請說明理由 1 解 設(shè)剪成兩段后其中一段為 xcm 則另一段為 20 x cm 由題意得 17 4 20 4 22 xx 解得 4 16 21 xx 當(dāng)時 20 x 4 當(dāng)時 20 x 1616 1 x4 2 x 答 這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是 16 厘米 4 厘米 2 不能 理由是 設(shè)第一個正方形的邊長為 xcm 則第二個正方形的邊長為cm 圍成兩個正方形 5 4 420 x x 的面積為 ycm2 根據(jù)題意 得 25102 5 222 xxxxy 中 a 2 0 y 有最小值 25102 5 222 xxxxy 即當(dāng)時 12 5 12 故兩個正 2 5 22 10 2 a b x 2 25 24 102524 4 4 22 min a bac y 方形面積的和不可能是12cm2 練習(xí) 1 如圖 正方形 EFGH 的頂點在邊長為 a 的正方形 ABCD 的邊上 若 AE x 正方形 EFGH 的面積為 y 1 求出 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式 2 正方形 EFGH 有沒有最大面積 若有 試確定 E 點位置 若沒有 說明理由 二 利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑物問題二 利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑物問題 例題 1 如圖 1 是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋 當(dāng)水面在 l 時 拱頂 拱橋洞的最高點 離水面 2m 水面寬 4m 如圖 2 建立平面直角坐標(biāo)系 則拋物線的關(guān)系式是 3 11 圖 1 圖 2 2 1 2 yx 解析 試題分析 由圖中可以看出 所求拋物線的頂點在原點 對稱軸為 y 軸 可設(shè)此函數(shù)解析式為 y ax2 利 用待定系數(shù)法求解 試題解析 設(shè)此函數(shù)解析式為 2 yax 0a 那么 2 2 應(yīng)在此函數(shù)解析式上 則24a 即得 1 2 a 那么 2 1 2 yx 考點 根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式 練習(xí) 1 某地要建造一個圓形噴水池 在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子 OA O 恰在水面中心 安置在柱子 頂端 A 處的噴頭向外噴水 水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下 且在過 OA 的任一平面上 拋物線形狀如圖 1 所示 圖 2 建立直角坐標(biāo)系 水流噴出的高度 y 米 與水平距離 x 米 之間的 關(guān)系是 請回答下列問題 4 5 2 2 xxy 1 柱子 OA 的高度是多少米 2 噴出的水流距水平面的最大高度是多少米 3 若不計其他因素 水池的半徑至少要多少米才能使噴出的水流不至于落在池外 2 一座橋如圖 橋下水面寬度 AB 是 20 米 高 CD 是 4 米 要使高為 3 米的船通過 則其寬度須不超過多 少米 1 如圖 1 若把橋看做是拋物線的一部分 建立如圖坐標(biāo)系 求拋物線的解析式 要使高為 3 米的船通過 則其寬度須不超過多少米 2 如圖 2 若把橋看做是圓的一部分 求圓的半徑 要使高為 3 米的船通過 則其寬度須不超過多少米 三 利用拋物線解決最大利潤問題三 利用拋物線解決最大利潤問題 例題 1 某市政府大力扶持大學(xué)生創(chuàng)業(yè) 李明在政府的扶持下投資銷售一種進(jìn)價為每件 20 元的護(hù)眼臺 燈 銷售過程中發(fā)現(xiàn) 每月銷售量 y 件 與銷售單價 x 元 之間的關(guān)系可近似的看做一次函數(shù) y 10 x 500 1 設(shè)李明每月獲得利潤為 w 元 當(dāng)銷售單價定為多少元時 每月可獲得最大利潤 6 分 2 如果李明想要每月獲得 2 000 元的利潤 那么銷售單價應(yīng)定為多少元 3 分 3 物價部門規(guī)定 這種護(hù)眼臺燈的銷售單價不得高于 32 元 如果李明想要每月獲得的利潤不低于 2 000 元 那么他每月的成本最少需要多少元 成本 進(jìn)價 銷售量 3 分 答案 1 35 2 30 或 40 3 3600 解析 試題分析 1 由題意得 每月銷售量與銷售單價之間的關(guān)系可近似看作一次函數(shù) 根據(jù)利潤 定價 進(jìn)價 銷售量 從而列出關(guān)系式 2 令 w 2000 然后解一元二次方程 從而求出銷售單價 3 根 據(jù)函數(shù)解析式 利用一次函數(shù)的性質(zhì)求出最低成本即可 試題解析 1 由題意得出 2 Wx20 yx2010 x50010 x700 x10000 b a10035 2a 當(dāng)銷售單價定為 35 元時 每月可獲得最大利潤 2 由題意 得 2 10 x700 x100002000 解這個方程得 x1 30 x2 40 李明想要每月獲得 2000 元的利潤 銷售單價應(yīng)定為 30 元或 40 元 3 拋物線開口向下 當(dāng) 30 x 40 時 W 2000 a100 x 32 當(dāng) 30 x 32 時 W 2000 設(shè)成本為 P 元 由題意 得 P2010 x500200 x10000 k 200 0 P 隨 x 的增大而減小 當(dāng) x 32 時 P 最小 3600 5 11 答 想要每月獲得的利潤不低于 2000 元 每月的成本最少為 3600 元 考點 二次函數(shù)的應(yīng)用 練習(xí) 1 某玩具批發(fā)商銷售每只進(jìn)價為 40 元的玩具 市場調(diào)查發(fā)現(xiàn) 若以每只 50 元的價格銷售 平均每 天銷售 90 只 單價每提高 1 元 平均每天就少銷售 3 只 1 平均每天的銷售量 y 只 與銷售價 x 元 只 之間的函數(shù)關(guān)系式為 2 求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤 W 元 與銷售只 x 元 只 之間的函數(shù)關(guān)系式 3 物價部門規(guī)定每只售價不得高于 55 元 當(dāng)每只玩具的銷售價為多少元時 可以獲得最大利潤 最大 利潤是多少元 一系列 三農(nóng) 優(yōu)惠政策 使農(nóng)民收入大幅度增加 某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品 已知這種產(chǎn)品的成本價 為每千克 20 元 市場調(diào)查發(fā)現(xiàn) 該產(chǎn)品每天的銷售量 y 千克 與銷售價 x 元 千克 有如下關(guān)系 設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為 w 元 y2x80 1 求 w 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式 2 該產(chǎn)品銷售價定為每千克多少元時 每天的銷售利潤最大 最大利潤是多少元 2 為了落實國務(wù)院的指示精神 地方政府出臺了 3 某公司營銷兩種產(chǎn)品 根據(jù)市場調(diào)研 發(fā)現(xiàn)如下信息 A B 信息 1 銷售種產(chǎn)品所獲利潤 萬元 與所售產(chǎn)品 噸 之間存在二次函數(shù)關(guān)系A(chǔ)yx 當(dāng)時 當(dāng)時 2 yaxbx 1x 1 4y 3x 3 6y 信息 2 銷售種產(chǎn)品所獲利潤 萬元 與所售產(chǎn)品 噸 之間存在正比例函數(shù)關(guān)系 Byx0 3yx 根據(jù)以上信息 解答下列問題 1 求二次函數(shù)解析式 2 該公司準(zhǔn)備購進(jìn)兩種產(chǎn)品共 10 噸 請設(shè)計一個營銷方案 使銷售兩種產(chǎn)品獲得的利潤之和 A B A B 最大 最大利潤是多少 4 為鼓勵大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè) 某市政府出臺了相關(guān)政策 由政府協(xié)調(diào) 本市企業(yè)按成本價提供產(chǎn)品給 大學(xué)畢業(yè)生自主銷售 成本價與出廠價之間的差價由政府承擔(dān) 李明按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一 種新型節(jié)能燈 已知這種節(jié)能燈的成本價為每件 10 元 出廠價為每件 12 元 每月銷售量 件 與銷售y 單價 元 之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù) x10500yx 1 李明在開始創(chuàng)業(yè)的第一個月將銷售單價定為 20 元 那么政府這個月為他承擔(dān)的總差價為多少元 2 設(shè)李明獲得的利潤為 元 當(dāng)銷售單價定為多少元時 每月可獲得最大利潤 w 3 物價部門規(guī)定 這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于 25 元 如果李明想要每月獲得的利潤不低于 3000 元 那么政府為他承擔(dān)的總差價最少為多少元 5 某文具店銷售一種進(jìn)價為 10 元 個的簽字筆 物價部門規(guī)定這種簽字筆的售價不得高于 14 元 個 根 據(jù)以往經(jīng)驗 以 12 元 個的價格銷售 平均每周銷售簽字筆 100 個 若每個簽字筆的銷售價格每提高 1 元 則平均每周少銷售簽字筆 10 個 設(shè)銷售價為 x 元 個 1 該文具店這種簽字筆平均每周的銷售量為 個 用含 x 的式子表示 2 求該文具店這種簽字筆平均每周的銷售利潤 w 元 與銷售價 x 元 個 之間的函數(shù)關(guān)系式 3 當(dāng) x 取何值時 該文具店這種簽字筆平均每周的銷售利潤最大 最大利潤是多少元 6 一汽車租賃公司擁有某種型號的汽車 100 輛 公司在經(jīng)營中發(fā)現(xiàn)每輛車的月租金 x 元 與每月租出的車 輛數(shù) y 有如下關(guān)系 x3000320035004000 y100969080 1 觀察表格 用所學(xué)過的一次函數(shù) 反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識求出每月租出的車輛數(shù) y 輛 與每輛車的月租金 x 元 之間的關(guān)系式 2 已知租出的車每輛每月需要維護(hù)費 150 元 未租出的車每輛每月需要維護(hù)費 50 元 用含 x x 3000 的代數(shù)式填表 租出的車輛數(shù) 未租出的車輛數(shù) 租出每輛車的月收 益 所有未租出的車輛每月的維護(hù) 費 3 若你是該公司的經(jīng)理 你會將每輛車的月租金定為多少元 才能使公司獲得最大月收益 請求出公 司的最大月收益是多少元 初中數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練 實際問題與二次函數(shù)初中數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練 實際問題與二次函數(shù) 參考答案參考答案 一 1 1 y 2x2 2ax a2 2 有 當(dāng)點 E 是 AB 的中點時 面積最大 解析 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用 1 先由 AAS 證明 AEF DHE 得出 AE DH x 米 AF DE a x 米 再根據(jù)勾股定理 求出 EF2 即 可得到 S 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式 2 先將 1 中求得的函數(shù)關(guān)系式運用配方法寫成頂點式 再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解 解 四邊形 ABCD 是邊長為 a 米的正方形 A D 90 AD a 米 四邊形 EFGH 為正方形 FEH 90 EF EH 在 AEF 與 DHE 中 A D AEF DHE 90 DEH EF EH AEF DHE AAS AE DH x 米 AF DE a x 米 y EF2 AE2 AF2 x2 a x 2 2x2 2ax a2 即 y 2x2 2ax a2 2 y 2x2 2ax a2 2 x 2 2 a 2 4 a 當(dāng) x 時 S 有最大值 2 a 故當(dāng)點 E 是 AB 的中點時 面積最大 2 練習(xí) 1 1 2 3 4 5 4 9 2 5 解析 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用 1 本題需先根據(jù)已知條件把 x 0 代入拋物線的解析式 從而得出 y 的值 即可求出答案 2 通過拋物線的頂點坐標(biāo)求得 3 本題需先根據(jù)已知條件把 y 0 代入拋物線求出所要求的式子 再得出 x 的值 即可求出答案 解 1 把 x 0 代入拋物線的解析式 7 11 得 y 即柱子 OA 的高度是 4 5 4 5 2 由題意得 當(dāng) x 時 y 即水流距水平面的最大高度 2 1 21 4 9 3 把 y 0 代入拋物線 得 0 解得 x1 舍去 不合題意 x2 4 5 2 2 xx 1 2 5 2 故水池的半徑至少要米才能使噴出的水流不至于落在池外 5 2 2 1 10 2 14 5 2 1 4 25 yx 4 7 解析 試題分析 1 利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可 根據(jù)題意得出 y 3 時 求出 x 的值即可 2 構(gòu)造直角三角形利用 BW2 BC2 CW2 求出即可 在 RT WGF 中 由題可知 WF 14 5 WG 14 5 1 13 5 根據(jù)勾股定理知 GF2 WF2 WG2 求出即可 試題解析 1 設(shè)拋物線解析式為 橋下水面寬度 AB 是 20 米 高 CD 是 4 米 2 yaxc A 10 0 B 10 0 D 0 4 解得 拋物線解析式為 1000 4 ac c 1 25 4 a c 2 1 4 25 yx 要使高為 3 米的船通過 則 解得 EF 10 米 3y 2 1 34 25 x 5x 2 設(shè)圓半徑 r 米 圓心為 W BW2 BC2 CW2 解得 222 4 10rr 14 5r 在 RT WGF 中 由題可知 WF 14 5 WG 14 5 1 13 5 根據(jù)勾股定理知 GF2 WF2 WG2 即 GF2 14 52 13 52 28 所以 GF 此時寬度 EF 米 2 74 7 考點 1 二次函數(shù)的應(yīng)用 2 垂徑定理的應(yīng)用 三 1 1 y 3x 240 2 w 3x2 360 x 9600 3 定價為 55 元時 可以獲得最大利潤是 1125 元 解析 試題分析 1 根據(jù)題意知銷售量 y 只 與銷售價 x 元 只 之間的函數(shù)關(guān)系式為 y 90 3 x 50 3x 240 2 根據(jù) 總利潤 每件商品的利潤 銷售量 可知 w x 40 y x 40 3x 240 3x2 360 x 9600 3 求獲得最大利潤 也就是求函數(shù) w 3x2 360 x 9600 的最大值 試題解析 1 y 90 3 x 50 即 y 3x 240 2 w x 40 y x 40 3x 240 3x2 360 x 9600 3 當(dāng) x 60 y 隨 x 的增大而減小 當(dāng) x 55 時 w最大 1125 所以定價為 55 元時 可以獲得最大利潤是 1125 元 考點 1 一次函數(shù) 2 二次函數(shù) 2 1 2 該產(chǎn)品銷售價定為每千克 30 元時 每天銷售利潤最大 最大銷售 2 w2x120 x1600 利潤 200 元 解析 試題分析 1 根據(jù)銷售額 銷售量 銷售價單 x 列出函數(shù)關(guān)系式 2 用配方法將 2 的函數(shù)關(guān)系 式變形 利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值 試題解析 1 由題意得 2 wx20yx202x802x120 x1600 w 與 x 的函數(shù)關(guān)系式為 2 w2x120 x1600 2 2 2 w2x120 x16002 x30200 2 0 當(dāng) x 30 時 w 有最大值 w 最大值為 200 答 該產(chǎn)品銷售價定為每千克 30 元時 每天銷售利潤最大 最大銷售利潤 200 元 考點 1 二次函數(shù)的應(yīng)用 2 由實際問題列函數(shù)關(guān)系式 3 二次函數(shù)的最值 3 見解析 解析 試題分析 1 因為當(dāng) x 1 時 y 1 4 當(dāng) x 3 時 y 3 6 代入 2 yaxbx 得 解得 所以 二次函數(shù)解析式為 y 0 1x2 1 5x 1 4 933 6 ab ab 0 1 1 5 a b 2 設(shè)購進(jìn) A 產(chǎn)品 m 噸 購進(jìn) B 產(chǎn)品 10 m 噸 銷售 A B 兩種產(chǎn)品獲得的利潤之和為 W 元 根據(jù)題意 可列函數(shù)關(guān)系式為 W 0 1m2 1 5m 0 3 10 m 0 1m2 1 2m 3 0 1 m 6 2 6 6 因為 0 1 0 根據(jù) 二次函數(shù)的性質(zhì)知當(dāng) m 6 時 W 有最大值 6 6 試題解析 1 當(dāng) x 1 時 y 1 4 當(dāng) x 3 時 y 3 6 1 4 933 6 ab ab 解得 0 1 1 5 a b 所以 二次函數(shù)解析式為 y 0 1x2 1 5x 3 分 2 設(shè)購進(jìn) A 產(chǎn)品 m 噸 購進(jìn) B 產(chǎn)品 10 m 噸 銷售 A B 兩種產(chǎn)品獲得的利潤之和為 W 元 則 W 0 1m2 1 5m 0 3 10 m 0 1m2 1 2m 3 0 1 m 6 2 6 6 0 1 0 當(dāng) m 6 時 W 有最大值 6 6 9 11 購進(jìn) A 產(chǎn)品 6 噸 購進(jìn) B 產(chǎn)品 4 噸 銷售 A B 兩種產(chǎn)品獲得的利潤之和最大 最大利潤是 6 6 萬元 考點 1 待定系數(shù)法求解析式 2 二次函數(shù)性質(zhì) 4 1 政府這個月為他承擔(dān)的總差價為 600 元 2 當(dāng)銷售單價定為 30 元時 每月可獲得最大利潤 4000 3 銷售單價定為 25 元時 政府每個月為他承擔(dān)的總差價最少為 500 元 解析 試題分析 1 根據(jù)每月銷售量 件 與銷售單價 元 之間的關(guān)系可求得每月銷售量 又由單價yx 和成本間關(guān)系得到每件節(jié)能燈的差價 則可得到總差價 2 求每月可獲得最大利潤 即為求該二次函數(shù) 的最大值 將二次函數(shù)配方法 可得該函數(shù)的最大值 3 同時滿足 根據(jù)函數(shù)圖象的性3000w 25x 質(zhì)知道 隨的增大而減小 當(dāng)時 該函數(shù)有最大值時 有最小值 500 0k x25x p 試題解析 1 當(dāng)時 20 x 1050010 20500300yx 300 1210 3002600 政府這個月為他承擔(dān)的總差價為 600 元 2 依題意得 101050010600500010304000 2 2 w x x x x x 100a 當(dāng)時 有最大值 4000 30 x w 當(dāng)銷售單價定為 30 元時 每月可獲得最大利潤 4000 3 由題意得 1060050003000 2 x x 解得 1 20 x 2 40 x 拋物線開口向下 100a 結(jié)合圖象可知 當(dāng)時 2040 x 3000w 又 當(dāng)時 w 3000 25x 2025x 設(shè)政府每個月為他承擔(dān)的總差價為元 p 121010500px 201000 x 隨的增大而減小 200k px 當(dāng)時 有最小值 500 25x p 銷售單價定為 25 元時 政府每個月為他承擔(dān)的總差價最少為 500 元 考點 1 二次函數(shù)的性質(zhì) 2 二次函數(shù)的圖象 3 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用 5 1 220 10 x 2 當(dāng) x 14 時 該文具店這種簽字筆平均每周的 2 10320